2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版【简介】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算【3年高考试题比较】全国课标卷概率统计必有一道解答题，而且题型相对固定，一般是第19题，有时也在第18题，难度中等，课标I比课标II、课标III难度略大.概率统计解答题主要涉及生产活动的如质检(一等品、二等品次数期望等大检验费用、疾病治疗和实验等；电路的通断概率；体育竞技赛事胜负概率问题(包括球类、棋类等)；保险费用问题；样本估计总体(常利用频率分布直方图、频率、频数表、茎叶图、条形图、扇形图等)问题；线性回归方程的求解及应用其进行预报(偏重数据处理能力，2015年那题也可以说是非线性)；独立性检验问题；以及考查互斥事件、对立事件、独立事件等概率及条件概率(较少涉及)的问题；n次独立重复试验的分布列和数学期望、超几何分布的分布列和数学期望等等。这些考题充分体现了概率统计是研究随机现象统计规律的重要特征，为相关部门的决策提供帮助和技术支持。当然这些知识点也常常与函数(包括分段函数)的最值问题、不等式(特别是基本不等式)有机结合.【必备基础知识融合】.计算古典概型概率的步骤⑴算出基本事件的总个数n.(2)求出事件A所包含的基本事件个数m.⑶代入公式求出概率P(A).解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.与面积有关的平面图形的几何概型的解题的关键对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算是关键，基本方法是数形结合..条件概率的求法⑴利用定义,分别求P(A)和P(AB),得 ，这是求条件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件网引司=数n(AB),得 ■：'1.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法⑴利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较复杂(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算..利用独立重复试验概率公式时要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k的三个条件:n⑴在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p.(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验而且各次试验的结果是相互独立的.⑶该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率..二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cp(1—p)Ek=0,1,2,…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n,p)，并称p为成功概率..超几何分布的特征(1)考查对象分两类.(2)已知各类对象的个数.2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版⑶从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型..众数、中位数、平均数与直方图的关系⑴众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标⑶平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2x.1xnPp1P2PiPnn⑴均值：称E(X)=^1均土x2p'...+%上..+32为随机变量X的均值或数学期望.(2)方差：称D(X)=£(x-E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根\D"丁为随机变量X的标准差.i=1.均值与方差的性质.E(aX+b)=aE(X)+b..D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数)..两点分布与二项分布的均值、方差均值力差变量X服从两点分布E(X)=pD(X)=p(1-p)X〜B(n,p)E(X)=npD(X)=np(1—p).正态分布X—〃2.正态曲线；函数中…(x尸美京£—2o2，x£(一<»,+<»),其中〃和o为参数(内0,〃£R).我们称函数为…(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线..正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线三对称；③曲线在曰处达到峰值忐；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当。一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着工的变化而沿x轴平移，如图10-9-1甲所示；⑥当〃一定时，曲线的形状由。确定，。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版甲 乙.正态分布的定义及表示；如果对于任何实痴，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X<b)=/帅举，，%)d%，则称随a机变量X服从正态分布，记作X〜N(〃，⑼..正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①Pa—o<X0+。)=0.6826；②Pa—2o<X0+2o)=0.9544；③Pa—3o<X0+3o)=0.9974..必会结论；(1)均值与方差的关系D(X)=E(X2)—E2(X).nM(2)超几何分布的均值；若X服从参数为N,M,n的超几何分布，则E(X)=nM..必知方法；求离散型随机变量均值与方差的基本方法⑴已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解.(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数7=aX+b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解.⑶如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解..归分析⑴定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(%],匕)，(%2,y2),…，(xn，yn)中，(7,7)称为样本点的中心.⑶相关系数£(%,一x)(yi—y)①尸尸，_ ， _£(%—x)2£⑴—y)2£xiy.—nx y=±、£xiy.—nx y=±x2i—nx2)(£y2i—ny2)i=1②当丫>0时，表明两个变量正相关:当r<0时，表明两个变量负相关:当r=0时，表明两个变量线性不相关.2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版r的绝对值越接近于1,表明两个变量之间的线性相关程度越高.r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间的线性相关程度越低.立性检验设A,B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A/A2=Ap变量B：B1,B2=B1；2X2列联表：BAB1B2总计A1aba+bA2cdc+d总计a+cb+dn=a十b十c十d构造一个随机变量/2=（-「二；v二、三二八（a十b）（c十d）（a十c）（b十d）利用随机变量/2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.当x2W2.706时，没有充分的证据判定变量A,B有关联，可以认为变量A,B没有关联的；当x2>2.706时，有90%的把握判定变量A,B有关联；当x2>3.841时，有95%的把握判定变量A,B有关联；当x2>6.635时，有99%的把握判定变量A,B有关联.【解题方法规律技巧】典例1：奥运会组委会从大学生中招收志愿者,被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组:第1组［75,80），第2组［80,85），第3组［85,90），第4组分0,95），第5组分5,100］,得到的频率分布直方图如图所示：⑴分别求出成绩在第3,4,5组的人数.⑵现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组,求甲或乙进入面试的概率.②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试,设第4组中有X名学生被考官D面试,求X的分布列和数学期望.2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版【解析】（"由频率分布直方图知：第3组的人数为5X0.05X40=12.第4组的人数为5X0.04X40=0.第5组的人数为5X0.02X40=4.⑵利用分层抽样,在第3组、第4组、第5蛆中分别抽取—①设'『甲或乙进入面试”为事件4则FQ1）=1一争=且.所以甲或乙进入面试的概率为端②X的所有可能取值为51,4卜）丹|,P-卜等力聆勺噌咕所以区的分布列为E(Xl=0x-+lx—'E(Xl=0x-+lx—',5 151515X012P25815115【规律总结】求解随机变量分布列问题的两个关键点⑴求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率.⑵求随机变量增值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式法求解.nM（3）超几何分布的均值；若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则 ^

