2021-2022学年福建省福州市铜盘中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年福建省福州市铜盘中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，则?U(M∪N)等于()A．{1,3,5}

B．{2,4,6}

C．{1,5}

D．{1,6}参考答案：D略2.已知函数f（x）=，那么f（）的值为(

) A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：B考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件利用分段函数的性质得f（）=f（﹣1）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣．解答： 解：∵函数f（x）=，∴f（）=f（﹣1）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣．故选：B．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．3.三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=PB=PC=5，PA=BC若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，且球的表面积为34π，则棱PA的长为（）A．3 B． C． D．5参考答案：C【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设PA=t，依题意可将三棱锥补成长方体（如图），设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，由于球的表面积为34π，可得a2+b2+c2=34，所以，即可解得t【解答】解：设PA=t，依题意可将三棱锥补成长方体（如图），设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，长方体的外接球的半径R=由于球的表面积为4πR2=34π，可得a2+b2+c2=34，所以，解得，选C．4.已知圆O：x2+y2=4与直线y=x交于点A，B，直线y=x+m（m＞0）与圆O相切于点P，则△PAB的面积为（）A．+1 B．+ C．+2 D．+参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由点到直线的距离求得m的值，将直线代入圆的方程，求得切点P，利用点到直线的距离公式求得P到直线y=x的距离d，则△PAB的面积S=?丨AB丨?d．【解答】解：由直线y=x过圆心O，则丨AB丨=4，由y=x+m与圆相切，则=2，则m=±4，由m＞0，则m=4，由，解得：，则P（﹣，1），则点P到直线y=x的距离d==，∴△PAB的面积S=?丨AB丨?d=+，故选B．5.已知数列是首项为2，公差为1的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则数列前10项的和等于（

）A．511

B．512

C．1023

D．1033参考答案：D6.已知集合，则=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.已知向量与的夹角为120°，，，则（）A.1 B.3 C.4 D.5参考答案：C【分析】由已知条件对两边平方，进行数量积的运算即可得到，解该方程即可得出．【详解】解：根据条件，；∴解得，或（舍去）．故选C．【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程和．8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长．右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n=（

）A．2

B．3

C.

4

D．5参考答案：C9.若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】特称命题．【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得2x+a（y﹣2ex）ln=0，即2+a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为2+a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故选：C【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．10.已知正实数满足，则的最小值等于_______.参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知=(－2,2),=(1,0)，若向量=(1,2)与+λ共线，则

．参考答案：312.在数列{an}中，已知a1=1，an+1﹣an=sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2017=．参考答案：1009【考点】数列的求和．【分析】a1=1，an+1﹣an=，a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，a5=a1，以此类推可得an+4=an．即可得出．【解答】解：∵a1=1，an+1﹣an=，∴a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，∴a5=a1，以此类推可得an+4=an．∴则S2017=504×（a1+a2+a3+a4）+a1=504×2+1=1009．故答案为：1009．13.已知双曲线的左右分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为

参考答案：14.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．参考答案：由已知，所以，，由余弦定理得，,故（海里），该货船的船速为海里/小时．考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．15.已知，且，，则的值为

.参考答案：试题分析：∵，，，，∴，，∴

.考点：两个角的和的余弦公式，三角函数的角的变换.

16.在三棱锥V-ABC中，面面ABC，，，则三棱锥V-ABC的外接球的表面积是____参考答案：16π由可得的外接圆的半径为2，设外接圆圆心为，由于平面平面，而，因此到的距离等于到的距离，即是三棱锥外接球的球心，所以球半径为，．17.如图，C，B，D，E四点共圆，ED与CB的延长线交于点A．若AB=4，BC=2，AD=3，则DE=．参考答案：5考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由割线定理可得：AD?AE=AB?AC，把已知数据代入计算即可．解答：解：由割线定理可得：AD?AE=AB?AC，∵AB=4，BC=2，AD=3，∴3×（3+DE）=4×（4+2），解得DE=5．故答案为5．点评：熟练掌握割线定理是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在菱形中，，平面，，是线段的中点，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：解：（1）证明：因为，平面，所以平面.设与的交点为，连接.因为是线段的中点，所以是的中位线，所以.又，所以平面所以，平面平面.故平面.（2）方法1：因为四边形是菱形，所以.又因为平面，平面，所以.且，所以平面.设，则到平面的距离.因为点是线段的中点，所以到平面的距离.在中，，，所以.设直线与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.方法2：取的中点为，连接，则.以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.取，则，，，.所以，.设平面的法向量，则，即，解得.可取法向量.又，则故直线与平面所成角的正弦值为.19.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：＞．参考答案：综上，当时，．…………14分

20.如图，两海上航线垂直相交于钓鱼岛A，若已知AB=1OO海里，甲渔船从A岛辙离，沿AC方向以50海里/小时的速度行驶，同时乙巡航船从B码头出发，沿BA方向以V海里/小时的速度行驶，至A岛即停止前行（甲船仍继续行驶)（两船的船长忽略不计).(1)求甲、乙两船的最近距离(用含v的式子表示）；(2)若甲、乙两船开始行驶到甲、乙两船相距最近时所用时间为t小时，问v为何值时“最大？参考答案：

略21.广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB=，记该设施平面图的面积为S（x）m2，∠AOB=xrad，其中＜x＜π．（1）写出S（x）关于x的函数关系式；（2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？参考答案：【考点】弧度制的应用．【专题】函数思想；三角函数的图像与性质．【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式；（2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可．【解答】解：（1）∵扇形AOB的半径为2m，∠AOB=xrad，∴S扇形=x?22=2x，过点B作边AC的垂线，垂足为D，如图所示：则∠BOD=π﹣x，∴BD=2sin（π﹣x）=2sinx，OD=2cos（π﹣x）=﹣2cosx，∵∠ACB=，∴CD=BD=2sinx，∴S△BOC=CO?BD=（2sinx﹣2cosx）×2sinx=2sin2x﹣2sinxcosx=1﹣cos2x﹣sin2x，∴S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，（2）根据（1），得到S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，∴S′（x）=2sin2x﹣2cos2x+2，令S′（x）=0，∴2sin（2x﹣）=﹣2，∴sin（2x﹣）=﹣，∴2x﹣=，∴x=，根据实际意义知，当x=时，该函数取得最大值，故设计∠AOB=时，此时S（x）有最大值．【点评】本题重点考查了三角形的面积公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．22.已知如图4，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1,AB=2,,.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥D－PAC的体积．

参考答案：(1)证明：∵ABCD为矩形∴且----------------------------------2分∵

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