《等差数列》同步练习 全省一等奖

《等差数列》同步练习1．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于()A．n B．n(n＋1)C．n(n－1) \f(nn＋1,2)答案D2．设Sn是等差数列{an}的前n项和且a3＝－6，a7＝6，则()A．S4＝S5 B．S5＝S6C．S4>S6 D．S5>S6解析∵a3＋a7＝2a5∴a5＝0，∴S4＝S5.答案A3．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最小项是()A．第4项 B．第5项C．第6项 D．第7项解析an＝3n2－28n＝3(n2－eq\f(28,3)n)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(14,3)))2－3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)))2.∵n∈N*，∴当n＝5时，an有最小值．答案B4．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是()A．求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))的前10项和(n∈N*)B．求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)))的前10项和(n∈N*)C．求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))的前11项和(n∈N*)D．求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)))的前11项和(n∈N*)解析要理解循环体的含义，当第一次执行k＝1时，S＝eq\f(1,2)；当第二次执行k＝2时，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4).可见，该程序是求前10项的偶数的倒数和．答案B5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列的通项公式为__________；数列{nan}中数值最小的项是第__________项．解析当n＝1时，a1＝S1＝－9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11，当n＝1时，也成立，∴an＝2n－11，nan＝2n2－11n＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,4)))2－eq\f(121,8).∵n∈N*，∴当n＝3时，nan有最小值．答案2n－1136．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则eq\f(a1－a2,b1－b2)＝________.解析由于a1－a2＝eq\f(x－y,3)，b1－b2＝eq\f(x－y,4)，则eq\f(a1－a2,b1－b2)＝eq\f(4,3).答案eq\f(4,3)7．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，则eq\f(a5,b5)＝________.解析eq\f(a5,b5)＝eq\f(2a5,2b5)＝eq\f(a1＋a9,b1＋b9)＝eq\f(\f(9a1＋a9,2),\f(9b1＋b9,2))＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(7×9＋2,9＋3)＝eq\f(65,12).答案eq\f(65,12)8．在等差数列{an}中，a2＋a9＝2，则它的前10项和S10＝________.解析S10＝eq\f(a1＋a10,2)×10＝5(a2＋a9)＝10.答案109．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝eq\f(1,4)(an＋1)2，且an>0.(1)求a1，a2；(2)求{an}的通项公式；(3)令bn＝20－an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．解(1)a1＝S1＝eq\f(1,4)(a1＋1)2⇒a1＝1.a1＋a2＝eq\f(1,4)(a2＋1)2⇒a2＝3.(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,4)[(an＋1)2－(an－1＋1)2]＝eq\f(1,4)(aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1))＋eq\f(1,2)(an－an－1)，由此得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2.∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(3)∵bn＝20－an＝21－2n，∴bn－bn－1＝－2，b1＝19.∴{bn}是以19为首项，－2为公差的等差数列．∴Tn＝19n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋20n.故当n＝10时，Tn的最大值为100.10．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)(c≠0)，求常数c的值；(3)对(2)中的bn，cn＝eq\f(1,b\o\al(2,n)－1)，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)由等差数列的性质知，a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．又公差d>0，∴a3<a4，∴a3＝9，a4＝13.∴d＝a4－a3＝4，a1＝a3－2d＝9－8＝1，∴an＝4n－3.(2)由(1)知，Sn＝n×1＋eq\f(nn－1,2)×4＝2n2－n，∴bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c)，∴b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c).∵{bn}是等差数列．∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c又∵c≠0，∴c＝－eq\f(1,2).(3)由(2)知bn＝2n，∴cn＝eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f