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版 ....一一.一,、，.一，，,一,、一 .2_3 、_一典例2：某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2和5.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品A设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率.(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.TOC\o"1-5"\h\z【解配甲组研发新产品成功3尸二£乙组研发新产品成功).由题设如产效=|,尸®斗晒=|,理向冷且事件区与国总与瓦云与巴另与同湘互独立.- — — — 199［11记H=｛至少有一种新产品的爱成功则月二区尸，于是&H)二巴网尸)二‘每二百,故所求的概率一 ? 13为尸(司=1一尸［此=］一行=五 17?设企业可获利润为Y万元，则X的可靛限值为0,10。」2022G因为30尸nEF尸二广迫- 133Pg100)=P［即=君二若』- 224Pg120尸P3尸尸转二本叩U皿二巴期话冬g故所求的分布列为215321531S615色_色_300+480+1320_21002 3 4=140觉学期望为切均=0'记+lOOx—+120x—+220x=140【规律总结】求相互独立事件同时发生的概率的方法.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解..正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.典例3:甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是2外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3：0,3：1,3：2胜利的概率；(2)若比赛结果为3：0或3：1,则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2,则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及均值.222 8【解】⑴设“甲队以3：0,3：1,3：2胜利”分别为事件A,B,C,则P(A)=2冷3=多2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版PB尸C2PB尸C2(2)2X(1-2)2X3827P(C尸C4(1)2x(1一|)2X427.(2)X的可能的取值为0,1,2,3.一 . 16则P(X=0)=P(A)+P(B)=27,4P(X=1)=P(C)=^巴42）=/。一次（|卜（1一步:产（¥=3）=⑨+的分布列为产（¥=3）=⑨+的分布列为1一g

-

1-3

X

2-3

XX0123P274274271916 4 4 17「上⑴=0唠+1售+2玲+%苦【规律总结】独立重复试验满足的三个条件独立重复试验是相互独立事件的特例.二口-可简化概率的计算，但要注意检查概率模型是否满足三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.范围为115,651分钟.典例4:继共享单车之后，又一种新型的出行方式"——“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计范围为115,651分钟.时间（分钟）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55阉次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版（I）若李先生上.下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设己是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求己的分布列和期望.（II）若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.【答案】（I）见解析；（II）542元.【解析】【试题分析】（1）运用二项分布建立随机变量的概率分布列，再运用数学期望公式进行求解J（2）运用加权平均数的计算公式分析求解o3（I）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率p=吧404依题意岑〜月4-，。的值可能为0,1,213；4尸(J=O)=C25612256F（"2）《既54尸(J=O)=C25612256F（"2）《既54256108256Bl256分布列自01234P1256122565425610825681256TOC\o"1-5"\h\z12c 54c108 , 81 0 ―厂 ,3cE5=1x +2义+3* +4* =3 或E5=4义一=3256 256 256 256 48 14 8 8 2 —(II)每次用车路上平均花的时间t=20x一+30x+40x一+50x一+60x—=35.5(分钟)40 40 40 40 40每次租车的费用约为10+35.5X0.1=13.55元.

