2023年教师资格《初中数学学科知识与能力》模拟真题一

2023年教师资格《初中数学学科知识与能力》模拟真题一1[单选题]与向量a=(2，3，1)垂（江南博哥）直的平面是()。A.x-2y+z=3B.2x+y+3z=3C.2x+3y+z=3D.x—y+z=3正确答案：C参考解析：本题考查空间解析几何中平面的法向量的相关知识。平面的法向量是垂直于平面的非零向量。在空间直角坐标系中，平面Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不同时为零)的一个法向量为n=(A，B，C)。本题中，向量a=(2，3，1)为平面2x+3y+z=3的法向量，故垂直于平面2x+3y+z=3。故本题选C。2[单选题]设函数f(x)在x=0处连续，且则()。A.f(0)=1且f'(0)=2B.f(0)=0且f'(0)=2C.f(0)=1且f'+(x)=2D.f(0)=0且f'+(0)=2正确答案：D参考解析：

t=x2)。3[单选题]常数α>0，则级数的敛散性为()。A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与α的取值有关正确答案：C参考解析：

4[单选题]设区域D={(X，Y)|X2+y2≤4}A.8πB.2πC.16πD.4π正确答案：D参考解析：根据二重积分的意义，被积函数为1时表示积分区域的面积，所以。5[单选题]已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为，mx-y=0，若m在集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是()A.B.C.D.正确答案：C参考解析：

6[单选题]设A是3阶不可逆矩阵，E是3阶单位矩阵。若齐次线性方程组(A一3E)x=0的基础解系由两个线性无关的解向量构成，则行列式|A+E|=()A.16B.8C.4D.2正确答案：A参考解析：因为A为3阶不可逆矩阵，所以|A|=0，且0必是A的特征值。又齐次线性方程组(A一3E)x=0的基础解系由两个线性无关的解向量构成，则矩阵A-3E有两个相同的特征值0，即A有二重特征值3。故3阶矩阵A的三个特征值分别为0，3和3，矩阵A+E的三个特征值分别为1，4和4，从而行列式|A+E|=1·4·4=16。7[单选题]依据22-1=3，23-1=7，25-1=31，27-1=127，得出结论：当P为素数(质数)时，2p-1也是素数。这里运用的是()。A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.合情推理同时也是演绎推理正确答案：A参考解析：推理分为合情推理和演绎推理，演绎推理是思维进程中从一般到特殊的推理，这种推理以形式逻辑或论证逻辑为依据，有三段论、关系推理等推理模式；合情推理是一种合乎情理的、似以为真的推理，合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由个别事实概括出一般结论的推理，是由部分到整体、个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。本题中，是通过归纳推理得出结论，没有进行严谨的证明，故该推理过程运用了合情推理中的归纳推理，没有运用演绎推理。故本题选A。8[单选题]“对知识的含义有感性的、初步的认识，能够说出这一知识是什么，能够在有关问题中识别它”，这个教学要求所属的层次是()A.了解B.理解C.掌握D.灵活运用正确答案：A参考解析：了解的同类词有“知道”“初步认识”等。9[简答题]求由曲面z=x2+2y2及z=6—2x2一y2所围成的立体的体积。参考解析：求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x-y2所围成的立体的体积。

曲面Ω是由z=+2y及2x+y=6-z围成，消掉z得x2+2y2=6-2x-y2，所以可得投影区域D：x2+y2≤2，则围成的立体图形

10[简答题]设实对称矩阵求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵。参考解析：

11[简答题]一项“过关游戏”规定：在第n关抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。(假设骰子是各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体，抛掷骰子落地静止后，向上的点数为出现点数)

(1)某人在这项游戏中最多能过几关?(3分)

(2)连过前三关的概率是多少?(4分)参考解析：12[简答题]求曲面z-e^z+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面及法线方程。参考解析：

13[简答题]《义务教育数学课程标准》（2022年版）提出的课程总目标是从哪几个方面进行阐述的？说说这几方面的关系。参考解析：《义务教育数学课程标准》(2022年版)提出的课程总目标是从三个方面具体阐述的，即：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界(简称“三会”)。学生能:(1)获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

(2)体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题。

(3)对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神。14[简答题]设R2为二维欧氏平面，F是R2到R2的映射，如果存在-个实数ρ，O<ρ<1，使得对于任意的P，Q∈R2，有d(F(P)，F(Q))≤ρd(P，Q)(其中d(P，Q)表示P，Q两点间的距离)，则称F是压缩映射。

设映射T：R2→R2

(1)证明：映射T是压缩映射。(4分)

(2)设P0=P0(x0，y0)为R2中任意-点，令Pn=T(Pn-1)，n=1，2，3，…，求(6分)参考解析：

15[简答题]“抽象与具体相结合”是数学教学原则中的内容。

(1)怎样理解数学的抽象性与具体性；

(2)在中学数学教学中如何做到抽象与具体相结合。参考解析：(1)抽象是指在认识上把事物的规定、属性、关系从原来有机联系的整体中孤立地抽取出来；具体是指尚未经过这种抽象的感性对象。数学是以现实世界的空间形式与数量关系作为研究对象的，它抛开了对象的具体内容，具有高度的抽象性。数学广泛而系统地使用了数学符号，具有字词、词义、符号三位一体的特性。数学的抽象性必须以具体素材为基础，更以广泛的具体性为归宿。

(2)在中学数学教学中，要做到抽象与具体相结合。第一，要着重培养学生的抽象思维能力。所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象，运用概念、判断、推理等进行思维的能力。按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象思维和理论型抽象思维。在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得到充分发展的人，才能很好地分析和综合各种事物，才有能力去解决问题。第二，要培养学生的观察能力，提高学生的抽象、概括能力。在教学中，可通过实物教具，利用数形结合，以形代数等手段，贯彻抽象与具体相结合的原则。例如，讲二次函数有关性质时，可先画出图像，再观察图像抽象出有关性质。16[简答题]以下为某教师在进行“一元一次不等式组”教学中设计的相关教学活动：

出示例题：小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在另一端。这时，爸爸的一端仍然着地，后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被高高地跷起。猜猜看，小宝的体重约多少千克?

