线性代数-课件第十六讲

第五章向§5.1向一、矩阵的相A、Bnn阶P，使得P1APA相似BA～B；PAB相似变换矩阵自反性A对称性A

A；BB~传递性A

B,B~C

A~C例

A~BA~B

AmAT

Bm；BT；

A~B

A

B|

A

2

B

a a

A～B，所以|A||B|

a1

a4设A是n11A~

n则称A可对角化，称为A的相似标准形二、特征值与特征向量的定义和求设A33阶可逆矩阵P，使11P1AP

2 3把PP

X2

X3]AP而

A[

X3][

1 1

[11

[0]P [ X2

X3]

[2

[0]

[ 3

[

X2[2

3因11

2X2

3X3APP

2 3[

AX3]

2

3X3

2X2

3X3

A是nλn元非零列向X，使得AX=λ (λI-A)XλA的特征值，XA（或对应于）λ的特征向量。特征值与特征向量的计算A：方阵；0：特征值；X0：特征向量AX

0X (0IA)X0 X0(0I

A)X |0

A| 0是方|IA| 结论：特征值 方程②的特征向量 方程组①的非零AnλI-AA的特征矩阵I

AA的特征多项式

fA()；I

0A的特征方程(λI-A)X0A的特征方程组A

0，称零

N

A0的特征子空间，记为 00 0 A 0210 210 解10|IA4010

2)

1

A21（二重对

2

(2I

0：2I

A令x31

X1

，故A2

0)对1

(I

IA x12令x31

X2

A1

k2X2

0)设A

A 解 |I

A

1

1

11 112 2

(A0（二重）和2对

2

(2I

0得基础解系X1

A

2

0)对0

(0I

0得基础解系X2

X3

A0的特征向量为

X3

(k2k3不例已知A的特征值为1，2，3。求A22I的设是A的特征值，X则AXA(AX)A(XA2X2A2

2

2

2∵X

(

2I)

∴22是A22I量也是XA22I

1,2,7三、特征值与特征向量的性设A与B是n

A~B|

B定理

Aaij]nn是n12,是A的n

1

a11

(2)12n|A(1)A~BtrA(2)

2 A 4 B 2a 2 2a

7且A

B

a,b解法一

A~

∴tr(A)tr(B)，1222b7，解得b2又A

B

|A||B即4

28

a4解法二：∵A~∴A与B故A

2,

7解得

4

|(7)I

A|

|I

A|

2)2

所以b2；或由

|A||B|

b2§5.2角An阶方阵，可对角化。则存在n阶可逆矩阵P11P1AP

2 n令P

X2

Xn]

AX

iXi由P

X1X2,,XnX1,,Xn12,n是A于是X1X2,Xn是A的n个线性无关的特征向定理n阶方阵A可对角化 A有n个线性证明“”n阶方阵A有n

Xn为12,n，则AXi

iXi

令P

X2

Xn]，因

X1,X2,,Xn为n个线性无关的n元列向量，故P是n阶方阵又AP

A[

Xn[

X2

AXnnXn[

X2

11Xn]

11P 2P故

n n11P1AP即AA

2 n 1 2 有特征值0（二重）和

2

因

21AP

1 20 10则 P1AP 2

A00

3 33 3问A解|I

A|

A有特征值1,2,3

,(2,1,

,2

因这三个向量线性无关，故A

9/2P 30 0则 P1AP 3 3 定理

12,m是A值，它们对应的特征向量分别为X1X2,XmX1,X2,,Xm对m当m1X1X1当ms1

X1,X2,,Xs1当m令

s

X1,,Xs1,Xsk1X1ksXs 则A(k1X1ksXs)k1(AX1)ks(AXs)k11X1kssXs

sk1X1sksXs (1s)k1X1(s1s)ks1Xs1

X1,X2,,Xs1(1s)k10,,(s1s)ks1已知12,s

k10,,ks1ksXs又

，故

ks0X1X2,Xs若n阶方阵有n个不同的特征值，则该i定理设12,m是矩阵A的互不相同的特Xi1,Xi2,XirA属于i的线性无关的特i1X11,,1

,X21,,X

,,Xm1,X2m2mA 2 m1X11,,X1r1

X21,,X

，…，Xm1,,X2mA的特征向量集合的线性无关2mA：方阵；0：特征设|

A|

0p0h()，且h(0)p00的代数重设0

0几何定理设0是方阵A0的几何重数q0p0。2…m……qp的关q1q2…qm

p2

pm

Aq1

qm

A定理1,2,,m是n阶方阵A的特征值pi和qi分别是特征值i的代数重数和几何重数(i=1,2,…m)A可对角化的充分必要条pi=qi，i=1,2,…,

0 A 0210 210 解10|IA4010

2)

1

A21（二重对1

(I

IA

1 0 0

1 1 21 11

000 000 x1x3 x1xx22x3 xx

1

1T故特1的几12，故A

A00

0 bc c问a,b,cA |I

A|

a)2

当acA有3重特征值a。对

0，仅当