一次函数图像和性质

1已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)(1)x=-1时y的值；(2)y=2时x的值；(3)图象与xAy（4）xy0y0y0（5）当1x4y（7）求（8）2解y1x2x06y1x330（1）x=-1y2（2）y=2（3）A(6，0)、（4）x＜6y＞0；x=6y=0；x＞6（5）当1x4时，1y2（6）当-1≤y＜4-

S

1OAOB163 （8）方程1x302xyy1x3yx1x30 2正比例函数或一次函数(y=kx+b)k、b分析看图象自左向右是上升还是下降来决定k的正负由图象与y轴的交点在x轴的上方还bb=0．解：图(1)中k＞0，b=0；图(2)中k＜0，b=0；图(3)中k＜0，b＞0；图(4)中k＜0，b＜0．3MxN(-6，0M的值．已知条件中给出了△MON的面积，而△MON的面积，因底边NO可以求到，因此实际上需要把△MONM解：根据题意画示意图，过点MMC⊥ON于∵点N-M∴点My=k2xy=k1x+b-6，0)例4在直角坐标系中，一次函数在y轴上的交点坐标是B(0，5)，与x交点A坐标是图象与y轴交点到原点距离的2C坐标是(6，0P标是(0，y)，若四边形ABPC的面积为S，求S关于y的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若∠PCO=30ABPC分析：根据题意画出示意因为要求面积S与y的函数关系式，所以要考虑ABPC四边形的构成，确定四边形ABPC，其中三点A，B，C的坐标已给出，只要考虑P点的位置即可P的位置有两种可能，其一是P点在O，B之外，其O，B如果POB之外，则不满足四边形ABPC条件，所以点P只能在O，B之间S=S△AOB-S△COP，故只要求出两个三解：∵一次函数在y上交点B坐标是(0，5)A(10，0)∴S=25-POBy典型例题200吨．按合同，每吨荔枝售价为0.3万元，每吨芒果售价为0.5万元．现设销售这两种水果的总收入为y万元，荔枝的产量为x吨（0＜x＜200yx2060y值解:（1）x吨，所以芒果为(200x吨.y0.3x0.5(2000.2xy0.2x100(0x200)此时x20040160（吨；20060%120（吨）.此时x20012080（吨）.y0.2x100知，yx的增大而减少，所以，yy0.216010068（万元y68万元y84万元典型例题例如图，A、Bx轴上位于原点左、右两侧的P(2,p)PAyC(0,2)PByDSAOP6(1)COPAp的值SBOP

年西宁市中考题pPExEPF

FpC的坐标分别为(2,p)、(0,2)及点PPE

p，PF∴

1OCPF2SAOCSAOPSCOP∴1OAOC4，OA2A的坐标为（-

1OAPE,PE

3,pSDOB2SBOP∴1OBOD21OBPE ∴OD2PED的坐标为BD（ykxb）P(2,3)D（0，6∴k3，b62BDy3x62典型例题ykxbA(3,2)及B（1，6，求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积（2001年呼和浩特市中考题得OC、OD的长度，即可求得三角形的面积。ykxbA(3,2)（1，6，得y2x4∵x=0y=4y=0x=-y轴的交点CxD（0，4（-2，0∴OC4,OD∴S

1OCOD42典型例题例求下列一次函数的解析式：图像过点（1，－1）且与直线2xy5y3x2y轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.（1）把2xy5y2x5.y2x5平行，且过点y2xbx1y1代入，解得by2x1.（2）∵y3x2y轴上的交点相同ykx2x2y3k52y5x22说明：如果两直yk1xb1yk2xb2平行，则k1

；如果两直线yk1xb1yk2xb2y轴上的交点相同，则b1b2.掌握以上两点，在求一次函数解典型例题例选择题下面图像中，不可能是关于x的一次函数ymx(m3)的图像的是 已知：bcacabk(abc0ykxk过

