2022年黑龙江省哈尔滨市长春中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年黑龙江省哈尔滨市长春中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A∵，∴，故选A．2.已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C由双曲线的对称性可知，在双曲线上，且一定不再双曲线上，∴也在双曲线上，∴，，∴

3.椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得关于a，b的方程，再由双曲线的渐近线方程，即可得到结论．【详解】椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为，设双曲线的离心率为e则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为倾斜角分别为，.故选C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于易错题．4.为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（

） A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次 B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次 C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人 D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人参考答案：5.设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是(

)A．1 B．3 C．4 D．8参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．【解答】解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22=4个．故选择答案C．【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想．6.设集合,，则等于（）A．B．C．D．参考答案：B，，所以，答案选B.7.已知命题，使得；命题，若，则.下列命题为真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时.两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（

）A．320千元

B．360千元

C．400千元

D．440千元参考答案：B9.△ABC中，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=，则c：sinC等于(

) A．3：1 B．：1 C．：1 D．2：1参考答案：D考点：正弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：运用二倍角的余弦公式以及同角的平方关系，以及正弦定理，即可得到．解答： 解：cos2B+3cos（A+C）+2=0，即有2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0，解得，cosB=（1舍去），△ABC中，则sinB=，由正弦定理，可得，==2．故选D．点评：本题考查二倍角公式的运用，考查正弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．10.已知函数的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线平行，若数列的前项和为，则的值为

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知＝3，＝2．若＝－3，则与夹角的大小为

．参考答案：12.(坐标系与参数方程选做题)设P(x,y)是曲线C：(q为参数)上任意一点，则的取值范围是

.

参考答案：[－,]略13.已知两个不同的平面和两条不重合的直线,有下列四个命题:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4)若,则.其中正确命题的个数为____________.参考答案：1略14.已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线平行的切线，则实数m的取值范围是_________．参考答案：15.若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[﹣2，1]上的最大值为4，最小值为m，则m的值是

．参考答案：或【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f（x）的单调性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可．【解答】解：①当a＞1时，f（x）在[﹣2，1]上单调递增，则f（x）的最大值为f（1）=a=4，最小值m=f（﹣2）=a﹣2=4﹣2=；②当0＜a＜1时，f（x）在[﹣2，1]上单调递减，则f（x）的最大值为f（﹣2）=a﹣2=4，解得a=，此时最小值m=f（1）=a=，故答案为：或．【点评】本题考查指数函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，对指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1），当a＞1时f（x）递增；当0＜a＜1时f（x）递减．16.若a>b>c且a+b+c=0，则：①>，②>bc，③bc<,④的取值范围是：(,1)，⑤的取值范围是：（-2，）。上述结论中正确的是_____________.参考答案：①③④⑤略17.若实数x，y满足，如果目标函数的最小值为，则实数m=_________。参考答案：8先做出的区域如图可知在三角形区域内，由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，此时直线为，作出直线，交于点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过点，由，得，代入得，。如图三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为e，半焦距为c，为其上顶点，且，依次成等差数列.（I）求椭圆的标准方程和离心率e；（II）P,Q为椭圆上的两个不同的动点，且.（i）试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；（ii）是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由.参考答案：19.（本题满分12分）已知数列{}的前n项和为，满足．(1)求数列{}的通项公式；(2)若数列{}满足，求数列{}的前n项和．参考答案：20.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明：.参考答案：（1）由题意，又，所以，因此在点处的切线方程为，即（2）证明：因为，所以由于等价于，令，设函数当时，，所以，所以在上是单调递增函数，又，所以，所以.21.（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图7，已知圆外有一点，作圆的切线，为切点，过的中点，作割线，交圆于、两点，连接并延长，交圆于点，连交圆于点，若．（1）求证：△∽△；（2）求证：四边形是平行四边形．参考答案：证明：（Ⅰ）∵是圆的切线，是圆的割线，是的中点，∴

∴又∵

∴∽，∴

即∵∴∴∴∽．

…………………（5分）（Ⅱ）∵，∴，即，∴，∵∽，∴，∵是圆的切线，∴，∴，即∴∴四边形是平行四边形．

……………………（10分）22.（12分）椭圆的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45°的直线l过点F．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线y2=4x上是否存在一点M，使得M与F1关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】：综合题．【分析】：（Ⅰ）确定抛物线y2=4x的焦点与准线方程为x=﹣1，利用椭圆焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，建立方程，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）根据倾斜角为45°的直线l过点F，可得直线l的方程，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F1（﹣1，0），利用M（x0，y0）与F1关于直线l对称，可得M的坐标，由此可得结论．解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，（2分）∴a2﹣b2=1

①（3分）又椭圆截抛物线的准线x=﹣1所得弦长为，∴得上交点为，∴

②（4分）由①代入②得2b4﹣b2﹣1=0，解得b2=1或（舍去），从而a2=b2+1=2∴该椭圆的方程为

（6分）（Ⅱ）∵倾斜角为45°的直线l过点F，∴直线l的方程为y=x﹣1，（7