平移、旋转与轴对称(王万军)

12结合近几年中考试题分析，平移、旋转与对称的内容考查主要有以下特点：

1.命题方式为：图形平移、旋转与对称的性质；相关的图案设计；与图形平移、旋转与对称相关的计算和逻辑推理证明等；题型较全，一般有选择题、填空题和解答题，有时以探索研究题型出现，多属中、低档题.3

2.图形的平移、旋转与对称是近几年各地中考的热点之一，并在各地中考题中所占的比重有继续上升的趋势.4

1.复习时要熟练掌握图形变换的基本性质与基本作图方法；

2.动手探索研究图形变换的性质，熟练掌握图形变换的解题方法；

3.善于观察图形，得出变换过程，利用其性质进行图案设计.56789101112图形的平移图形的平移是指图形上的各点按某一方向移动相同的一段距离；平移前后的图形为全等形，对应点的连接的线段平行且相等，对应线段相等、对应角相等等性质.13【例1】(2010·南通中考)在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M(-4，-1)、N(0，1)，将线段MN平移后得到线段M′N′(点M、N分别平移到点M′、N′的位置)，若点M′的坐标为(－2，2)，则点N′的坐标为_____.【思路点拨】14【自主解答】由M(-4，-1)平移到M′(-2，2)，横坐标增加2，纵坐标增加3，由线段平移可知点N′的坐标为(0+2，1+3)，即(2，4).答案：(2，4)151.(2010·凉山中考)下列图案中，只要用其中一部分(最小单位)平移一次就可以得到的是()【解析】选B.由平移的性质可得.162.(2010·潼南中考)如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF()17(A)把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位(B)把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位(C)把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位(D)把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位【解析】选C.只看B→E点移动即可.183.(2011·日照中考)以平行四边形ABCD的顶点A为原点,直线AD为x轴建立直角坐标系,已知B、D两点的坐标分别为(1,3),(4,0),把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是()(A)(3,3)(B)(5,3)(C)(3,5)(D)(5,5)【解析】选D.根据题意得平行四边形ABCD的C点的坐标为(5，3)，把平行四边形向上平移2个单位后C点的坐标是(5，5)，所以选项D符合要求.194.(2011·乐山中考)如图，直角三角板ABC的斜边AB＝12cm,∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板A′B′C′的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A′B′C′平移的距离为()(A)6cm(B)4cm(C)(D)20【解析】选C.如图，在Rt△ABC中，AB＝12cm,∠A=30°，∴BC＝6cm,∴∴在Rt△AB′B″中，B′B″=AB′tan30°＝21图形的旋转图形的旋转是指图形绕平面中的某一点按顺时针或逆时针旋转某一角度得到新的图形，旋转前后的图形是全等形；图形的旋转常用来进行图形设计，不同的旋转可以得到花样繁多的图案.22【例2】(2010·杭州中考)如图，在△ABC中,∠CAB=70°.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=()(A)30°(B)35°(C)40°(D)50°【思路点拨】23【自主解答】选C.因为△ABC≌△AB′C′，CC′∥AB，所以∠C′CA=∠CAB.又根据旋转得AC=AC′，所以∠AC′C=∠C′CA=70°，又因为∠Ｃ′ＡＣ=∠ＢＡＢ′，所以∠BAB′=180°-70°-70°=40°.245.(2011·湖州中考)如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是()(A)150°(B)120°(C)90°(D)60°【解析】选A.由于是OA与OC重合，旋转角就是∠AOC，为90°+60°=150°.256.(2010·青岛中考)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4，6)、B(5，2)、C(2，1)，如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A的对应点A′的坐标是()(A)(-3，3)(B)(3，-3)(C)(-2，4)(D)(1，4)26【解析】选A.根据题意和旋转对称的定义，A′C=AC，根据题意作图易得点A′的坐标为(-3，3).故选A.277.(2011·江西中考)如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是_____.【解析】由图形的旋转的意义和性质知旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上.分别作AD、BE、CF的垂直平分线，它们的交点为(0，1)，所以旋转中心的坐标为(0，1).答案：(0，1)288.(2011·盐城中考)如图，已知正方形ABCD的边长为12cm,E为CD边上一点，DE＝5cm.以点A为中心，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为_____cm.29【解析】因为正方形ABCD的边长为12cm，DE＝5cm，所以AE＝13cm.由旋转知识可知△ADE≌△ABF，所以∠DAE＝∠BAF，∠FAE＝90°.点E旋转路径长为以点A为圆心，AE长为半径，圆心角为90°的扇形弧长：答案：30轴对称与中心对称图形的对称变换在初中阶段主要是指图形的轴对称和中心对称，轴对称是指图形沿某直线对折后能够重合的图形，轴对称图形为全等形；而中心对称是指图形绕某一点旋转180度后能够完全和原来的图形重合；轴对称图形与成轴对称图形不同，中心对称图形与成中心对称图形含义也不同.31【例3】(2010·威海中考)如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1).若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为_____.32【思路点拨】

