数值分析-插值法

第2章插值（Interpolation）法—函数值的插值法2.1引言2.2Lagrange插值2.3差商与Newton插值2.4带导数条件的Hermite插值2.5分段低次插值2.6三次样条插值1/16/20231第2章插值法插值法是数值分析中的一个古老的分支。等距节点内插法—隋朝数学家刘焯(公元544-610年)首先提出的不等距节点内插法—唐朝数学家张遂(公元683-727年)首先提出的插值法在数值积分、数值微分、微分方程数值解、曲线曲面拟合、函数值近似计算中有着广泛的应用。2.1引言2.1.1

插值法的提出以近似计算函数值为例说明插值法的应用。历史背景1/16/20232第2章插值法插值法就是一种最简单的重要方法函数的插值法的提出背景实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题： （1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计算时，计算量会很大；（2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的函数值不在该表格中。对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。

1/16/20233第2章插值法设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点a≤x0<

x1<

…<

xn

≤b

处的函数值y0

=f(x0),y1

=f(x1),…yn

=f(xn)，若存在一简单的函数P(x)，满足条件P(xi)

=

f(xi)(i=0,1,…n)，就称P

(x)

称为f(x)的插值函数。插值法点x0,

x1,

…,

xn

称为插值节点，区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。几何意义：x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)1/16/20234第2章插值法常用插值函数的类型代数插值：多项式插值有理插值：有理分式函数三角插值：三角函数2.1.2多项式插值（1.3）设在区间上给定个点上的函数值,求次数不超过的多项式，使多项式插值问题1/16/20235第2章插值法由插值条件得关于系数的元线性方程组（1.4）问题：

P(x)是否存在？若存在，是否唯一？如何求？系数矩阵为（1.5）1/16/20236第2章插值法称为范德蒙德（Vandermonde）矩阵,由互异，故因此线性方程组（1.4）的解存在且唯一.结论定理1

设x0,x1,…,xn

是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节点的值yk=f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的，那么存在唯一的次数≤n的多项式P(x)满足

P(xk)=yk,k=0,1,…,n。P(x)

但遗憾的是方程组(1.4)是病态方程组,阶数n越高，病态越严重。为此我们从另一途径寻求获得P(x)的方法----Lagrange插值和Newton插值。（这两种方法称为基函数法）1/16/20237第2章插值法Interpolationpolynomial

1/16/20238第2章插值法2.2拉格朗日多项式niyxPiin,...,0,)(==求n

次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0

,

x1

;

y0

,

y1，求使得111001)(,)(yxPyxP==P1(x)是过(

x0

,

y0)和(x1,y1

)两点的直线。)(1xP101xxxx--010xxxx--=y0+y12.1.1线性插值与抛物插值两点式)()(0010101xxxxyyyxP---+=点斜式)(001010xxxxxxy---+=(())ff线性插值1/16/20239第2章插值法二次插值n=2已知x0,x1,x2;

y0,

y1,y2,求使得002,)(yxP112)(yxP==222)(yxP=,方程组求解麻烦抛物插值

思路：对于线性插值的两种形式解进行适当的分析,从中寻求规律得到拉格朗日插值(公式)和牛顿插值(公式).我们先来看看如何得到二次拉格朗日插值公式.)(1xP101xxxx--010xxxx--=y0+y1两点式)()(0010101xxxxyyyxP---+=点斜式)(001010xxxxxxy---+=(())ff1/16/202310第2章插值法

首先,线性插值的两点式可看作是两个特殊的一次式的一种线性组合.101xxxx--010xxxx--)(1xP=y0+y1==10)(iiiyxl对称式l0(x)l1(x)实质上（）和（）即是满足函数表的一次插值多项式,称l0(x)和l1(x)为以x0,x1为节点的基本插值多项式，也称为线性插值的插值基函数。基函数的线性组合基函数法满足li(xj)=ij

显然有l0(x)+l1(x)≡1.其中，l0(x)和l1(x)满足：l0(x0)=1,l0(x1)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1,L1(x)L1(xj)==10)(iiiyxjl

