2021-2022学年湖南省衡阳市致公中学高二数学理模拟试题含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市致公中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是

A．或

B．C．或

D．或参考答案：D略2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是

A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知球的半径为1，三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心到平面的距离为A．

B．

C．

D．参考答案：A4.设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．5.下列结论正确的是（

）A．若为等比数列，是的前项和，则，，是等比数列B．若为等比数列，是的前项和，则，，是等差数列C．若为等比数列，“”是“”的充要条件D．满足（，为常数的数列为等比数列参考答案：B对于A，当公比为时，,,,∴，，不是等比数列；对于B，若为等差数列，是的前项和，则，，是等差数列；对于C，若为常数列，，显然1+102+3，对于D，当q=0时，显然数列不为等比数列故选：B

6.下列说法正确的是

（

）A.是过点且斜率为的直线.B.在x轴和y轴上的截距分别是a、b的直线方程.C.直线与y轴的交点到原点的距离是b.D.不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式.参考答案：D7.函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.过点C(4，0)的直线与双曲线的右支交于A、B两点．则直线AB的斜率k的取值范围是(

) A．|k|≥1 B．|k|> C．|k|≤ D．|k|<1参考答案：B9.长方体一个定点上的三条棱长分别是，，，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（

）． A． B． C． D．参考答案：B由于长方体的体对角线是长方体外接球的直径，∴．∴球的表面积．故选．10.在△ABC中，如果a=4，b=5，A=30°，则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．无穷多解参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.假定一个家庭有两个小孩，生男、生女是等可能的，在已知有一个是女孩的前提下，则另一个小孩是男孩的概率是

．参考答案：12.设全集S有两个子集A,B,若由x∈SAx∈B,则x∈A是x∈SB的

条件。参考答案：必要13.的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）参考答案：70【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r??=?（﹣1）r??，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，故答案为：70．14.下列说法：①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；④已知函数f（x）=log2为奇函数，则实数a的值为1．正确的有

．（请将你认为正确的说法的序号都写上）．参考答案：①④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】对于①：结合函数的单调性，利用零点存在性定理判断；对于②：分a=0和a≠0进行讨论，a≠0时结合二次函数的图象求解；对于③：结合图象及导数进行判断；对于④：利用奇函数定义式，f（﹣x）+f（x）=0恒成立求a，注意定义域．【解答】解：对于①：函数f（x）=lnx+3x﹣6[m，n]在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=ln1+3×1﹣6=﹣3＜0，f（2）=ln2+3×2﹣6=ln2＞0．所以①正确；对于②：当a=0时原不等式变形为1＞0，恒成立；当a≠0时，要使关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a＞0且△=（2a）2﹣4a×1＜0?0＜a＜1，综上可得a的范围是[0，1），故②不正确；对于③：令函数y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx，所以该函数在[0，+∞）上是增函数，且x=0时最小，且该函数是奇函数，所以函数y=x﹣sinx只有x=0一个零点，即函数y=x的图象与函数y=sinx的图象只有一个交点，故③不正确；④由奇函数得：，，a2=1，因为a≠﹣1，所以a=1．故④正确．故答案为：①④．【点评】该题目考查了函数的奇偶性的定义、零点定理、等基础知识，在应用过程中要注意准确把握定理应用的要素与条件，切不可想当然．15.设z=x—y

,式中变量x和y满足条件则z的最小值为

．参考答案：116.已知三棱锥P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝2PC＝2a，且三棱锥外接球的表面积为S＝9π，则实数a的值为()参考答案：D略17.“扫雷”游戏，要求游戏者找出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数学是0，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷.图乙是小明玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，在ABCDEFG这七个方块中，有雷的方块为

．

参考答案：ADFG第4行第7个数字2，所以F、G方块有雷.第4行第6个数字4，说明E方块没有雷.由于第4行第4个数字3，说明C、D中必有一个有雷.假设C有雷，D无雷.由于第6行第7个数字2，所以第7行6、7、8、9都没有雷，第5个有雷，但是第6行第4个数字2，这样第6行第4个数字周围就有3个雷，与题目矛盾，故C无雷，D有雷.由于第4行第3个数字1，所以B五雷，由于第4行第2个数字1，所以A有雷.故有雷的是A、D、F、G.故填A、D、F、G.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知圆的圆心在直线上，且与轴正半轴相切，点与坐标原点的距离为.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）直线过点且与圆相交于两点，求弦长的最小值及此时直线的方程.参考答案：（Ⅰ）由题可设，半径，.圆与轴正半轴相切，圆的标准方程：.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时弦长②当直线的斜率存在时，设直线的方程：点到直线的距离，弦长，当时，弦长的最小值，此时直线的方程为由①②知当直线的方程为弦长的最小值.19.在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为，圆心在上.(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.参考答案：解：（1）联立方程解得，

所以所求圆的圆心为，所求圆的方程为，设过点圆的切线的方程为，则，解得或，所以过点圆的切线的方程为，或，（2）圆的圆心在直线上，故的坐标为设点，因为，则，

得，即所以点在以为圆心，以为半径的圆上，又点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，即，即,解得

略20.在△ABC中，已知AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．（1）若cosC=，求AB；

（2）求△ABC的面积的最大值．参考答案：【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）由三个角成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，根据cosC的值求出sinC的值，再由sinB，AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长；（2）利用余弦定理列出关系式，将AC，cosB的值代入，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出面积的最大值．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，∵cosC=，∴sinC==，则由正弦定理=得：AB==2；（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣ac，∴a2+c2=9+ac≥2ac，即ac≤9，∴S△ABC=ac?sinB≤，则△ABC面积的最大值为．21.2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

对服务好评对服务不满意合计对商品好评140

对商品不满意

10

合计

200

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．①求随机变量X的分布列；②求X的数学期望和方差．附：，其中n＝a＋b＋c＋d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（1）详见解析（2）①详见解析②，【分析】(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值；②按照二项分布的期望和方差公式计算即可.【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：

对服务好评对服务不满意合计对商品好评14040180对商品不满意101020合计15050200

则．由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，则，，，．故X的分布列为X0123P

②由于X～B（3，），则，．【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事