33【自主解答】根据题意可得因以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以四边形ABCD是正方形，由此可得出点D的坐标为(0,1).答案：(0，1)349.(2011·福州中考)下列图案中是轴对称图形的是()【解析】选D.把图案D沿中间一条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，故图案D为轴对称图形.3510.(2011·南通中考)下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()【解析】选C.A、B是中心对称图形，C既是轴对称图形又是中心对称图形，D是轴对称图形，所以选C.3611.(2010·湛江中考)点P(1，2)关于x轴的对称点P1的坐标为_____.【解析】根据关于x轴对称点的坐标的特点，即横坐标相同，而纵坐标互为相反数得出答案.答案：(1，-2)3712.(2010·衢州中考)如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是_____.38【解析】由中心对称图形对应点的连线交于一点可知E点的坐标是(3，-1).答案：(3，-1)3940借用图形全等变换解决动态问题全等变换是指只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换，主要包括平移、旋转、翻折(轴对称).它以“动”字的魅力，吸引着无数中考命题者，成为各地中考中的常客，解决这一类问题的关键是能在熟练运用平移、旋转、轴对称性质的基础上，体会运动变化的思想及动与不动、变与不变的辩证关系，借助直观的图形，通过归纳、类比等方式41探索图形的性质规律，注意与全等三角形等有关知识结合起来进行解题.42【例】(2010·德化中考)在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°),得△A1BC1，交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点.(1)如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论.43(2)如图②，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由.(3)在(2)的情况下，求ED的长.44【思路点拨】45【自主解答】(1)∵AB=BC,∴∠A=∠C,由旋转知,AB=A1B=BC=BC1,∠A=∠A1=∠C=∠C1,∠ABC=∠A1BC1,∴∠ABC-∠A1BC=∠A1BC1-∠A1BC,即∠ABE=∠C1BF，∴△ABE≌△C1BF，∴BE=BF，∴EA1=FC.46(2)菱形证明：AB=BC，∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°.由旋转知，当α=30°时,∠C1=∠C=30°,AB=BC=BC1,∠ABE=∠C1BF=30°,∴∠ABC1=150°,∴∠ADC1=360°-30°-150°-30°=150°,∴∠A+∠ADC1=∠A+∠ABC1=180°,∴AD∥BC1,AB∥DC1，47∴四边形BC1DA是平行四边形.∵AB=BC1,∴四边形BC1DA是菱形.(3)过点E作EG⊥AB，则AG=BG=1.在Rt△AEG中，由(2)知AD=AB=2，∴48(2011·凉山中考)在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1，2)，B(-3，4)，C(-2，9).(1)画出△ABC，并求出AC所在直线的解析式.(2)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并求出△ABC在上述旋转过程中扫过的面积.4950【解析】(1)如图所示，△ABC即为所求51设AC所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)∵A(-1,2),C(-2,9),∴,解得∴y=-7x-5.(2)如(1)中图所示，△A1B1C1即为所求.由图可知，521.(2010·湖州中考)如图，如果甲、乙两图关于点O成中心对称，则乙图中不符合题意的一块是()【解析】选C.选项C旋转180°，图乙与图甲上下是颠倒的.532.(2010·毕节中考)正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点的坐标为()54(A)(-2，2)(B)(4，1)(C)(3，1)(D)(4，0)【解析】选D.将点B绕D点顺时针方向旋转90°后，落在点(4，0).553.(2010·莱芜中考)在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()56【解析】选B.由轴对称图形和中心对称图形的定义可得只有B项的图案符合题意，故选B.574.(2010·聊城中考)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，则平移后C点的坐标是()58(A)(5，-2)(B)(1，-2)(C)(2，-1)(D)(2，-2)【解析】选B.△ABC在平面直角坐标系中C点的坐标为(3,3)，先向下平移5个单位，C点的坐标为(3，-2),再向左平移2个单位,C点的坐标为(1，-2).595.(2010·济宁中考)如图，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形.如果△ABC中任意一点M的坐标为(a，b)，那么它的对应点N的坐标为_____.60【解析】通过观察图形可知，△PQR与△ABC是关于原点O成中心对称的两个图形，则点M与点N也关于原点对称，所以点N的坐标为(-a，-b).答案：(-a,-b)616.(2008·荆门中考)将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起,它们的较短直角边长为3.(1)将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置,使E点落在AB上,则CC′=_____;62(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置,使点E落在AB上,则△ECD绕点C旋转的度数=_____;(3)将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置,ED′与AB相交于点F,求证:AF=FD′.63【解析】(1)在Rt△BC′E′中,C′E′=CE=3,∠BE′C′=90°-∠B=90°-60°=30°,所以(2)由图(3)知CB=CE′且∠B=60°,所以∠BCE′=60°,所以旋转角∠ECE′=30°.64(3)在△AEF和△D′BF中,∵AE=AC-EC,D′B=D′C-BC,又∵AC=D′C,EC=BC,∴AE=D′B.又∠AEF=∠D′BF=180°-60°=120°,∠A=∠CD′E=30°,∴△AEF≌△D′BF,∴AF=FD′.65《平移、旋转与对称》的教学案例分析【教学目标】