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版一个月的平均用车费用约为542元.典例5:某市在对高三学生的4月理科数学调研测试的数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布X〜N（110,144），现从甲校100分以上（含100分）的200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷来分析，统计如下:试描编号1is1■打叫是7叫flin试卷得分1091谭L12114I2K127124126120试卷编号叼L件-由叫5叫$上3%%*n2n_试卷得分1351州135137IS5139142144148I5Q（注：表中试卷编号n<n2<28<n4<n§<•,<n20）甲校ftJ2345甲校ftJ2345T1*elk-ILTOC\o"1-5"\h\z2 4 31 592 6 7 K <12 4 5 7 9\o"CurrentDocument"2 3 3 7（1）列出表中试卷得分为126分的试卷编号（写出具体数据）；（2）该市又从乙校中也用系统抽样的方法抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图（如图6），试通过茎叶图比较两校学生成绩的平均分及分散程度（均不要求计算出具体值，给出结论即可）（3）在第（2）问的前提下，从甲乙两校这40名学生中，从成绩在140分以上（含140分）的学生中任意抽取3人，该3人在全市前15名的人数记为己，求己的分布列和期望.（附：若随机变量X服从正态分布N（上。2），则P（从—0<X<N+o）=68.3%，P（从一2o<X<从+2o）=95.4%，P（从一3o<X<从+3o）=99.7%）【答案】（1）126分的试卷编号分别为48,88;（2）见解析；（3）见解析.E解析】试题分析：⑴对应查表即可求得；（2）根据茎叶图的特征即得甲校学生成绩的平均分高于乙校学生成绩的平均分，甲校学生成绩比莪集中,Z校学生成绩比较分散；W分析条件可得这40人中成绩在14S分以上（含Lg分）的有3人,而成绩在140分以上（含140分）的有自大，利用超几何分布可以求得.2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版试题解析：・ 分的试卷编言分别为458S.通过茎叶图可知：甲校学生成绩的平均分高于乙校学生成绩的平均分，甲校学生成绩比较集中,乙校学生成绩比较分散.（3）■.1-^-=0.0015,根据正态分布可知：F（74<X<U6）=99.7%,100001-997%.1.P（jr>146）=——=0.001S即前15名的成绩全都在1始分以上（含L茹分）.根据茎叶图可知这40人中成绩在14S分以上（含1姐分）的有3人，而成绩在140分以上（含L40分）的有日大.・•・自的取值为0,1,2,3.P(1=0)=P(1=0)=C3 288“二D=“二D=CCC3815—,2815—,56P(P(m=3)=C3二C38 ,56因此E(1因此E(1)=05115c15x—+1x—+2x—28 28 5601+3x=56自0123P51515128285656【规律总结】由典例4和典例5总结：二项分布与超几何分布的区别选取容易出错：有放回抽样时，每次抽样时的总体没有改变，因而每次抽到的某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型，而不放回抽样时，取出一个则总体就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型，因此，二项分布模型和超几何模型最

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别是：（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）；（3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布，经常用二项分布来解题典例6:某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理.（1）若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：瓶，neN）的函数解析式；（2）鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量（单位：瓶），绘制出如下的柱形图（例如：日需求量为25瓶时，频数为5）：31前2731前27以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望;（ii）若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由.7n—90(n<29)/元（ii）应购进30瓶.【答案】(1)y={120(n>30)(neN)(2)(i)E(X元（ii）应购进30瓶.【解析】试题分析:<1）讨论篦之和门029时两种情况即可jB（i）彳的可能取值为旦h%眄gU3.120,分别求得概率，即可得分布列,利用期望公式可得期望值3