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D已知直线ykxb(k0)与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论：①k0,b0

k0,b0

k0,b0

k0,b0其中正确结论的个数 y

ym

y

y12（1）A可得m30故0m3，∴A(m3)Bmm

m3，∴BC可得m30此不等式组无解.Cbc由已知得acab

2(abc)(abc)k,ab k2，故直线ykxk即为y2x2ykxbxb,0,b0b0kbkkk kkk ykxb(k0)经过点（1，－1k yxykxb(k0)中的kb的符号决定着直线的大致位置，题（3）典型例题AB126台，现决定支援C10台，D8台.已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400800B市调运一台机器到CD300500元.B市运往Cx台，求总运费W（元）x9000支援CDB6x（6x）A12（10x）[8-（6x）台W300x500(6x) (0x所以WxW200x (0x由W 00x2.x必须是正整数x0，1，2三个数，共有三种调运方案因为W200x8600是一次函数，且Wx的增大而增大.所以当x取最小值时，W最小.A10台给C2DB6D村时，总运8600元.典型例题十开始以每秒1个单位长度的速度沿ACC移动，同时，点QO开始以每秒a1a3OB向右移动.设t(0t4PQ交OCR3当a2，OR 3)，求t的值及经过P，Q的两点的直线的解析式3当a为何值时，以OQR为顶点的三角形和以OBC能够相似？当a为何值时，以OQR为顶点的三角形和以OB，C为顶点的三角形（1）由题意可知，在OBCOBBC4BOC3所以OC2OBcos30 3因为OB//AC，所以OQRCPROQOR 因为OQ2tPCACAP4t3OR3

RCOCOR241234

28(232412.即8(232412333解得t 2.检验知t 2是方程的解，且0 24，故所求t值3333 23延长CAyDPQ两点的坐标分别是

3、

4,0)3PQykxb333

3kb2

4)kb3k33

，b4(3

3)PQy3

3)x4(3

3)（2）当a1OQROBC当1a3时，以O，QR为顶点的三角形和以OB，C为顶点的三角形不能够a1APOQAPOQAOQPPQOA//BC所以当0t4时，无论t取何值，总有OQROBC．当1a3PQBC不能平行如果以OQR为顶点和OBC为顶点的两个三角形相似，那么又因为BOC所以ROQ是等腰三角形，且ORRQ13所以OR at.343同理，在等腰RPC，RC 3333所以ORRCOC，所以at4t 333解得t

a1因为1a3，所以0a12，所以t

4a由于已知t4，所以以OQR为顶点的三角形和以OBC为顶点的三角典型例题十例某车间有20名工人，每人每天加工甲种零件5个或乙种4个。20名工人24元。y（元）x（人）之间的函数关系式（析式1800元，问至少要派多少人加工乙种零件。（1）y5x1620x424，

y

y1800即

x712x7，此时2071313典型例题十m，yx面内的位置特点转化成关于“k”、“b”的不等式组求m的取值范围，应熟悉这样的函题中4m10m14典型例题十2x2+3x-1=0α，β，解：因为α，β是方程2x2+3x-1=0的两根，所说明：这是正比例函数和一元二次方程的综合题，应该运用定理求解而不必去解方程典型例题十(吉林省试题,2002)OABC4厘米，∠AOC＝60PO出发，以每秒1厘米的速度没O→A→B路线运动P出发2秒后，动点QO出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为X秒，这两条子行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）y厘米．请你回答下列问题：x3yyx①0x ②2x③4x ④6x在给出的直角坐标系中，用图象表示（2）yx（1）x3y3318（2）①当0x2y3OPy3x②当2x43x(x2x③当4x6y2(OAAP)OQ2x(x2)(8④当6x82xy3(ABAQ)5xy5x典型例题十例y(63m)xn4myxnyxmn若m1n53若图像经过一、二、三象限，求mn的取值范围（1）所以63m0m2m2nyx的增大而减小yx63mn4

mnm2n4yx轴的下方63m

mn4

nm2n4，图像经过原点把m1n5y(63m)xn43y7x1.x0yy轴交点为（0，1）.y0x1，7x轴交点为1,07 7 63mn4

mnm2n4时，图像经过一、二、三象限.典型例题十（2）y1x的图像，且经过点（4，3）.2次函数的解析式ykxb(k0)的解析式，也就是确定k、b的值。根据题目已知条件列出关于k、b的二元一次方程组即可．（1）ykxb(k（2，12k0