1.结合欣赏与绘制图案的过程，体会平移、旋转和对称在图案中的应用，并学会设计较复杂的对称图案.

2.参与收集、设计图案的活动，感受图案的美，培养健康的审美情趣.66【教材分析】这一内容是在学生已经掌握对称图形的特征，会根据已有图形画出对称图形；知道平移、旋转、对称现象，并能在方格纸画出一个简单图形沿着水平方向、竖直方向平移后的图形等知识的基础上进行教学的.67分两部分进行教学.第一部分为欣赏部分，有四幅图，其中第1,4图均是由一个简单图形(花瓣或剪纸图案)经过旋转得到的，其余两幅图则均是由一个简单图形(圆形或风筝)经过平移得到的.这四幅图的呈现不仅要求学生说一说每幅图的特点，即每幅图案是由哪个图形平移或旋转得到的、哪幅图案是对称的，还要适时渗透德育教育.这一部分的教学要引导学生从复杂的图案中感知平移、旋转、对称现象，了解复杂的图案是由简单图形经过平移、旋转或对称等方法得到的，会从复杂的图案中抽象出简单的图形.68第二部分是画一画，有两个要求：第一，画出给定图形的对称图形；第二，根据未画完的图形的特征继续画下去.这一部分教学则要求学生利用平移、旋转、对称现象学会欣赏和设计复杂美丽的对称图案，激发学生参与欣赏与设计对称图案的活动，感受对称图案的美，获得一种以简驭繁的思想.69学校及学生状况分析我校属中等发展学校，有现代化教学设备，三年级的学生会上网查询资料，会制作简单的幻灯片或网页.通过三年的课改实验，学生已初步形成自主探究、合作交流的学习方式，初步学会调查、探究、质疑.70【课堂实录】

(一)创设情境，建立模型

1.欣赏美丽的图案，感受图案的美和在现实生活中的应用.在我们的现实生活中，美无处不在，请同学们欣赏这几幅图案(课件出示四幅图案)，你能说一说看到这些图案的感受或知道哪些图案代表的意义吗？(如图案二是奥林匹克运动会的会徽等)71

2.运用平移、旋转、对称的现象观察、探究美丽的复杂图案.

(1)每一幅图的图案是由哪个图形平移或旋转得到的？在书上把这个图形涂上颜色.(和同桌、同学互相交流自己的想法.)

(2)哪幅图案是对称的？(先独立思考后小组交流、汇报.)72

(教师根据学生汇报，利用课件动态展示每幅图案由一个简单图形经过平移、旋转或对称得到的过程.)

(设计意图让学生感受到对称图案的美，并体验到复杂美丽的图案其实可以用一个简单图形经过平移、旋转或对称得到.)73

3.生活中你还见过哪些图案是由一个简单图形经过平移、旋转或对称得到的?(先在小组内交流评议课前收集的图案是不是具有以上特征，再全班汇报交流.)生活中有这么多美丽的复杂图案，它们都是怎样得到的？

(设计意图：让学生感受到这些美丽的复杂图案在现实生活中的广泛应用，进一步强化感知：美丽的复杂图案可以由一个简单图形经过平移、旋转或对称得到.)74

(二)解释应用

1.你想不想也来设计一幅美丽的复杂图案呢？

(1)画出下面图形的对称图形.

(学生在书上独立画图，教师巡视.展示学生的作品，请画得又快又好的学生说说自己是怎样画的，在画图的过程中遇到哪些问题，对称图形有哪些特点.)

(设计意图：将感知转化为设计理念，亲身体验应用平移、对称的现象进行图案设计，并掌握必要的绘图策略和技能.)75

(2)继续画下去.淘气也画了一幅图案，我们一起来欣赏.他画完了吗？观察图案，它是由哪个简单图形运用什么现象，经过怎样的变化过程得到的.

(学生汇报.根据自己观察的规律把图画完.)

(设计意图：引导学生学会利用平移、对称的现象，观察、探究图案和进行图案设计，理解并掌握复杂图案是由简单图形经过平移、旋转或对称得到的，获得一种以简驭繁的思想.)76

2.小结：你有什么收获？利用简单图