=yj1/16/202311第2章插值法启发:其中，l0(x),l1(x),l2(x)都是二次多项式，且应满足满足(2.1)的

li(x)是否存在?若存在，具有什么形式呢?（2.1）二次Lagrange插值多项式为

L２(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)二次插值是否能由一些二次插值基函数来线性组合？先考虑

l0(x)。l0(x)＝0(x－x1)(x－x2),

其中0

是待定系数。1/16/202312第2章插值法同理

l1(x)＝1(x－x0)(x－x2),

l2(x)＝2(x－x0)(x－x1),1＝(x1－x0)(x1－x2)12＝(x2－x0)(x2－x1)1此即二次拉格朗日插值公式,其中,l0(x),l1(x),l2(x)是满足(2.1)的特殊(基本)二次插值多项式;称为二次插值基函数.L2(x)=y0+y1+y2(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2)(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)0＝(x0－x1)(x0－x2)1

l0(x)＝0(x－x1)(x－x2),由

l0(x0)=1，所以0(x0－x1)(x0－x2)＝1，则L2(xj)==20)(iiiyxjl

=yj1/16/202313第2章插值法n

1li(x)每个li

有n

个根x0…

xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(

拉格朗日多项式与有关，而与无关节点f2.2.2拉格朗日插值多项式展开n次插值多项式

:求次数≤n的多项式Ln(x),

使其满足

Ln(x0)=y0,Ln(x1)=y1,......,Ln(xn)=yn

令Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+…+ln(x)yn1/16/202314第2章插值法其中满足条件（2.9）易求得（2.10）记（2.11）1/16/202315第2章插值法

注意:

次插值多项式通常是次数为的多项式，特殊情况下次数可能小于.三点共线注：若不将多项式次数限制为n

，则插值多项式不唯一。例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。二次插值多项式一条直线一次多项式.1/16/202316第2章插值法设节点在[a,b]内存在,考察截断误差，且f

满足条件,

2.2.3插值余项

(Remainder)罗尔定理

设f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且有

f(a)=f(b)；则在(a,b)内一定存在一点ξ，使得。显然Rn(xi

)=f(xi)-Ln(xi)=0,i=0,1,…,n,设Rn(x)=K(x)

n+1(x),

现在任意固定一点x∈

[a,b],x≠xi

(i=0,1,…,n),引进辅助函数g(t)=f(t)-Ln(t)-K(x)n+1(t),

则g(t)在[a,b]上具有n+1阶连续导数，在t=x0,x1,…,xn,x

诸点处函数值皆等于零。即g(t)在[a,b]中有n+2个零点。由罗尔定理知g’(t)在[a,b]中有n+1个零点。1/16/202317第2章插值法如此反复，最后可推知g(n+1)(t)在[a,b]中有1个零点，即有

g(n+1)(

)=0,a<<b.则有从而截断误差n=1n=2（2.12）1/16/202318第2章插值法注：

通常不能确定x

,而是估计,x(a,b)

将作为误差估计上限。当

f(x)为任一个次数n

的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。当时，,于是由此得（2.17）特别当时，（2.18）1/16/202319第2章插值法例1

证明，其中是关于点的插值基函数.

证明例2

求经过A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三个点的二次Lagrange插值多项式.`解：插值条件1/16/202320第2章插值法例3已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50

并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1

以及x1,x2

计算利用这里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614利用sin500.76008,选择要计算的x

所在的区间的端点，插值效果较好。1/16/202321第2章插值法n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……1/16/202322第2章插值法例4

设，试证其中通过两点及的线性插值为于是

证明

1/16/202323第2章插值法

Lagrange插值公式(利用插值基函数很容易得到):

含义直观,结构紧凑,在理论分析中非常方便;

计算机上实现也很容易.也有一些缺点：一是计算量大，这是显然的；另外，还有一个更严重的缺点，当插值节点增加时，全部插值基函数均要随之变化，整个计算工作必须从头开始：不仅原来的每一项都要改变，还要增加一项计算。

为克服上述两个缺点,

努力：把插值多项式变形为便于计算的形式。希望：计算改变的过程中,尽可能能利用已有的计算结果.