k1

解得 y1x22（2）ykxb(ky1x2k12因为直线过（4，3所以314b所以b52y1x52说明：本题考查一次函数的知识，确定一次函数的解析式，必须确定k、b的值，根据题目典型例题十A．y2x2B．y2xC．y2x D．y2x2ykxb，则有kbb

kby2x2典型例题十（2）（3）y3x2x01y03y3x25y3x-1再描点连结，得上图（3）y3x2y3x的图像向上平移两个单位得到的：y3x2的y3x的图像向下平移两个单位得到的.典型例题二例（市海淀区试题，2002）如图，右△ABC中，C90，P为AB上一点，且点PAPPEABACEECAB＝10，AC＝8APxPECByyx之间的函数关系式．yyBCPBxx解：在ABC中C90AB10ACBC6。EPAB,AAEP∽AEAPEP APAExPE AE5xPE3 EC85x,BP104yPEECCB3x85x610 3x2EC重合，有CP又ACB90CA2AP解得AP325PAECx的取值范围是0x325∴yxy3x2

(0x5典型例题二十A（0，4，x轴上（B在点C的左边C在原点的右边BEAC，垂足为E（EACEA不重合BEyDBDAC.BOCm，△BODSSmm当m5D的坐标及sinBDO的值分析：求B点坐标，有两种情况：一种是B点在原点的左边，一种B点在原点的右RtAOC≌RtBODB点的坐标，下边的两问也就（1）B在原点的左边（1）时，RtAOC中，AOC13 BEACBEC231RtAOCRtBODAOCBOD∴1ACOA B在原点的右边（2）OAOB∴∴B点的坐标为（－4，0）或（2）1OCODS1OB2S

2其中0m42S2m其中m4∴S2mm0m4（3）当m5时（D∴在RtBOD中，由勾股定理可得BD 4∴sinBDOOB 4 B点坐标时，要分两种情况讨论。选择一次函数y=-kx-k的图象大致是 若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx－k的图象不经过 (A)一 (B)二 (C)三 (D)四yxm2y4x1x轴，则m的值为1B．1C．1D． ykxbyxkb0（） C．第二、三、 D．第一、三、x0yx的图像在 C．第三象 D．第四象比例系数为1的正比例函数的图像经过点31,1

1,1

1

19A． 9

B．9 9

C．

33

D． 3正比例函数ykx的图像过点（sin ，那么k等于33 32

2（升）x（小时）之间的函数关系式和图像是y4x24(0x B．y24C．y24 D．y244x(0xA(x1y1B(x2y2ykxbk0x1x2y1y2的关系是y1

y1

y1

y3xmy1xnA(2,0)yB 点C，则ABCBD等于168168

4242A(x1,y1)B(x2,y2y3x1x1x20，My11Ny21MN的大小关系是M

M

M

y12k)xk（x为自变量）yx的增大而增大，而且此函数图像不经过第二象限，则k的取值范围为（）k2

k

0k2

k0k2abbcackykxk的图像必经过（）象限 （0，－4， （2，0（0，－1， y1x2

y2x

yx

y2x已知一次函数ykxk，若y随x的增大而增大，则它的图像经过 第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限若直线y3x1与yxk的交点在第四象限，则k的取值范围是 k3

1k3

k

k1k3已知正比例函数ykx，当x3时，y6，那么该正比例函数应为 y12

y

y12

y若一次函数ykxb中的k0且b0，则一次函数的图像经过 一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、二、四象限D．一、三、四象限20．由A（3，2，B（－1，－3）两点确定的直线不经过（ 第一象限B．第二象限C．第三象限D在同一直角坐标系中，对于函数①yx1；②yx1；③yx1；④y2(x1)的图像，下列说法正确的是 能过点（－1，0）的是①和③ByC．相互平行的是①和 D．关于y轴对称的是②和下列函数中，y随x的增大而增大的函数是 y