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版oOi)购进四瓶时，计算当天利润的数学期望,与11L95比校大小下结论即可.试题解析：7售一90(篦W29)12。7售一90(篦W29)12。5之30)当网V29时y=0—节用一式3口一可=7科一州.故尸={⑵(L)天的可能取■值为®5,风刑106,113,120,产(万=85)=口一。5,尸(X=92)=0]，产N=99)=0LJ3^=106)=005,产(X=113)=04，P(Ar=120)=0.6.x的分布列为XS5[)299106113120P0.050J0.10.0.10.6E(X)=(85+106)x0.05+(92+99+113)x0.1+120x0.6=111.95元.(ii)购进29瓶时，当天利润的数学期望为t=(25x4-4x3)x0.05+(26x4-3x3)x0.1+(27x4-2x3)x0.1+(28x4-1x3)x0.05+29x4x0.7=110.75，因为111.95>110.75，所以应购进30瓶.【规律总结】概率统计是研究随机现象统计规律的重要特征，为相关部门的决策提供帮助和技术支持，解决这类试题的关键是认真读题，理解题意，对于利用概率统计的思想作出决策的问题，往往是通过计算随机变量的期望和方差来进行比较，通常可以利用期望比较出来的一般就可以直接下结论了，但是当期望相同时，可以进一步研究方差的大小，从而得到满足题意的方案.典例7：2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版(I)估计该组数据的中位数、众数；(II)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(u,210),u近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(50.5<Z<94)；(III)在(II)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：⑴得分不低于u可获赠2次随机话费，得分低于u则只有1次；(ii)每次赠送的随机话费和对应概率如下：赠送话费(单元：元)102031概率—44现有一位市民要参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加.问卷调查获赠的话费，求X的分布列和数学期望.附：<210=14.5,若2N(g,o2),则UP(g-G<Z<g+o)=0.6826,P(g-2G<Z<g+2o)=0.9544. ’、 …75【答案】(1)65,65(2)0.8185(3)EX二一4【解析】试题分析二(I)由C0,0025-H?.0050-KJ.Q100-K).0150+a+0.0226+0.0260)X10=1 3=0.0200,谩中位数为由申OQ25+0.0150+)X10+(e-60)XQ.Q25O=0.5000；解得H二65,由频率分布直方图可知众数为65.(II)从这10g人问卷调查得到的平均值k为乩二35X0.025+45X0.15+55X0.20-^5X0.25+75X0.225-H85XO.1+95X0.05=65,因为由于得分芷服从正态分布©佃5,21。)n所以p(50.5<Z<94)=P(60-14.5<Z<60+14.5X2)=竺色殳也肛史即得解；2(III)设得分不低于H分的概率为口，则P3号乩)=由题意得各概率即可得分布列和期望.2试题解析：(I)由(0.0025-+O.0050-K).010Q-K).0150+a+0.0225+0.0250)X10=1；得a=0.0200,i殳中位数为X,由+0.0150+)X1Q+(k-6Q)XQ.Q25Q=0.5000；解得』=65,由频率分布直方图可知众救为65.(I)从这1000人问卷调查得到的平均值u为u=35X0.025+45X0.15+55X0.20+65X0.25+75X0.225+85X0.1+95X0.05=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65因为由于得分Z服从正态分布N(65,210),2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版、/ 、0.6826+0.9544所以P(50.5<Z<94)=P(60-14.5<Z<60+14.5X2)= =0.8185.2an)设得分不低于u分的概率为p,则p(znu):1,X的取值为10,20,30,40,P(X=10)P(X―20P(X=10)P(X―20)=11133—X—+—X—X——242441332P(X=30)——,

16P(X=40)=111 1—X—X———24432所以X的分布列为:X10203040P31332A75TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"— -3-13—3 …175\o"CurrentDocument"所以EX=10X—+20x +30x一+40x =\o"CurrentDocument"8 32 16 32【规律总结】众数、中位数、平均数与直方图的关系⑴众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.⑵中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标⑶平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和典例8：一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.(I)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(II)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.(注：若三个数a,b,c满足a<b<c,则称b为这三个数的中位数).【答案】(I)P=-5(II)见解析84

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版【解析】试题分析:（I）先算出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个额，然后代入古曲概型概率计算公式即可；（ID应先根据题意求出随机变量丫的所有可能值，再计算出每个随机变量所对应事件的概率,最后将分布列以表格形式呈现，从而求出数学期望.试题解析：（I）由古曲概型中的概率计算公式知斫求概率为尸=盘里=2G84(II)元的所有可能值为1,2,(II)元的所有可能值为1,2,乡，旦尸（工=1）=盘泸=£，产口4=东鸿+宇+穹屈,^=3）=^=1.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"G84 q12故X的分布列为X123P174243841124728TOC\o"1-5"\h\z[r ao 14728从而E(X)=1x17+2义丝+3义—42 84 12【规律总结】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布 ，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（二「二冲）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.典例9：菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x（单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y（单位：微克）的统计表:x12345y5854392910（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y是正相关还是负相关；（2）若用解析式9=ex2+d作为蔬菜农药残量y与用水量x的回归方程，令攻=x2，计算平均值刃与y，完成