下面我们将看到,这是可能的。我们可以有具有“承袭性”的所谓牛顿公式。1/16/202324第2章插值法)()(0010101xxxxyyyxP---+=)(001010xxxxxxy---+=(())fff[x0,x1]线性插值的点斜式)(00xxy-+=f[x0,x1]常数(差商)启发：二次插值也能类似地有有规律的组合表达式:P2(x)=0+1(x-x0)+2(x-x0)(x-x1)利用P2(x0)=y0有:0=y0,利用P2(x1)=y1有:1=0101xxxx--(())ff=f[x0,x1],利用P2(x2)=y2有:2=f[x0,x1]

(x2-x0)(x2-x1)

(x2-x0)(x2-x1)0xx2-(())ff

(x2-x0)-f[x0,x2]f[x0,x1]

x2-x1

=-=f[x0,x1,x2];P2(x)=f(x0)

+(x-x0)+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1]f[x0,x1,x2]f[x0,x2]

x=x0时02.3.1插值多项式的逐次生成2.3均差与牛顿插值多项式1/16/202325第2章插值法注:1.事实上,从上述可看出二次牛顿插值公式是用待定系数法求得的;2.它也可看作是三个特殊函数的一种线性组合:P2(x)=f(x0)

+(x-x0)+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1]f[x0,x1,x2]f[x0,x1],f[x0,x1,x2]f(x0),

1,(x-x0),(x-x0)(x-x1)即函数的线性组合,组合系数为基函数法

更一般地，n+1个节点的插值多项式，我们希望由上述类似的一组特殊函数：来线性组合为：1,(x-x0),(x-x0)(x-x1)，……，(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)组合系数是什么样的呢？怎么求呢？1/16/202326第2章插值法当x=x0时，Pn(x0)=a0=f0.当x=x1时，Pn(x1)=a0+a1(x1-x0)=f1,推得a1=f1-f0x1-x0当x=x2时，Pn(x2)=a0+a1(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)=f2,推得f2-f0x2-x0-f1-f0x1-x0a2=x2-x1依次递推可得到a3,…,an.为写出系数ak的一般表达式,均差定义2.3.2均差及其性质组合系数的规律性1/16/202327第2章插值法

定义2

称为函数f(x)关于点x0,xk的一阶均差.称为f(x)的二阶均差.一般地,称为f(x)的k阶均差(差商).f[x0,xk]=f(xk)-f(x0)xk-x0f[x0,x1,xk]=f[x0,xk]-f[x0,x1]xk-x1

f[x0,x1,…,xk]=f[x0,…,xk-2,xk]-f[x0,x1,…,xk-1]xk-xk-1均差的基本性质

1º

n阶均差可表示为函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)的线性组合,即

f[x0,x1,…,xn]=f(xj)(xj-xj+1)…(xj-xn)…(xj-xj-1)(xj-x0)∑

nj=0注：均差与节点的排列次序无关——均差的对称性

f[x0,x1,…,xn]=f[x1,x0,x2,…,xn]=…=f[x1,…,xn

,x0]1/16/202328第2章插值法

f[x0,x1,…,xk]=f[x1,…,xk-1,xk]-f[x0,x1,…,xk-1]xk-x02º

由性质1º可得:实际计算过程为f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]均差计算可列均差表如下：3º若是一个依赖于的次多项式，则是关于的次多项式。1/16/202329第2章插值法3º

n次多项式f(x)的k阶差商,当kn时是一个n-k次多项式;当k>n时恒等于0.4º若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且节点x0,x1,…,xn∈[a,b],则至少存在一点[a,b]

满足下式例1

f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].

解

f(8)(x)=－6·8!,f[1,2,…,9]=-6,

f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.1/16/202330第2章插值法12…………n11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n1Nn(x)Rn(x)2.3.3牛顿插值多项式Nn(x)—牛顿均差插值多项式,下面验证Nn(xi)=f(xi)(i=0,1,2…,n)31/16/202331第2章插值法下面说明Nn(x)即为拉格朗日插值Ln(x)。记是关于节点的k次拉格朗日插值多项式，则有1/16/202332第2章插值法

f[x0,x1,…,xn]=f(n)(ξ)n!

