大学数学48学时教学大纲

《大学数学》教学大纲数学与信息科学学院计算数学教研室

一、课程名称：大学数学二、课时与学分：总学时48三、课程教学目标：

通过本课程的学习，培养文科类学生的抽象思维能力，逻辑推理能力及辩证的思考能力。要求学生了解数学理论的产生、形成及用途，体会数学方法的特点和精神，掌握基本的数学运算和简单应用。四、适用学科专业：国际商学院专业主要内容第1章

函数与极限

重点：函数的特性与初等函数.难点：复合函数、反函数.§1.1

函数

内容与要求：了解区间和邻域的概念。理解并掌握函数的概念。理解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性的概念，并能利用概念研究函数的相应性质;会求反函数，会构造和分解常见的复合函数;§1.2

极限重点：极限的运算法则，无穷小的概念与性质，两个重要极限，无穷小的阶的比较，等价无穷小替换定理，连续性的概念，间断点的类型。

难点：极限的概念.内容与要求：理解数列极限和函数极限的概念会用函数极限存在的充要条件(左、右极限都存在并且相等)来讨论函数极限的存在性和不存在性.了解函数极限的性质，掌握无穷小的定义与性质，了解无穷小与无穷大的关系，熟练掌握极限的四则运算法则，并能应用法则来求数列及函数的极限.1：设数列收敛，即，则有：；；2：设函数和当分别存在极限A和B，即，，则有：其中关于和与乘积的运算法则还可以推广到有有限个极限的函数（数列）的和与积的情况，上述极限法则对于的情形也都是成立的。了解极限的复合运算法则，会利用它来求复合函数的极限。

牢记两个重要极限与及其推广形式，并能结合极限的四则运算法则灵活地使用它们来求极限.掌握等价无穷小替换定理，并会使用它来求函数极限。§1.3

函数的连续性内容与要求：理解函数在一点连续（包括左、右连续）的概念；知道函数在一点连续的充要条件是函数在该点左、右连续；知道函数在区间上连续的定义；会求函数的间断点并判定其类型；了解连续函数的运算性质和初等函数的连续性；了解闭区间上连续函数的性质，并能应用这些性质证明一些简单问题.第2章一元函数微分学重点：导数的定义及其几何意义；导数的四则运算法则；复合函数的求导法则；初等函数的求导问题；微分的定义.难点：复合函数的求导法则.§2.1导数与微分§2.1.1导数的概念内容与要求：熟练掌握导数和左、右导数的定义；理解导函数的概念；知道导数的几何意义及物理意义，会从定义出发求导数；知道可导的充要条件是左、右导数都存在并且相等，正确认识可导与连续的关系.§2.1.2导数基本公式与求导法则熟练掌握导数的基本公式，导数的四则运算法则和复合函数求导法则，并能利用这些法则和公式迅速准确地求出初等函数得导数.1．基本求导公式：；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；2．导数四则运算；若，均为可导函数，则有：3．复合函数求导法则：掌握隐函数的求导方法和对数求导法，并能在求导时灵活运用；领会高阶导数的定义，会求简单函数的高阶导数；§2.1.3微分

理解微分的定义——函数增量的线性主部；知道导数与微分的联系与区别；会利用微分的基本公式与运算法则求函数的微分；

§2.2微分中值定理及导数的应用重点：微分中值定理、洛必达法则、函数的单调性与极值、凹凸性与拐点难点：微分中值定理、洛必达法则.§2.2.1微分中值定理内容与要求：准确叙述罗尔定理和拉格朗日定理，掌握中值定理的条件、结论及相互关系；会应用中值定理证明某些简单问题.罗尔定理：设函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；在区间两个端点处的函数值相等，即。则在内至少存在一点，使。拉格朗日定理：设函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得：§2.2.1洛必达法则知道什么是未定式，了解未定式的各种类型：熟练地应用洛必达法则求未定式型和型的极限；§2.2.3函数的单调性、极值及最大值与最小值掌握函数单调性的判定定理，会求函数的单调区间；理解函数的极大值和极小值的定义;知道函数取得极值的必要条件和充分条件，会求函数的极值;弄清最值与极值的关系，会求连续函数在闭区间上的最大值和最小值.理解函数凹、凸的定义及其几何意义；会用二阶导数来判断曲线的凹凸性，找出曲线的凹凸区间；知道拐点的定义，并能用二阶导数判定曲线的拐点.第3章

