高中数学 2.4.2.2 抛物线方程及性质的应用 苏教选修11

.............................................一、填空题（每题4分，共24分）1.（2010·南充高二检测）已知弦AB过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是____..【解析】设以AB为直径的圆的圆心为M，由抛物线定义可知，M到准线的距离∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.答案：相切.2.过点（0，1）与抛物线y2=mx(m＞0)只有一个公共点的直线有____条..【解析】过点（0，1）与抛物线y2=mx只有一个公共点的直线有y轴和y=1.当斜率存在时设y=kx+1,由得k2x+(2k-m)x+1=0,Δ=(2k-m)2-4k2=0得此时直线为y=x+1,故过（0，1）与抛物线y2=mx(m＞0)只有一个公共点的直线有3条.答案：3..3.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是____..【解析】直线AF的方程为y=(x-1)，与y2=4x联立得3x2-10x+3=0，所以x=或x=3.因为A点在第一象限，所以A点的纵坐标大于零，所以A点的横坐标大于1，所以A点的坐标为（3，2），所以S△AKF=×AK×yA=×(3+1)×2=4答案：4.4.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB=4则焦点到弦AB的距离为____.【解析】抛物线焦点为（1，0），易知|yA|=2∴xA=3,∴焦点到弦AB的距离为2.答案：2.5.抛物线y2=16x内，通过点（2，1），且被此点平分的弦所在的直线方程为____.

【解题提示】利用点差法解答中点弦问题..【解析】设弦为AB，A（x1,y1）,B(x2,y2)则∴(y1-y2)(y1+y2)=16(x1-x2),∴∴所求直线的方程为y-1=8(x-2),即:8x-y-15=0.答案：8x-y-15=0.6.(2010·长春高二检测）已知抛物线y2=4x，直线l的倾斜角为l过抛物线的焦点F，l与抛物线交于A、B两点，则FA·FB=____.【解析】直线l的方程为y=x-1,由得：x2-6x+1=0,解得:故FA·FB=|3+2+1||3-2+1|=(4+2)(4-2)=8.答案：8.二、解答题（每题8分，共16分）7.（2010·南充高二检测）直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长.

【解题提示】联立直线与抛物线方程.化简得一元二次方程，再利用根与系数的关系、弦长公式可求得..【解析】.8.(2010·邯郸高二检测)设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，点P是抛物线上的任一点.(1)求PF的最小值;(2)直线l经过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F与抛物线相交于A，B两点，求

【解题提示】（1）由定义用x和p表示PF,观察法求最小值.（2）设出A、B的坐标，用设而不求法解出答案..【解析】(1)设P（x,y）,则有PF=x+∵x≥0,∴FP≥所以PF的最小值为(2)设A(x1,y1)、B（x2,y2），直线AB的方程为y=k(x-)(k≠0)代入y2=2px,整理得k2x2-(pk2+2p)x+k2p2=0.∴x1x2=y12=2px1,y22=2px2，又y1y2＜0,∴∴=x1x2+y1y2=当AB与x轴垂直时，仍然有=x1x2+y1y2=..9.（10分）抛物线C：y2=-2px(p＞0)上横坐标为-3的一点与其焦点的距离为4.(1)求p的值；（2）设动直线y=x+b与抛物线C相交于A、B两点，问在直线l：y=2上是否存在与b的取值无关的定点M，使得线AM和BM的斜率互为相反数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由..【解析】（1）由已知得|-3-|=4,∵p＞0,∴p=2.(2)令A（x1,y1）,B(x2,y2),设存在点M（a,2）满足条件，由已知得kAM=-kBM,即有整理得y1y2(y1+y2)+4a(y1+y2)-2(y12+y22)-16a=0由