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版以下表格（填在答题卡中），求出9与x的回归方程.（C,d保留两位有效数字）;w149162595854392910w-wy.-y（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据石氏2.236）（附：对于一组数据QjvJQ2，vJ……,”,vn）,其回归直线v=a+Pu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：p=Z4u-u）（v-v）,底〜°识）乙n（u-u）2i=1i【答案】（1）负相关（2）9=-2.0x2+60（3）需要4.5千克的清水【解析】试题分析：3描出散点图根据图像可得到负相关i 根据公式得到回归方程5（3）当（父20时，-2.（*+60（20,力25*4兄故可得到结果口解析：（1）负相关.（含散点图）（2）历=11,9=38w1491625y5854392910w-w-10-7-2514y,-y20161-9-28

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版-10x20+(-7)x16+(-2)x1+5x(-9)+14x(-28)耳缄2.0374d=y-cw=38-f-卫［I374)义11工60,y=-耳缄2.0374d=y-cw=38-f-卫［I374)义11工60,y=-2.0w+60=-2.0x2+60.（3）当y<20时，-2.0x2+60；20,x\2<5=4.5•••为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.【规律总结】（1）回归直线丫=匕乂+&必过样本点的中心（乂，y）.⑵正确运用计算b,a的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键.⑶分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.（4）分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0,表明两变量线性相关性越弱.典例10：“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额t（百元）的频率分布直方图如图所示：⑴求网民消费金额t的中位数t；0⑵把下表中空格里的数填上，能否有90%的把握认为网购消费与性别有关；（3）将⑵中的频率当作概率，电子商务平台从该市网民中随机抽取10人赠送电子礼金，求这10人中女性的人数X的数学期望.*典蚓物距£06 004■—L…!! 仆.Q30r-02 I-1-i.「h-- i0 5 1015如25M海得金旗“百元）男女合计t>t0t<t030合计45

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版附表:P(K2>k0)0.150.100.05k02.0722.7063.841n(ad-bc>一(a工b儿工d兀［而d).【答案】（1）10；（2）答案见解析；（3）5.5.【解析】试题分析：⑴根据频率分布直方图小长方形面积等于对应区间概率,求出第一组，第二组的频率，再根据频率之和为0.5确定中位数（2）根据条件对应填数据,再代入到卡方公式,最后比较参考数据,确定可靠性（的先求概率,再根据二项分布得数学期望试题解析二⑴直方图中第一史，第二纪的频率之和为。一04吊5+096x5=65,，，的中位数4=3.⑵男女t>t0252550t<t02030504555100n(ad—bc1 100(25*30—25义201——氏1.01<2,706.99——氏1.01<2,706.99(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 45义55*50*50没有90%的把握认为网购消费与性别有关.（3）网购的网民中，女性的频率为黑—0.55,100・•・抽取10人中女性人数X〜B（10,0.55）,E（X）—10x0.55—5.5.【规律总结】独立性检验的方法①构造2X2列联表；②计算K2；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联.2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的卜值与求得的K2相比较.另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p,所以其有关联的可能性为1p.【归纳常用万能模板】【引例】(2016・全国I卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.⑴求X的分布列；(2)若要求P(XWn)三0.5,确定n的最小值；⑶以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？,蟒、第3｝问得分点说明：■亚商写出易损零件数对应概率存1分1商正附求出两个概率蛤1分 ■,规范解答(1)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11,记事件A,为第一台机器3年内换掉，+7个零件(i=1,2,3,4),记事件凡为第二台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4),由题知P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2,P(A2)=P(B2)=0.4.1分|得分点①设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22,2分|得分点②P(X=16)=P(A1)P(BJ=0.2X0.2=0.04,P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.2X0.4+0.4X0.2=0.16,P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.2X0.2+0.4X0.4+0.2X0.2=0.24,P(X=19)=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.2X0.2+0.4X0.2+0.2X0.4+0.2X0.2=0.24,2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.4X0.2+0.2X0.2+0.2X0.4=0.2,P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.2X0.2+0.2X0.2=0.08.P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.2X0.2=0.04.5分|得分点③所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.046分|得分点④|批注 .<! 第㈠)间舁分点说明：□求出h=2()时期埴住各得2分：a>出结论】分，(2)要令P(XWn)三0.5,因为0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.24三0.5,］则n的最小值为19.8分|得分点⑤⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为19X200+500X0.2+1000X0.08+1500X0.04=4040,当n=20时，费用的期望为20X200+500X0.08+1000X0.04=4080.所以应选用n=19.12分|得分点⑥高考状元满分心得.正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第1)问就是求解离散型随机变量的分布列，其关键是准确写出随机变量X的取值及正确求其概率..注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上利用分布列求概率之和来求解..注意将概率求对：与离散型随机变量有关的问题，准确求出随机变量取值的概率是关键本题第(1)问，要做到：一是随机变量取值要准，二是要明确随机变量取每个值的意义，同时也要注意事件的独立性在(1),(3)问中概率、期望值要写出求解过程，不能直接写出数值.解题程序第一步：设出基本事件，明确事件间的关系及含义.第二步：求出各个事件发生的概率.第三步：列出随机变量X的分布列.第四步：解关于n的不等式，求出n的最小值.第五步：讨论n=19与n=20时的费用期望，做出判断决策.

