2021-2022学年湖南省衡阳市祁东成章中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市祁东成章中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数满足,其中为虚数单位,则=（）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.若，，，则a，b，c的大小关系为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知点为坐标原点,点的坐标满足,则向量在向量方向上的投影的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B4.（5分）已知sinα=，α∈（0，），则tan2α=（）A．﹣B．C．﹣D．2参考答案：A【考点】：二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：由同角三角函数间的基本关系先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切函数公式即可求值．解：∵sinα=，α∈（0，），∴cosα==，tanα==2，∴tan2α===﹣．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正切函数公式的应用，属于基础题．5.复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（

）A．在复平面内复数对应的点在第一象限

B．复数的共轭复数C．若复数为纯虚数，则

D．复数的模参考答案：C6.已知数列的前n项和为，且,则等于

(

)A．4

B．2

C．1

D．-2参考答案：答案：A7.曲线y＝lnx＋x在点M（1，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.右边是一个算法的程序框图，当输入的值为3时，输出y的结果也恰好是3，则？处的关系是

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B9.函数的定义域是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知复数，则

（

）A.

B.

C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是等差数列的前项和，且，则满足的最大的正整数的值为 .参考答案：1212.已知抛物线的顶点为原点，焦点F(1，0)，过点F的直线与抛物线交于A,B两点，且|AB|=4，则线段AB的中点M到直线x=-2的距离为

▲ .参考答案：3依题意可得抛物线的准线方程为直线，设，到直线的距离分别为，由抛物线的定义可得∴线段的中点到直线的距离为故答案为3

13.已知等差数列的前10项之和为30，前20项之和为100，则=

.参考答案：1414.已知，则

参考答案：15.在区间和内分别取一个数记为，则方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率为________.参考答案：16.若对于恒成立，则实数a的取值范围

。参考答案：略17.已知各项均为正数的等比数列中，则此数列的各项和

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知满足不等式，求函数()的最小值.参考答案：解不等式，得，所以当时，；当时，当时，19.如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，，，M是棱PB中点且.（1）求证：AM∥平面PCD；（2）设点N是线段CD上一动点，且，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求的值.参考答案：（1）取中点，连接，，因为为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为为的中点，设，在中，∵，设，则，所以，由余弦定理得，即，所以，则，所以，所以，∵，且，所以平面，且，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，因为点是线段上一点，可设，，又面的法向量为，设与平面所成角为，则，所以当时，即，时，取得最大值.所以与平面所称的角最大时.20.已知椭圆：长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值．参考答案：（Ⅰ）∵椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，∴，又∵椭圆的离心率是，∴，，∴椭圆的标准方程为．4分（Ⅱ）过点的直线的方程设为，设，，联立得，∴，，∴．

…7分过且与直线垂直的直线设为，联立得，∴，故，∴，面积．

……………10分令，则，，令，则，即时，面积最小，即当时，面积的最小值为9．

…………12分21.(本小题满分12分)直三棱柱中，，，分别是、的中点，，为棱上的点.（1）证明：;（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.参考答案：（1）见解析；（2）当点为中点时，满足要求.

【知识点】线面垂直的性质定理；二面角的求法G10G11解析：（1）证明：，∥

又

面

又面

………2分

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则,,,,设，

且,即：

………5分

………6分（2）假设存在,设面的法向量为

，

则

即：

令

.

………8分

由题可知面的法向量

………9分

平面与平面所成锐二面的余弦值为

即：

或（舍）

………11分

当点为中点时，满足要求.

………12分【思路点拨】22.已知，给出下列两个命题：函数小于零恒成立；关于的