ARMA模型的概念和构造课件

ARMA模型的概念和构造

1一、ARIMA模型的基本内涵一、ARMA模型的概念自回归移动平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,简记为ARMA模型），由因变量对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值回归得到。包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）。2ARIMA模型的概念一.移动平均过程1.移动平均（MA）过程的表示：其中u为常数项，为白噪音过程引入滞后算子L，原式可以写成:

或者

3ARIMA模型的概念2.MA（q）过程的特征1.2.3.自协方差①当k>q时＝0②当k<q时对于任意的，MA(q)是平稳的。

4ARIMA模型的概念二.自回归（AR）过程1.自回归（AR）过程表示为：

其中为为白噪音过程引入滞后算子，则原式可写成

其中5ARIMA模型的概念2.AR(p)过程平稳的条件如果特征方程：的根全部落在单位圆之外，则该AR(p)过程是平稳的

6ARIMA模型的概念3.AR(p)过程的特征

=0，的无条件期望是相等的，若设为u，则得到:7ARIMA模型的概念……将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程的方差及各级协方差。8ARIMA模型的概念三.自回归移动平均（ARMA）过程1.ARMA过程的形式其中为白噪音过程。若引入滞后算子，可以写成其中9ARIMA模型的概念2.ARMA过程平稳性的条件ARMA过程的平稳性取决于它的自回归部分。当满足条件：

