DI二阶线性微分方程解的结构_第1页
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会计学1DI二阶线性微分方程解的结构据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动目录上页下页返回结束第1页/共9页~二阶线性微分方程时,称为二阶非齐次线性微分方程;时,称为二阶齐次线性微分方程.机动目录上页下页返回结束第2页/共9页证毕二、二阶线性微分方程解的结构是二阶齐次线性方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)

定理1.机动目录上页下页返回结束第3页/共9页说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束第4页/共9页定义是定义在区间I

上的

两个函数,使得则称这

两个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I

上都线性相关;又如，若在某区间

I

上必需全为0,可见在任何区间

I

上都线性无关.若存在不全为

0

的常数机动目录上页下页返回结束第5页/共9页线性相关线性无关const机动目录上页下页返回结束第6页/共9页定理2.是二阶齐次线性方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)

机动目录上页下页返回结束第7页/共9页是二阶非齐次线性方程的一个特解,

是其对应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:

将代入方程①

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