4º

若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且节点x0,x1,…,xn[a,b],则n阶均差与导数关系如下:析应用n次罗尔定理有

f[x0,x1,…,xn]=f(n)(ξ)n!1/16/202333第2章插值法Nn(x)余项形式Rn(x)注：

由Ｎn(x)Ln(x)，只是算法不同，故其余项也相同，ai=f[x0,…,xi]1/16/202334第2章插值法例5

依据如下函数值表建立不超过3次的拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式Nn(x),并验证插值多项式的唯一性.解:(1)拉格朗日插值多项式Ln(x).插值基函数xk0124f(xk)19233拉格朗日插值多项式为:1/16/202335第2章插值法xkf(xk)

一阶均差二阶均差三阶均差0119822314343-10-8(2)牛顿插值多项式Nn(x).建立如下差商表牛顿插值多项式为:(3)唯一性验证.通过比较牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式,知:

Nn(x)=Ln(x)这一事实与插值多项式的唯一性一致.1/16/202336第2章插值法注：当题目中没有指明用哪一种方法建立插值多项式时，原则上拉格朗日插值方法和牛顿插值方法都可行，做题目时选较为方便的一种方法。近似计算时，由于牛顿插值多项式的非整理形式可以直接写成秦九韶算法的形式，计算量小，且当节点增加时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而通常情况下牛顿插值比较方便，拉格朗日插值则没有该优点，但在理论证明上因其基函数的特点广泛应用。例6

已知函数f(x)的数据如下表:27931f(xk)3210xk

试作一3次插值多项式P3(x),并利用P3(x)计算。解:

利用牛顿插值公式N3(x)1/16/202337第2章插值法xkf(xk)

一阶均差二阶均差三阶均差011322962327186建立如下差商表P3(x)=N3(x)得1/16/202338第2章插值法2.3.4差分形式的牛顿插值公式设有等距节点，其中称为步长。设点的函数值为，称为处以为步长的一阶（向前）差分.类似地称为处的二阶差分.一般地，为处的阶差分.（3.8）差分例

f(x)=x2,xi=i(i=1,2,…,n),求⊿nf(xi),(i=1,…,n-1)n≥3解：⊿f(xi)=f(xi+1)-f(xi)=(i+1)2-i2=2i+1⊿2f(xi

)=⊿f(xi+1)-

⊿f(xi)=2(i+1)+1-(2i+1)=2⊿3f(xi

)=⊿2f(xi+1)-⊿2f(xi

)=2-2=0⊿nf(xi)=0n≥31/16/202339第2章插值法两个常用算子符号

称为不变算子称为步长为的移位算子差分与函数值（3.9）其中为二项式展开系数反之可得（3.10）1/16/202340第2章插值法均差与差分的关系（3.11）（3.12）其中.差分表差分与导数的关系xi

fi⊿⊿2⊿3

…⊿n

x0

f0x1f1x2f2x3f3xn-3fn-3xn-2fn-2xn-1fn-1xnfn……⊿f0⊿f1⊿f2⊿fn-3⊿fn-2⊿fn-1⊿2f0⊿2f1⊿2fn-3⊿2fn-2……⊿3f0…⊿3fn-3……⊿nf01/16/202341第2章插值法令，用差分代替差商（3.13）（3.14）牛顿向前插值公式给出在处的函数值，试用4次牛顿前插公式计算的近似值并估计误差.例7解

为使用牛顿插值公式，先构造差分表.

Ｐn(x)牛顿向前插值公式的余项1/16/202342第2章插值法取则得1/16/202343第2章插值法误差估计其中差商表i0123xi-2-112(xi)531721练习给出函数y=(x)的函数表写出函数y=(x)的差商表，并求节点为x0,x1的一次插值x0,x1,x2的二次插值和x0,x1,x2,x3的三次插值多项式.ixiƒ(xi)一阶差商二阶差商三阶差商0123-2-112531721-2743-1-1N1(x)=5-2(x+2)=1-2x解N2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+91/16/202344第2章插值法1/16/202345第2章插值法2.4埃尔米特插值假设函数y=f(x)是在[a,b]上有一定光滑性的函数,在[a,b]上有n+1个互异点xo…xn,f(x)在这些点上取值yo…...yn.求一个确定的函数p(x)在上面n+1个点上满足p(xi)=yii=0,1,…,n.这是最简单的插值问题,如果除了知道f(x)在插值节点上的取值外,还知道f(x)在插值节点xi上的1≤mi≤n阶导数，如何来构造插值函数呢?Hermite插值就是既满足插值节点xi的函数值条件又满足微商条件的插值函数。

Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好。1/16/202346第2章插值法2.4.1重节点均差与泰勒插值定理3

设为上的相异节点，则是其变量的连续函数.重节点的一阶均差重节点均差重节点的二阶均差1/16/202347第2章插值法（4.1）令（4.2）这实际上是在点附近逼近的一个带导数的插值多项式，它满足条件（4.3）重节点的n阶均差泰勒插值泰勒多项式Pn(x)泰勒插值多项式1/16/202348第2章插值法一个埃尔米特插值多项式，余项为（4.4）泰勒插值是牛顿插值的极限形式，是只在一点给出个插值条件所得到的次埃尔米特插值多项式.2.4.2两个典型的埃尔米特插值不完全导数的Hermite插值考虑满足条件及的插值多项式及其余项表达式.多项式的曲线通过故1/16/202349第2章插值法可由条件确定通过计算余项可设其中为待定函数.构造[a,b]上有四个零点x，x0，x1，x2

；其中x1为二重零点.利用Rolly定理，知g'(t)在x0，x1，x2

，x组成的三个小区间内至少各有一个零点，记为1,2,3

，加上x1

，在[a,b]上至少有4个零点.反复应用罗尔定理，得在内至少有一个零点ξ，故有(4.5)余项表达式为1/16/202350第2章插值法

例8

给定试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使它满足并写出余项表达式.由题意可求出构造均差表

解

令1/16/202351第2章插值法可得故余项由条件，可得1/16/202352第2章插值法(4.7)基函数法插值节点取为及，插值多项式为，插值条件为其中是关于节点及的三次埃尔米特插值基函数，分别满足(4.6)完全导数—两点三次埃尔米特插值插值多项式1/16/202353第2章插值法根据给定条件可令显然再利用及解得于是求得同理可得(4.8)(4.9)1/16/202354第2章插值法为求，由给定条件可令直接由，得到(4.10)(4.11)同理1/16/202355第2章插值法最后代入，得(4.12)(4.13)余项，1/16/202356第2章插值法重节点均差构造Hermite插值Newton形式的Hermite插值求一个四次插值多项式，满足例9并写出插值余项的表达式。解：构造差商表1/16/202357第2章插值法根据Newton插值公式插值余项1/16/202358第2章插值法采用基函数法插值余项为完全导数的Hermite插值(了解)1/16/202359第2章插值法1/16/202360第2章插值法1/16/202361第2章插值法1/16/202362第2章插值法输入输出令对作如下：令对当时令令返回1/16/202363第2章插值法

0

1

2

1

2

3

-1

0

1应用Hermite插值计算的近似值。

例：已知函数在点

数据表：解：1/16/202364第2章插值法1/16/202365第2章插值法我们已经知道插值有多种方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite

插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在我们来讨论一下这个问题。2.5分段低次插值

f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，…，n)上的n次插值多项式Pn

(x)的余项设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？1/16/202366第2章插值法2.5.1高次插值的病态性质构造拉格朗日插值多项式为函数在上的各阶导数均存在.例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取令1/16/202367第2章插值法n

越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象

Runge证明了，存在一个常数，使得当时，而当时发散.实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢？1/16/202368第2章插值法(1)分段线性插值(2)分段二次插值与分段三次插值(3)分段Hermite插值(4)分段三次样条插值1/16/202369第2章插值法2.5.2分段线性插值分段线性插值是用通过插值点的折线段逼近f(x).问题的提法定义

设f(x)是定义在[a,b]上的函数，分段线性插值函数的表达式由定义1/16/202370第2章插值法由基函数法x0x1…xixi+1,,,xnx0…xj-1

xj

xj+1…xnx0x1…xi…xn-1xn1/16/202371第2章插值法①局部非零性②具有插值基函数的性质③分段线性插值函数的余项若(x)C2[a,b],则当x[xk-1,xk]时,有若记

,对任一x[a,b]都有可见,当h0时,分段线性插值Ih(x)收敛于(x).注意:

h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精度是很好的途径.1/16/202372第2章插值法分段线性插值从整体上看，逼近效果是较好的，但失去了原函数的光滑性。1/16/202373第2章插值法例10

设给出了cosx的函数表(0x2)，其步长h=1‘=(1/60)°=/(18060)