特征方程的根全部落在单位圆以外时，ARMA(p,q)是一个平稳过程。10ARIMA模型的概念念3.ARMA(p,q)过程的特征征1）2）ARMA(p,q)过程的方差差和协方差差11ARIMA模型的概念念四.AR、MA过程的相互互转化结论一：平平稳的AR(p)过程可以转转化为一个个MA(∞)过程，可采采用递归迭迭代法完成成转化结论二：特特征方程根根都落在单单位圆外的的MA(q)过程具有可可逆性平稳性和可可逆性的概概念在数学学语言上是是完全等价价的，所不不同的是，，前者是对对AR过程而言的的，而后者者是对MA过程而言的的。12二、Box-Jenkins方法论论建立回回归模模型时时，应应遵循循节俭俭性(parsimony)的原则则博克斯斯和詹詹金斯斯(BoxandJenkins)提出了了在节节俭性性原则则下建建立ARMA模型的的系统统方法法论,即Box-Jenkins方法论论13Box-Jenkins方法论论Box-Jenkins方法法论的的步步骤：步骤1：模型型识别别步骤2：模型型估计计步骤3：模型型的诊诊断检检验步骤4：模型型预测测14三、ARMA模模型的的识别别、估估计、、诊断断、预预测(一).ARMA模模型的的识别别1.识别ARMA模模型的的两个个工具具：自相关关函数数(autocorrelationfunction,简记记为ACF）；；偏自相相关函函数(partialautocorrelationfunction,简简记为为PACF)以及它它们各各自的的相关关图（（即ACF、PACF相相对于于滞后后长度度描图图）。15ARMA模模型的的识别别2.自自相相关函函数和和偏自自相关关函数数的概概念①自相相关函函数过程的的第j阶自自相关关系数数即，，自自相关关函数数记为为ACF(j)。。②偏自自相关关函数数偏自相相关系系数度量了了消除除中间间滞后后项影影响后后两滞滞后变变量之之间的的相关关关系系。偏偏自相相关函函数记记为PACF(j)16ARMA模模型的的识别别③自相相关函函数和和偏自自相关关函数数的联联系2阶以以上的的偏自自相关关函数数计算算公式式较为为复杂杂，这这里不不再给给出。。17ARMA模模型的的识别别2.MA、AR、、ARMA过程程自相相关函函数及及偏自自相关关函数数的特特点⑴MA(q)过程程的自自相关关函数数1≤j≤qj>q时，，ACF(j)=0，此此现象象为截截尾，，是MA(q)过程程的一一个特特征如下图图：18ARMA模模型的的识别别MA（（2））过程程19ARMA模模型的的识别别⑵AR(p)过程程的偏偏自相相关函函数时，偏偏自相相关函函数的的取值值不为为0时，偏偏自相相关函函数的的取值值为0AR(p)过过程程的的偏偏自自相相关关函函数数p阶阶截截尾尾如下下图图：：20ARMA模模型型的的识识别别21ARMA模模型型的的识识别别22ARMA模模型型的的识识别别⑶AR(p)过过程程的的自自相相关关函函数数以以及及MA(q)过过程程的的偏偏自自相相关关函函数数平稳稳的的AR(P)过过程程可可以以转转化化为为一一个个MA(∞∞））过过程程，，则则AR(P)过过程程的的自自相相关关函函数数是是拖拖尾尾的的一个个可可逆逆的的MA(q)过过程程可可转转化化为为一一个个AR(∞∞））过过程程，，因因此此其其偏偏自自相相关关函函数数是是拖拖尾尾的的。。23ARMA模模型型的的识识别别⑷ARMA(p,q)过过程程的的自自相相关关函函数数和和偏偏自自相相关关函函数数ARMA过过程程的的自自相相关关函函数数和和偏偏自自相相关关函函数数都都是是拖拖尾尾的的如下下图图：：24ARIMA模模型型的的识识别别25ARMA模模型型的的识识别别3.利利用用自自相相关关函函数数、、偏偏自自相相关关函函数数对对ARMA模模型型进进行行识识别别⑴通通过过ADF检检验验，，来来判判断断序序列列过过程程的的平平稳稳性性；；⑵利利用用自自相相关关函函数数、、偏偏自自相相关关函函数数以以及及它它们们的的图图形形来来确确定定p,q的的值值。。26（二二））ARMA模模型型的的估估计计ARMA模模型型的的估估计计方方法法：：矩估估计计极大大似似然然估估计计非线线性性估估计计最小小二二乘乘估估计计27（三三））ARMA模模型型的的诊诊断断一.诊诊断断的的含含义义二.诊诊断断的的方方法法三.检检验验统统计计量量Box和和Pierce提提出出的的Q统统计计量量Ljung和和Box(1978)提提出出的的LB统统计计量量。28ARIMA模模型型的的诊诊断断1.Q统统计计量量，近近似似服服从从（（大大样样本本中中））分布布其中中n为为样样本本容容量量，，m为为滞滞后后长长度度2.LB统统计计量量，服从从分分布布，，其其中n为为样样本本容容量量，，m为为滞滞后后长长度度。。3.LB统计计量的的特点点29ARMA模模型的的诊断断四.信信息息准则则(informationcriteria)Akaike信信息息准则则Schwarz信信息准准则Hannan-Quinn信信息息准则则其中为为残差差平方方，是是所有有估计计参数数的个个数，，T为为样本本容量量。30ARMA模模型的的预测测一.基基于于AR模型型的预预测以平稳稳的AR(2)过程程为例例：其中为为零零均值值白噪噪音过过程……31ARMA模模型的的预测测在t时时刻，，预测测的的值：：=在t时时刻，，预测测的的值：：同理：：…结论32ARMA模模型的的预测测二.基基于于MA过程程的预预测过程结论：：MA(2)过过程程仅有有2期期的记记忆力力33ARMA模模型的的预测测三.基基于于ARMA过程程的预预测结合对对AR过程程和MA过过程进进行预预测ARMA模模型一一般用用于短短期预预测34五、实实例：：ARMA模型型在金金融数数据中中的应应用数据：1991年年1月月到2005年年1月月的我我国货货币供供应量量（广广义货货币M2））的月月度时时间序序列数数据目的：说明明在在Eviews5.0软软件件中中利利用用B-J方方法法论论建建立立合合适适的的ARIMA（（p,d,q））模模型型35A