教师问学生：“你们玩过跷跷板吗?先看看题，一会儿请同学复述一下。”学生复述后，基本已经熟悉了题目。接着教师让学生思考：他们三人坐了几次跷跷板?第一次坐时情况怎样?第二次呢?

学生议论了一会儿，自主发言，很快发现本题中存在的两种文字形式的不等关系：

爸爸体重>小宝体重+妈妈体重

爸爸体重<小宝体重+妈妈体重+一副哑铃重量

教师顺势引导：你还能怎么判断小宝体重?学生安静了几分钟后，开始议论。一学生举手：“可以列不等式组。”教师给出提示：“小宝的体重应该同时满足上述的两个条件。怎么把这个意思表达成数学式子呢?”这时学生们七嘴八舌地讨论起来，都抢着回答，该教师注意到一位平时不爱说话的学生紧锁眉头，便让他发言：“可以设小宝的体重为x千克，能列出两个不等式。可是接下来我就不知道了。”教师听了心中一动，意识到这应是思想渗透的好机会，便解释说：“我们在初中遇到的许多问题都可以用类似的方法来研究解决，比方说前面列方程组……”不等教师说完，学生都齐声答：“列不等式组。”全班12个小组都积极投入到解题活动中了。5分钟后，教师请学生板演，自己下去巡查、指导，发现学生的解题思路都很清楚，只是部分学生对答案的表达不够准确。于是提议学生说说列不等式组解应用题分几步，应注意什么。此时学生也基本上形成了对建立不等式组解题方法的完整认识。

问题：

(1)请结合《义务教育数学课程标准》简要分析该教师的教学过程；(8分)

(2)本节课所蕴含的数学思想方法包括什么?(6分)

(3)请设置一道开放题检测学生对本节知识的掌握情况。(6分)参考解析：(1)《义务教育数学课程标准》要求，让学生在实际背景中理解问题涉及的基本数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程。在实际：亡作中让学生学会从具体问题情境中抽象出数学问题，使用各种数学语言表达问题，建立数学关系式，获得合理的解答，理解并掌握相应的数学知识与技能，多数教师虽然注意到了这些，但要做好，仍有一定难度在教学过程中，该教师在课堂教学中设置了几个台阶，这也正好符合了循序渐进的教学原则。例题贴近学生实际，在教学中又采用了更亲近的教学语言，有利于激发学生的探究欲望。关注学生的学习状态，随时采取灵活适宜的教学方法，师生互动，生生互动，课堂教学才更加有效。学生在学习后，确实感受到“不等式的方法”就像“方程的方法”一样是从字母表示数开始研究解决的。这种方法可以帮助学生用数学的方式解决实际问题。

(2)化归思想，类比思想。

(3)问题：一次考试共25道选择题，做对一道得4分，做错一道减2分，不做得0分。若小明想确保考试成绩在60分以上，那么他至少要做对多少题?17[简答题]在学习了三个“三角形相似的判定定理”后，某教师设计了一节习题课的教学目标：

①进一步巩固“三角形相似的判定定理”，并学会灵活应用；

②在解决问题的过程中，学生能感受到图形运动变化的思想，能用运动变化的观点看问题，感受数形结合思想、分类讨论思想等数学思想；

③学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题、解决问题的能力。

他的教学设计中包含了这样的一道例题：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，且AB=8，

DC=6．BC=14。

问题一：BC上是否存在一点P使△ABP与△DCP相似。

问题二：若有这样的点P存在，点P的位置有几个?并求出此时BP的长。

针对上述材料，完成下列任务：

(1)结合该教师的教学目标，分析该例题的设计意图；(10分)

(2)设计例题的简要教学流程，并给出解题后的小结提纲；(12分)

(3)类比题干例题中的问题二，设计一个例题，使之符合教学目标②的要求。(8分)参考解析：(1)该例题的设计意图如下：解决这道题目需要学生利用三角形相似的判定定理得到两个三角形的对边成相同比例，进而得知点P的位置。因此，在练习过程中，加深学生对三角形相似判定定理的理解，从而使学生灵活掌握基础基础知识，提高解决问题的能力，顺利达成教学目标①和③。

问题一可以鼓励学生与周围同学进行讨论，理解三角形全等与三角形相似的区别与联系，发散思维，开拓思路。

问题二可以一题多解，既锻炼学生的发散思维，又能加深其对三角形相似的判定定理的理解，进而熟练运用，最终达成教学目标②。

(2)多媒体展示题目和问题，学生进行思考、作答。如果学生顺利作答，将课堂放手交还给学生，如果学生遇到了一定的困难。可以组织学生进行讨论，或者教师通过问题进行启发引导，降低题目的难度。

对于问题一可以提出问题：若这样的点P存在，你能确定点P的位置吗?

对于问题二可以提出问题：①全等的三角形是相似三角形吗?②根据题干和图形，还可以得到哪两组对应边成比例