弹性力学本构关系

会计学1弹性力学本构关系一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：应力与应变张量均为六个独立分量。则§4-1物体的弹性性质·广义Hooke定律一.弹性的概念

如果材料呈单值连续关系（不一定线性），则称为柯西（Cauchy）弹性材料（一般意义上的弹性）。第1页/共21页

受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关系（胡克定律）的启发，

线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式

呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。

在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。可以证明线弹性一定是超弹性。二.广义胡克（Hooke）定律即第2页/共21页

广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。其中——称为弹性常数，共81个系数，因各六个独立，缩减为36个独立的常数。cmn和cijkl

的下标对应关系：m、n123456ij、kl112233122331如，c22c2222

，c56c2331矩阵表示形式：——分别称为应力和应变列阵——称为弹性矩阵。其元素cmn为36个其中张量表示形式：第3页/共21页§4-2线弹性体的本构关系如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。根据热力学第一定律和相应数学推导，有势，其势函数U0(ij)为物体单位体积的变形能（应变能）。——Green公式由同理即第4页/共21页

弹性矩阵为对称矩阵，共有21个独立的弹性常数对

称广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。

如果材料具有弹性对称面，则本构关系还可简化，使弹性常数进一步缩减。

弹性体中每一点均有一个对称方向，在这些对称方向上弹性性质相同，即应力应变关系不变。称为弹性对称。弹性对称

弹性对称方向

弹性对称方向

弹性对称面

弹性主轴

弹性主轴第5页/共21页一.横观各向异性材料

相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。xyz

弹性对称面OP

(x,y,z)P

(x,y,-z)y

设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。其中[C]为各向异性的弹性矩阵

现将z轴反向，考察其本构关系xz

仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。

体内一点P(x,y,z)的应力和应变为{

}

和{

}。则第6页/共21页在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变但P点坐标和应力应变分量发生变化由坐标变换两坐标系三轴的方向余弦为xyzx100y010x00-1代入上式由比较得第7页/共21页例如比较[C]和[C]

中的第一行

横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会产生切应力，切应变也会产生正应力

工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹性体。

横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为对

称第8页/共21页

将y轴反向，不产生新的结果。

将x轴反向，仿前分析步骤可得二.正交各向异性材料xyzP

(x,y,z)O

设三个弹性对称面分别为Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿x、

y、

z三方向弹性性质各异。

具有三个相互垂直弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。第9页/共21页

综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为对

称

正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅产生正应力，切应变仅产生切应力。

煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹性体。

工程上一般用三个弹性模量（Ex、

Ey

、

Ez

），三个泊松比（Poisson）（xy、

yz、

zx）和三个切变模量（Gxy、Gyz、Gzx）表示。第10页/共21页三.横观各向同性材料

具有各向同性面，且各各向同性面相互平行（或具有弹性对称轴）的物体，称为横观各向同性材料。yzxxyzO

设体内每一点存在一轴（z轴），在与此轴垂直的平面（Oxy）内，所有射线方向的弹性性质均相同。

称该平面为各向同性面。

在正交各向异性的基础上，按相似分析步骤，

设xy平面绕z轴旋转任意角度，

旋转前后应力应变关系不变，比较其弹性常数可得第11页/共21页对

称

所以，横观各向同性材料的广义胡克定律可表示为

横观各向同性材料，其独立的弹性常数为5个；

地层、层状岩体、复合板材等可简化为横观各向同性弹性材料。

工程上一般用两个弹性模量（Exy、

Ez

），两个泊松比（xy、

z）和一个切变模量（G）表示。第12页/共21页四.各向同性材料

在横观各向同性的基础上，将z轴反向，考察其反向前后的应力应变关系可得对

称

所以，各向同性材料的广义胡克定律可表示为各向同性材料独立的弹性常数只有2个第13页/共21页§4-3各向同性线弹性材料的物理方程一.广义胡克定律的基本形式

对于各向同性材料的广义胡克定律表达式，展开令则其中张量形式第14页/共21页（注：

Lamé原文所用符号为和而非G，也不是泊松比。在工程形式中，Lamé常数实际上被定义为切变模量G）

、G称为拉梅（Lamé）常数

此即广义胡克定律的基本形式，该形式数学表述简练，便于理论推导应用，但力学意义不能一目了然，不便于工程运用。二.广义胡克定律的工程形式

将前六式反解，并令

则

此即广义胡克定律的工程形式，其中常数E、G和是广为熟知的弹性模量、切变模量和泊松比。仅两个独立。第15页/共21页张量形式其中由得若用应变表示，反解或由基本形式代入即得或第16页/共21页三.体积胡克定律由即描述了体积应力和体积应变的关系令称为体积弹性模量故称为体积胡克定律张量形式或第17页/共21页所以当ij时，因三式相加为恒等式即六对量仅五个关系补充一个关系——体积胡克定律故四.广义胡克定律的偏量形式

此形式便于塑性分析第18页/共21页五.弹性常数