D二重积分的计算法

会计学1D二重积分的计算法同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算第1页/共30页且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为

X–型区域

则若D为Y–型区域则第2页/共30页当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于第3页/共30页说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则第4页/共30页例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.

将D看作X–型区域,则解法2.

将D看作Y–型区域,

则第5页/共30页例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则第6页/共30页练习：计算其中是由直线所围成的闭区域。，及解既是X型的，是Y－型的（计算比较麻烦）第7页/共30页例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x

积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.第8页/共30页例4.交换下列积分顺序解:

积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则第9页/共30页例5.

计算其中D由所围成.解:第10页/共30页例6.

计算其中D由所围成.解:

令(如图所示)显然,第11页/共30页例7.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:

设两个直圆柱方程为第12页/共30页对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为第13页/共30页即第14页/共30页设则特别,对第15页/共30页若f≡1则可求得D的面积思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)第16页/共30页例8.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.第17页/共30页注:利用例8可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得①故①式成立.第18页/共30页例9.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知第19页/共30页定积分换元法*三、二重积分换元法

满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,第20页/共30页证:根据定理条件可知变换T可逆.

用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy

面上得到一个四边形,其对应顶点为则第21页/共30页同理得当h,k

充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为第22页/共30页因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,

直角坐标转化为极坐标时,第23页/共30页例10.

计算其中D是x

轴y

轴和直线所围成的闭域.解:令则第24页/共30页例11.计算由所围成的闭区域D

的面积S.解:令则第25页/共30页例12.

试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.第26页/共30页内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则第27页/共30页则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下第28页/共30页(3)计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出