函数对称性、周期性与单调性、奇偶性的综合应用 讲义-高三数学二轮专题复习

第9页共9页函数对称性、周期性与单调性、奇偶性的综合应用-高三数学二轮复习知识点与方法总结函数的对称性1：函数的轴对称①函数关于对称若函数y＝f(x＋a)是偶函数也可以写成或.②图象关于直线对称.2：函数的中心对称①函数关于点(a,0)对称f(a+x)+f(a-x)=0若函数y＝f(x＋a)是奇函数.也可以写成：f(2a+x)+f(-x)=0,f(2a-x)+f(x)=0②f(a+x)+f(a-x)=2b,图象关于(a,b)对称.③f(a+x)+f(b-x)=2t,图象关于(,t)对称.二、函数的周期性：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，①若f(x)（），则T＝a；f(x+ka)；②若f(x＋a)＝－f(x)（），则T＝2a；③若f(x＋a)＝f(x＋b)（0<），则T＝b-a;f(x+k(b-a))；④若f(x＋a)＝k，则T＝2a(a>0)；⑤若(a>0)．T＝2a,进而；⑥若(a>0)．T＝4a,进而f(x+4ka)；⑦函数满足（），若为奇函数，则其周期为,若为偶函数，则其周期为；函数满足f(a+x)＝-f(a-x)（），若为奇函数，则其周期为,若为偶函数，则其周期为T＝4a；函数满足f(a+x)＝-f(a-x),若f(x＋b)＝-f(b-x)(b>a>0)，则其周期为T=;函数满足f(a+x)＝-f(a-x),若f(x＋b)＝f(b-x)(b>a>0)，则其周期为T=;⑧函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数满足f(a+x)＝-f(a-x)（），若为奇函数，则其周期为；⑨函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；⑩函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；题型归纳【题模1】：函数的对称性【题模2】：函数的周期性【题模3】：函数的奇偶性与周期性【题模4】：函数的奇偶性与对称性【题模5】：函数对称性、周期性与单调性、奇偶性的综合应用专题训练【题模1】：函数的对称性【讲透例题】1、已知定义在R上的函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），f（1）=2，则f（x1）=f（x2），则=（）A．4 B．2 C．-2 D．2、设函数的定义域为A，且满足任意恒有的函数是A． B． C． D．3、设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（

）A．2022 B．4043 C．4044 D．80864、已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（

）A． B． C． D．5、已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（

）A．B．C．D．6、若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．【相似题练习】1、设函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．2、若直线过函数图象的对称中心，则最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．93、函数的图象关于（）A．点对称B．直线对称C．点对称D．直线对称4、下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A． B． C． D．5、已知定义域为的函数满足，，则函数的解析式可以是______.【题模2】：函数的周期性【讲透例题】1、已知定义域为R的函数满足，且当时，，则（）A． B． C． D．02、已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（）A． B． C． D．3、定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（2021）的值为()A.-1B.0C.1D.2【相似题练习】1、定义在上的函数对任意，都有，，则f(2022)=____.2、定义在上的函数对任意，都有，且当时，，则f(-2021)+f(2021)=．3、若定义在R上的偶函数f

(x)满足f

(x)>0，f

(x＋2)＝eq\f(1,f

x)对任意x∈R恒成立，则f

(2023)＝________.【题模3】：函数的奇偶性与周期性【讲透例题】1、已知是R上的偶函数，对任意R，都有，且，则的值为（）A．0 B． C．2 D．62、（多选）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（）A．为奇函数 B．为周期函数C．为奇函数 D．为偶函数3．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有，则下列说法正确的是（）A． B．在上有5个零点C．f(2023)=0 D．直线是函数图象的一条对称轴4、已知奇函数满足，且当时，，则.5、已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则=（

）A． B． C． D．6、函数是定义在上的偶函数，且，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．27、设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x<π时，f(x)＝0，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝_____.【相似题练习】1、已知偶函数的定义域为R，满足，且当，则_____.2、已知定义在上的奇函数满足，且在上有，则f(2023)=.3、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则=____________4、定义在上的偶函数满足，且当时，，则（）A． B． C． D．5、已知函数是定义在上的偶函数，，若对任意，都有，对任意且，都有，则____________．6、设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，－2≤x<0，,ax－1，0<x≤2，))则f(2019)＝________.7、（多选）已知函数是上的奇函数，且满足，当时，．则下列四个命题中正确的是（）A．函数为奇函数B．函数为偶函数C．函数的周期为8D．函数在区间上有4个零点8、已知两个函数和，下列说法正确的是（）A．两个函数的定义域相同 B．两个函数都是奇函数C．两个函数的周期相同 D．两个函数的值域相同【题模4】：函数的奇偶性与对称性【讲透例题】1、已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（

）A． B． C． D．2、（多选）已知为奇函数，且，当时，，则（）A．的图象关于对称 B．的图象关于对称C． D．3、已知定义域为的函数存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线方程可能是（

）A． B． C． D．y=-x+1【相似题练习】1、（多选）已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（）A．的图象关于点中心对称 B．是周期为的周期函数C．的图象关于直线轴对称 D．为偶函数2、己知是定义在上的偶函数，且函数的图像关于原点对称，若，则的值为（

）A．0 B．1 C． D．2【题模5】：函数对称性、周期性与单调性、奇偶性的综合应用【讲透例题】1、已知函数的定义域R，直线x=2和x=3是曲线的对称轴，且f（2022）=1，则．2、已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x），f（1）=2，则f（-1）+f（3）=（）A．4 B．0 C．-2 D．3、关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3＋x)，则f(x)的一个周期T＝2；②若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；③函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝2对称；④若函数y＝eq\f(1,x＋1)与函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)＝eq\f(1,x－1).其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．44、已知是定义域为的奇函数，满足f

(2－x)＝f

(x)＋f

(2)，若，则

）A．0 B．1 C．2 D．20215、（多选）已知定义在R上的偶函数满足，且在上单调递减，则下列结论正确的是（）A． B．在上单调递增C．f(2021)=f(2023) D．可以是6、已知定义在R上的偶函数满足，当时，则（）A． B．C． D．7、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则().A.B.C.D.8、（多选）已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（

）A．B．直线为函数图象的一条对称轴C．函数在区间上存在2个零点D．若在区间上的根为，则9、已知函数y=f(x)是R上的奇函数，函数y=g(x)是R上的偶函数，且f(x)=g(x+2)，当0x2时，g(x)=x−2，则g(10.5)的值为A．1.5B．8.5C．－0.5D．0.510、设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，.若，则（

）A． B． C． D．【相似题练习】1、已知是R上的奇函数，且，当，，且时，，则当时，不等式的解集为（

）A． B．C． D．2、已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．83、对于定义在R上的函数，有下述四个命题：①若是奇函数，则的图象关于点A（1，0）对称；②若对xR，有，则的图象关于直线对称；③若函数的图象关于直线对称，则为偶函数；④函数与函数的图象关于直线对称。其中正确命题的序号为__________（把你认为正确命题的序号都填上）4、已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（

） B． C． D．25、已知定义在R上的奇函数f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＝f(x)，f(－2)＝－