，研究用进行分段线性插值求cosx近似值的最大截断误差界.设f(x)=cosx,是一个以2为周期的函数，只要给出一个周期内的数据即可.取等距节点xi=ih,0i218060,则任给x[0,2]

，一定存在i使得x[xi,xi+1],

以xi，xi+1为插值节点作f(x)的一次插值多项式

解由于因而1/16/202374第2章插值法在区间上的表达式为2.5.3分段三次埃尔米特插值问题的提法在每个小区间上是三次多项式.设在节点上已知函数值和导数值可构造分段三次Hermite插值函数，满足条件分段三次Hermite插值函数的表达式1/16/202375第2章插值法在区间上的表达式为——对应于节点xk的函数的基函数——对应于节点xk的导数的基函数1/16/202376第2章插值法由基函数法1/16/202377第2章插值法1/16/202378第2章插值法分段三次Hermite插值的余项利用三次埃尔米特插值的余项（4.13），可得误差估计定理3

设为在节点上的分段三次埃尔米特插值多项式，则有其中1/16/202379第2章插值法

分段低次插值的收敛性

在每个区间上，用1阶多项式

(直线)逼近f(x):记，易证：当时，一致失去了原函数的光滑性。给定在上利用两点的y及y’构造3次Hermite函数导数一般不易得到，二阶导数不连续。分段线性插值分段三次Hermite插值1/16/202380第2章插值法2.6三次样条插值上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求，从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域有越来越广泛的应用。样条是绘图员用于描绘光滑曲线的一种机械器件,它是一些易弯曲材料制成的窄条或棒条.在绘制需要通过某点的光滑曲线时,对它在这些点的位置上“压铁”,它就被强制通过或接近图表上确定的描绘点.“样条函数”这个术语意在点出这种函数的图象与机械样条画出的曲线很象.1/16/202381第2章插值法2.6.1三次样条函数若在节点上给定函数值并成立（6.1）则称为三次样条插值函数.若函数且在每个小区间上是三次多项式，其中是给定节点，则称是节点上的三次样条函数.

定义3f(x)H(x)S(x)三次样条插值函数的定义注：三次样条与分段埃尔米特插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点可能需要）；而埃尔米特插值依赖于f在所有插值点的导数值。1/16/202382第2章插值法如何求的三次样条插值函数:4n个未知数因为在上二阶导数连续，所以在节点处应满足连续性条件（6.2）满足个插值条件；三次样条插值条件的分析个条件共有个条件，还需要2个才能确定.1/16/202383第2章插值法边界条件通常可在区间端点上各加一个条件常见的边界条件有以下3种：（称为边界条件），

1.已知两端的一阶导数值，即（6.3）

2.已知两端的二阶导数，即当（6.4）自然边界条件

3.当是以为周期的周期函数时，则要求也是周期函数.此时插值条件（6.1）中.（6.5）称为周期样条函数.1/16/202384第2章插值法2.6.2样条插值函数的建立——三弯矩插值法三弯矩插值法的基本思想1、未知，但设，得到三弯矩方程利用的一阶导数连续2、若求出，可用和构造出3、如何求？4、由三弯矩方程加边界条件求出建立三弯矩方程1/16/202385第2章插值法设的二阶导数值，求.由于在区间上是三次多项式，故在上是线性函数，且（6.7）对积分两次并利用及，得三次样条表达式（6.8）未知数n+1个1、三次样条函数的表达式1/16/202386第2章插值法对求导得（6.9）求得类似地可求出在区间上的表达式，从而得利用可得（6.10）2、构造三弯矩方程组1/16/202387第2章插值法（6.11）第一种边界条件（6.3）（6.12）其中令未知数n+1个方程n-1个（6.10）（6.13）矩阵形式1/16/202388第2章插值法第二种边界条件（6.4）（6.14）令,矩阵形式第三种边界条件（6.5）其中（6.15）1/16/202389第2章插值法矩阵形式（6.16）三弯矩方程（6.13）和（6.16）的系数矩阵为严格对角占优阵，有唯一解,求解方法——追赶法，将解得结果代入1/16/202390第2章插值法若假设S(xi)=mi

,i=0,1,…,n,利用分段Hermite插值多项式,当x[xi-1,xi]时,有其中hi=xi-xi-1.为