河南省南阳市庙岗中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

河南省南阳市庙岗中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，集合B={x|x＞1}，则（?UA）∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x≥2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|x≤1}参考答案：A【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R，求出集合A的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＜2}，∴?UA=A={x|x≥2}，∵集合B={x|x＞1}，∴（?UA）∩B={x|x≥2}，故选：A．2.下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位参考答案：C【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．【解答】解：A．回归直线过样本点的中心（，），正确；B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；C．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；D．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确．综上可知：只有C不正确．故选：C．【点评】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于中档题．3.已知F1，F2是双曲线的左右焦点，若在右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则离心率e的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B设，所以选B.

4.若，且，，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.已知如图所示的程序框图，当输入时，输出的值（

）A

B

C

D参考答案：A略6.如图所示的方格纸中有定点，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.复数（i是虚数单位）的虚部是（） A． B． C．3 D．1参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 【专题】计算题． 【分析】直接利用复数的除法运算法则进行化简成最简形式，再根据复数的虚部的概念得出答案即可． 【解答】解：， 其虚部为：． 故选B． 【点评】本题主要考查了复数的基本概念、利用复数的除法的运算法则化简复数．解题的关键是要牢记对于分式类型的复数的化简要分子分母同时乘以分母的共轭复数！ 8.已知且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：C略9.设函数f（x）＝（sinx＋cosx），若0＜x＜2015π，则函数f（x）的各极大值之和为

A．B．

C．

D．参考答案：D略10.设x，y满足约束条件若目标函数的最大值1，则的最小值为

（

）A．

B．

C．

D．4参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值为_____________参考答案：4略12.为了了解名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为__________________．参考答案：_20_略13.已知f（x）=，F（x）=2f（x）﹣x有2个零点，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，]

【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】讨论x＞0时，函数F（x）的导数和单调区间、极值和最值，确定零点的个数为1，可得x≤0时，F（x）=2x2+（2a﹣1）x只有一个零点，解方程可得x=0，则2a﹣1≤0，即可得到所求a的范围．【解答】解：当x＞0时，F（x）=2f（x）﹣x=2ln（x+1）﹣x，导数为F′（x）=﹣1=，当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）递增；当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）递减．可得x=1处F（x）取得极大值，且为最大值2ln2﹣1＞0，由F（x）=2ln（x+1）﹣x过原点，则x＞0时，F（x）只有一个零点，可得x≤0时，F（x）=2f（x）﹣x=2x2+（2a﹣1）x只有一个零点，x=0显然成立；则2x+2a﹣1=0的根为0或正数．则2a﹣1≤0，解得a≤．故答案为：（﹣∞，]．14.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积为：_______参考答案：15.二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是

．参考答案：7920因为二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，所以展开式共有13项，即n=12，则的展开式的通项为令，得x=4，即展开式中常数项是．

16.已知抛物线，过焦点F作倾角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，则弦BC的长为

。参考答案：答案:

17.有下列命题：①函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为；②函数的图象关于点对称；③关于的方程有且仅有一个实数根，则实数；④已知命题：对任意的，都有，则：存在，使得。其中所有真命题的序号是

参考答案：③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）当a≤1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，y=f′（x）的图象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的图象上方，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）首先求出f（x）的导函数，分类讨论a的大小来判断函数的单调性；（2）利用转化思想：当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；【解答】解：（I）f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣a）当a≤0时，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜a≤1时，令f'（x）=0得x=0或x=lna．（i）当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

（ii）当a=1时，lna=0，f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；

综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；当a=1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．（II）由（I）知f'（x）=xex﹣ax当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；

记g（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），∴g'（x）=ex﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=ex﹣2a；（i）当时，h'（x）=ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g'（x）＞g'（0）=0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；∴g（x）＞g（0）=0，符合题意；

（ii）当时，令h'（x）=0得x=ln（2a）；∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）=0；∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意；

综上可得a的取值范围是．19.（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设．若，使，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）解：①当时，．

故的单调减区间为，；无单调增区间．

………………1分②当时，．

………………3分令，得，．和的情况如下：↘

↗

↘故的单调减区间为，；单调增区间为．………………5分③当时，的定义域为．

因为在上恒成立，故的单调减区间为，，；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为，，所以

等价于，其中．

………………9分设，在区间上的最大值为．………………11分则“，使得”等价于．所以，的取值范围是．

………………13分20.已知函数.（1）求函数在区间[0,1]上零点个数；（其中为f(x)的导数）（2）若关于x的不等式在[1,+∞)上恒成立，试求实数a的取值范围.参考答案：(1)只有一个零点；(2)【分析】（1）根据可得，为递增函数，再根据零点存在性定理得出答案.（2）将不等式整理转化为求函数在的最小值，利用导数判断单调性和取值范围，遂可得解.【详解】解：（1）函数的导数，则在区间递增，又，，则函数在区间上只有一个零点；（2）若关于的不等式在上恒成立，整理得，即求函数在的最小值由的导数，由的导数为，可得时，，函数递增，时，函数递减，则，即，当时，，则在递增，可得，则.【点睛】本题考查了导数的应用，零点存在性定理和恒成立问题，考查了计算能力和逻辑能力，属于中档题.21.已知等差数列满足，，在数列中，，. （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.参考答案：解：（1）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为又由已知可得：在数列中，，且∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列∴数列的通项公式为

（2）设数列，即，所以，当时，所以综上所述，数列略22.（2017?唐山一模）已知函数f（x）=sinx+tanx﹣2x．（1）证明：函数f（x）在（﹣，）上单调递增；（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范围．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用导函数的性质证明即可．（2）利用导函数求解x∈（0，），对m进行讨论，构造函数思想，结合导函数的单调性，求解m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx+tanx﹣2x则，∵，∴cosx∈（0，1]，于是（等号当且仅当x=0时成立）．故函数f（x）在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在上单调递增，又f（0）=0，∴f（x）＞0，（ⅰ）当m≤0时，f（x）＞0≥mx2成立．（ⅱ）当m＞0时，令p（x）=sinx﹣x，则p'（x）=cosx﹣1，当时，p'（x）＜0，p（x）单调递减，又p（0）=0，所以p（x）＜0，故时，sinx＜x．（*）由（*）式可得f（x）﹣mx2=sinx+tanx﹣2x﹣mx2＜tanx﹣x﹣mx2，令g（