CH二重积分的概念与性质实用

会计学1CH二重积分的概念与性质实用曲顶柱体的体积

设一立体的底是xOy面上的闭区域D

它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zf(x

y)

这里f(x

y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体

第1页/共39页解法:

类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：

xOy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”１．曲顶柱体的体积第2页/共39页1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体第3页/共39页4)“取极限”令第4页/共39页步骤如下：用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积Vk

Vk

f(k

k)k

用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体积

将分割加细取极限求得曲顶柱体体积的精确值用曲线网把D分成小区域

1

2

n

“大化小,常代变,近似和,取极限”第5页/共39页播放

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第6页/共39页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第7页/共39页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第8页/共39页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第9页/共39页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第10页/共39页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第11页/共39页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第12页/共39页有一个平面薄片,在xOy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.２．求平面薄片的质量第13页/共39页2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量第14页/共39页两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第15页/共39页二、二重积分的概念第16页/共39页积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素第17页/共39页———积分号

二重积分的定义积分中各部分的名称

f(x

y)——被积函数

f(x

y)d—被积表达式

d———面积元素

x

y———积分变量

D————积分区域

——积分和

iiinifshxD=å),(1

第18页/共39页对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．第19页/共39页

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:第20页/共39页二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D

上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.第21页/共39页性质１当K为常数时，被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质第22页/共39页性质3(对积分区域的可加性)如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则D上的二重积分等于各部分闭区域上二重积分的和.例如D可分为两个闭区域D１和D２，则第23页/共39页性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有第24页/共39页性质６（二重积分估值不等式）第25页/共39页性质７（二重积分中值定理）证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点使因此第26页/共39页例1比较下列积分的大小：1）与其中D:0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解：在区域

D内，显然有故在D内第27页/共39页解第28页/共39页例3设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有第29页/共39页解区域D的面积=s

x第30页/共39页解第31页/共39页练习估计下列积分之值解:

D

的面积为由于积分性质6即:1.96I2D第32页/共39页例6判断的正负.解：当时，故又当时，于是第33页/共39页二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结第34页/共39页思考题1

将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.第35页/共39页

定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分