y2x

yx

yx在一次函数y(2m2)x5中，y随x的增大而减小，那么 m

m

m

m不论m为何实数，直线yx2m与yx4的交点不可能在 第一象限B．第二象限C．第三象限DA(x1,y1B(x2,y2y3x1x1x20设My11,Ny21，那么M与N的大小关系是 M BM CM D．不确直线yx4和yx4与x轴所围成的三角形的面积是 20cm5cmh（cm）（小时）1．D2.D.3．A4．C5．D6．A7．A 15．A 填空函数y2x1的图像是不经过 如果直线y3xb与y轴交点的纵坐标为－2，那么这条直线一定不经过第 f(x)=x-3的图形 ，若有点(5，t)为函数图形上的一点，则t 已知正比例函数y(m2)xm22m14，且它的图象通过第二、四象限，则m= 已知两点(a，3)，(－2，b)均在直线3x+2y=12上，則 已知a<0，函数y=1+ax之图形不通过 象限如图13-14所示，图中直线l的解析式 在函数ykxb中，k0，b0，那么这个函数图像不经过 象限直线y41x与y轴交点的纵坐标 2已知y3与x2成正比例，当x2时，y5，则y与x的函数关系 若直线y3xk与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则常数k的值 ykxbA(m,1，B(1m)（m么x= 如果ab0bc0y1(axcb

2，52y轴的交点关于x轴对称，那么这个一次函数的解析式 如果直线yk1x4和直线yk2x1的交点在x轴上，那么k1:k2 ykxbykxb（-32（3,3 2， 函数yx4（2x5）的图像与x轴的交点坐标 ，函数的最大值 若直线yxa和直线yxb的交点坐标为(m,8)，则ab 若y2xm1是正比例函数，则m y3x3xy4

到直线y3x3的距离 4A(4aB(2by1xk（k为常数）a与b2是a “＝”）.已知直线l:y3x24P（1，－1）在直线l若直线lxyA、BAB3

10M3

都在直线la

1，则b3若点Q到两坐标轴的距离相等，且点Q在l上，则点Q在第一或第四象限.其中正确题 x01234567x012345678y那么弹簧总长y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式 已知y与x1成反比例，当x1时，y1；那么x2时，y的值 一次函数ymx1与ynx2的图像相交于x轴上一点，那么m:n 答案1． 2．二3.一条直线4. 5. 6. 7．y1x3

8． y2x2

13．

14．二15y4x

2

4,0，6 22．＜23（1（2（4）5y0.5x

6解答y与x成正比例函数，其图象过第二、四象限，且过(2m1和(1m 3、y1=2x-3和y2=5-x．求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积ykxbA（－1，5）B(m,5yx，O为坐标原点，求AOB的面积.ykxbABx轴交于（1）（2）AOC已知y4x成正比例，且x6时y4.（1）求yx之间的函数关系式（2）（3）（1）A、BA，B，PSABP9P的坐标.y1axby2cx52为（3,1，求这两条直线的解析式4x2mxn0的两个根是直角三角形的两个锐（1）m22n1（2）P(mny1x3P (－33)B(51)xCCC，行费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图，所（1）辽南素以“苹果”著称，某乡组织20辆汽车装运A，B，C三种苹果42吨到外地2车ABC（吨2（百元685xAyByx之x的取值范围；设此次外销活动的利润为W（百元，求Wx的函数关系式以及最大利润，并安排迫的任务.100万hm2，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连图所示，发现连成直线状10.2万hm20.4万hm30.6万hm （2）如果一次函数ykxbx的取值范围是2x6，相应函数值范围是A（－2，72 2 （2）（3）求BOC的面积与DOB的面积的比15．A城有200t，B城有化肥300t，现要把化肥运往C、D两农村，如果从A城运往C、D两地运费分别是20/t25/t，从B城运往C、D两地运费分别为15/t22元/t，现已知C地需要220t，D地需要280t，如果某户承包了这项任务，请你一水库现蓄水a(m3)，下游需水抗旱，从开闸放水起，每小时放水b(m3)，同时从上c(m3d(m3)，求水库蓄水量y(m3)与开闸时间t(h)（ad,bcxx22m1)xm220有两个不相等的实数根，试判断直线y2m3)x4m7A（－2，4，并说明理由y2xk3y4x求nxyax2bxc的图象经过原点O，ykx4A(1,3)、B(2,2)两点.D点坐标；若不存在，请说明理由

9

OCBCD求直线l在直线lP，使APCP1.y=-

3k2

83.(1)略（2）(,)3

（2）4.6（1）（2）（3）