一元函数积分学重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法与部分积分法.难点：换元积分法，分部积分法.§3.1

不定积分§3.1.1原函数与不定积分

内容与要求：掌握原函数与不定积分的定义，知道它们的联系与区别；知道原函数存在定理：区间I上的连续函数存在原函数；熟知不定积分的基本性质和运算法则；牢记基本积分公式，并会用这些公式和积分法则来求不定积分.，(k是常数)；，（）；；；；；；；；；；；；；；；；；；；§3.1.2换元积分法内容与要求：掌握并灵活运用第一换元积分法——凑微分法；掌握第二换元积分法.§3.1.3分部积分法内容与要求：牢固掌握分部积分公式

§3.2

定积分及其应用重点：定积分的概念，定积分中值定理，微积分基本定理，牛顿—莱布尼兹公式.难点：定积分的概念.§3.2.1

定积分的概念与性质内容与要求：深刻理解定积分的定义，知道定积分的几何意义；了解定积分可积的必要条件与充分条件；熟知定积分的下列性质：性质1：函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即：性质2：被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即：性质3：如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设，则：性质4：如果，则性质5：如果在区间上，则推论1：如果在区间上，则推论2：推论3：设M,m分别是函数在上的最大值和最小值，则性质6：如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，是下式成立：§3.2.2

微积分学基本定理内容与要求：知道变上限的定积分是上限的函数；定理1：如果函数在闭区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数是：定理2：如果函数在闭区间上连续，则函数就是在上的一个原函数。熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，会用此公式准确、迅速地求出定积分的值.定理3：如果函数是连续函数在上的一个原函数，则§3.2.3定积分的计算

内容与要求：掌握并正确使用定积分的换元积分法。牢记定积分的分部积分公式，会用分部积分公式计算定积分；§3.2.5定积分的应用理解微元法，会利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积。第4章二元函数微积分学重点：偏导数与全微分的概念；多元复合函数的求导法则.难点：全微分的概念与多元复合函数的求导法则.§4.1.1二元函数的极限与连续内容与要求：了解二元函数的定义，会求二元函数的定义域.了解二元函数极限的定义，会求二元函数的极限；知道二元函数在一点以及在区域上连续的含义；§4.1.2

偏导数与全微分内容与要求：理解并掌握偏导数的定义；会求函数的偏导数；了解二元函数的二阶偏导数的定义，会求二元函数的二阶偏导数。掌握二元函数全微分的定义；了解二元函数的可微的必要条件与充分条件；了解二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系；会求全微分；§4.1.3复合函数求导法则熟练掌握各种情况下多元复合函数的求导公式；§4.1.4二元函数的极值内容与要求：知道二元函数的极大值、极小值的定义；知道可导函数取得极值的必要条件和驻点的含义；知道判定函数取得极值的充分条件；会求函数的极值；§4.2二重积分重点：二重积分的概念及其计算方法.难点：重积分化为二次积分.§4.2.1二重积分的概念与性质内容与要求：领会二重积分的定义，知道二重积分的几何意义；弄清并记住二重积分的性质.性质1：（线性性质）是常数。性质2：（区域可加性）若，且，公共部分面积是，则有：性质3：若，则，这里是区域的面积。性质4：若，则性质5：（中值定理）设函数在有界闭区域上连续，是区域的面积，则在上至少存在一点使§4.2.2

二重积分的计算内容与要求：对于矩形区域，X型或Y型区域，能把二重积分化为二次积分;对于较复杂的区域D，知道把D分割成若干个小区域，然后利用可加性来求;会交换二次积分的积分次序.教学课时分配表章课