221椭圆及其标准方程

会计学1221椭圆及其标准方程如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一.问题情境第1页/共19页探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出轨迹是一个移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即动点到两个定点的距离和等于常数如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？并思考在这一过程中，哪个量保持不变？圆，第2页/共19页一、椭圆的定义我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆定义符号表示：F1·F2·M此时点M的轨迹是线段F1F2此时点M的轨迹不存在第3页/共19页二、椭圆的标准方程我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程，并通过方程研究椭圆的性质探究一：说一说建立平面直角坐标系有哪些方案？建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一：焦点在x轴上方案二：焦点在y轴上OxyF1F2MOxy第4页/共19页解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).

设M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，xF1F2M0y由椭圆的定义得，点M满足点集代入坐标得到方程探究二：椭圆的标准方程的推导设M(x,y)是椭圆上任意一点，F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0)

，则椭圆的焦距2c(c>0)，第5页/共19页整理得两边再平方，得移项得两边同除以得平方得整理得第6页/共19页思考：如图，你能从中找出表示的线段吗？xF1F20yPac由图可知：b总体印象：对称、简洁第7页/共19页1、焦点在x轴上：1oFyx2FM12yoFFMx探究三：椭圆的标准方程2、焦点在y轴上：第8页/共19页

图形方程焦点F1(-c,0),F2(c,0)a,b,c之间的关系定义12yoFFMx1oFyx2FM3)两类标准方程的对照表思考：如何由一个椭圆的方程判定椭圆的焦点在哪个坐标轴上？判定方法：焦点在x轴的椭圆项分母较大.

焦点在y轴的椭圆项分母较大.MF1+MF2=2a(2a>2c>0)F1(0,-c),F2(0,c)第9页/共19页变题：

若椭圆的方程为,试口答完成（1）.5436(-3,0),(3,0)84.数学应用例1已知椭圆的方程为：，请填空：(1)a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=___.

第10页/共19页课堂练习1.口答：下列方程哪些表示椭圆？

若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?第11页/共19页

1.已知方程表示焦点在x轴上

的椭圆，则m的取值范围是

.(0,4)

2.已知方程

表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范

围是

.(1,2)练习:第12页/共19页例2写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4，b=1，焦点在x

轴上；

(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；

(3)两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P（

-1.5，2.5）.xyF1F2P或4.数学应用第13页/共19页因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为第14页/共19页解：例3在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？设所求的曲线上任一点的坐标为M（x，y）,圆＝４上的点P的坐标为P（x’，y’），由题意可得：因为＝４所以即yxoPMD第15页/共19页(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).

(1)a=3,b=1,焦点在y轴上;练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（5）与椭圆有相同焦点,且过点(-3,2)第16页/共19页已知圆A：

,圆A内一定点B(3,0),动圆Ｐ过点Ｂ且与圆Ａ内切，求圆心Ｐ的轨迹方程．例4定义法求轨迹方程PA+PB=10>6=ABa=5,c=3b=4第17页/共19页例５已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为