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版第六步：检验反思，明确步骤规范.【易错易混温馨提醒】一、二项分布和超几何分布模型的选择容易搞混易错1：在一次体能测试中，某研究院对该地区甲、乙两学校做抽样调查，所得学生的测试成绩如下表所示:甲6772737967R2X.R工07090乙697375X069K]&9S2719]（1）将甲、乙两学校学生的成绩整理在所给的茎叶图中，并分别计算其平均数;（2）若在乙学校被抽取的10名学生中任选3人检测肺活量，求被抽到的3人中，至少2人成绩超过80分的概率;（3）以甲学校的体能测试情况估计该地区所有学生的体能情况，则若从该地区随机抽取4名学生，记测试成绩在80分以上（含80分）的人数为X，求X的分布列及期望.【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析.【解析】【试题分析】（1）根据茎叶图的知识和数据填写好,并分别求两校测试成绩的平均数/⑶至少2人有两种情况：2人或3人,利用超几何分布的计算公式可求得至少2人成绩超付8口的概率.臼）8。分以.上的概率为|,利用二项分布的计算公式可求得X的分布列及期望.【试题解析】（1）茎叶图如下所示:甲77025甲77025。02&6

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Kg9®]J501291故甲学校学生成绩的平均数为^(67+67+70+72+75+79+80+82+88+90)=77,乙学校学生成绩的平均教为^-(69+69+71+73+75+80+81+E2+89+91)=78TOC\o"1-5"\h\zC2C1C3 1(2)记至少2人成绩超过80分为事件A，则P{A)==+=-；C3 C3310 10

2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版一（.2、（3）依题意，X的可能取值为0，1，2,3,4,则X〜B4,-I5）P(X=0)=P(XP(X=0)=P(X=2)=C24P(X=4)=81625P(X=1)=C14216625P(X=3)=C341662521662596625易错2：为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）.若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号.（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用••表示所选女“优秀警员”的人数，试求的分布列和数学期望.【答案】（1） （2）见解析2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版【解析】试题分析，（1讦U用题意和对立事件公式可求得至少有1人是“优秀警员”的概率是当Q）题中的分布列属于超几何分布，据此求得分布列和数学期望阿=工即可一试题解析：解：（口根据茎叶图：有“优秀警员"建人』“优秀陪练员打&人用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是非二，■I-Ud-所以选中的“优秀警员”有4人优秀陪练员”有E人.用事件A表示“至少有1名“优秀警员”被选中，则25）=1—孚=1--=-.寸口 14因此J至少有1人是"优秀警员”的概率是普12Iw12(2)依题意，4的取值为口，I2,3.* 14 扇28-0)--一一一 —1)一一v-一C?.55iJcA5512 ， S ,C混12 烯1-2)-—--- -3)----一55 〜、」需555 ， l12 ，因此，〈的分布列如下：0123P1455285512而1551428I■,■ =0x—\1x—\x—13x—=1口口 口口 0J 口口二、求解离散型随机变量的概率时容易忽略情况导致出错如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X.2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；(2)求X的分布列和数学期望.【答案】(1)察(2)E(X)=251243 81E解析】试题分析；⑴根据等可能性知每次赢、平.输的概率皆为再分两种情况分别计数:一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶』最后一次划拳小华平J另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划奉小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互月事件概率加法公式求概率，(2)先确定随机变量取法,再分别利用蛆合求对应概率,列表可得分布列,