第十三章应力状态分析上下

第十三章应力状态分析

Analysisofstress §1Introduction引言

§2Planestressanalysis平面应力状态应力分析

§3Maximum&principalstressesinplanestateofstress平面应力状态的极值应力与主应力

§4Maximumstressesinthree-dimensionalstressstate三向应力状态的最大应力

§5Stress-strainrelationshipofisotropicmaterials各向同性材料的应力应变关系

§6Stress-strainrelationshipofcompositematerials复合材料的应力应变关系§1Introduction引言Stateofstressesandstrains

应力与应变状态PlaneStateofstresses

平面应力状态微体abcd微体AFPlaSxzy4321MzFQyT14FPl/2l/2S平面54321S平面27外因：应力，不同方位应力不同（本章研究）

内因：材料本身的强度（下一章研究）结构与构件失效原因探讨低碳钢圆轴扭转：铸铁材料圆轴扭转：Stateofstressesandstrains应力与应变状态过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态StateoftheStressesofaGivenPoint一点的应力状态Stateofstrains应变状态构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点处的应变状态Analyticalmethod研究方法环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态Purpose研究目的研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础yxzThree-DimensionalStateofStresses三向（空间）应力状态:微体各侧面均作用有应力空间应力状态一般形式Generalstateofstress:consistsofsixcomponents(threenormalandthreeshear)

Plane

StateofStresses平面应力状态PlaneStateofStresses平面应力状态－仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面Generalstateofplanestress平面应力状态的一般形式垂直于x轴的截面称为x面，其上的正应力和切应力分别记为x

和x

，y面上的应力记为y和

y§2Planestressanalysis

平面应力状态应力分析

Stressesonaninclinedplane

斜截面应力Example例题Stressesonaninclinedplane斜截面应力DerivationofStressTransformationEquations：建立sa,

ta

与sx,

tx,sy,

ty

间的关系ProblemSignconvention符号规定：Orientation方位a

－以x轴为始边、者为正Normalstress正应力—拉伸为正；

Shearstress切应力t－以企图使微体沿旋转者为正方位用a

表示；应力为

sa,

taInclinedplane斜截面：//zaxis；Stressesonaninclinedplane斜截面应力由于tx

与

ty数值相等,并利用三角函数的变换关系,得

上述关系式是建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题一点的应力状态，在不同的坐标系中有不同的表现形式，但它们之间是可以转换的。这种转换称之为“应力的坐标变换”，简称为“应力变换”（TransformationofStresses）。应力变换的实质——同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式例题例2-1计算截面

m-m

上的应力解：思考：(x,y,y)给定时，在－平面上，(，

)的轨迹什么形状？Mohr’scircleofstress应力圆应力圆圆心：半径：结论：平面应力状态下，过一点的各方位截面在该点的应力（，

）在—坐标系下构成一个圆——应力圆ConstructionandapplicationofMohr'sCircle应力圆的绘制与应用ConstructingMohr'sCircle绘制应力圆－圆心横坐标图解法求斜截面应力同理可证：应力圆——思维分析的工具，而不是计算工具。应力圆上一点坐标对应微体一个截面应力值应力圆半径所夹角度是微体截面方位角两倍，且转向相同.Anangleaonanelementisrepresentedby2aonthecircle,withsamedirectionApointonMohr’scirclerepresentsthestressconditiononthecorrespondingplaneofelement互垂截面，对应同一直径两端TheplanesperpendiculartooneanotherarerepresentedbydiametricallyoppositepointsonMohr'scircle.微体平行对边,对应应力圆同一点22C量得C点的应力为:单位：MPa例：图示微体，已知=210°，求斜截面应力，。解：x=80MPa，y=-30MPa，x=-60MPa，2=420°=360°+60°60°Example例题例利用应力圆求截面

m-m

上的应力（前例题的图解法）解：o(0,)(0,)2(-)已知σA，τA

，σB，τB，如何作应力圆。联AB，并作其中垂线，交轴σ于C，C为圆心AABB已知τ，α，如何作应力圆。o(A,A)(B,B)o(A,A)(B,B)2(-)几种特殊受力状态的应力圆单向受力状态纯剪切受力状态o双向等拉oo

/2

/2§3

Maximum&principalstressesinplanestateofstress平面应力状态的极值应力与主应力

MaximumStressesinplanestress

平面应力状态的极值应力

PrincipalplanesandprincipalStresses

主平面与主应力

ShearingStateofStresses

纯剪应力状态

Examples例题MaximumStressesinplanestress

平面应力状态的极值应力MaximumShearingStressinPlane

（面内最大切应力）28思考：对于平面应力状态：是否一定存在正应力为零的面？正应力最大与最小的面在几何上有何特征？是否一定存在切应力为零的面？正应力最大与最小的面上，切应力有什么性质？PrincipalplanesandprincipalStresses

主平面与主应力Principalplanes主平面－

theplanesonwhichthemaximumandminimumvaluesofσoccur(noshearstressesinexistence)

切应力为零的截面PrincipalStresses主应力－

thenormalstressesactingonprincipalplanes主平面上的正应力主应力符号与规定－主平面微体－相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体（按代数值排列）s1s2s3si

=?不论一点处的应力状态如何复杂，都存在一个主平面微体，即任何一点都有三个主平面和主应力应力状态分类OneDimensionalStateofStresses单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态TwoDimensionalStateofStresses二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态ThreeDimensionalStateofStresses三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态二向与三向应力状态，统称复杂应力状态2-Dand3-Dstateofstresses:complexstateofstressesShearingStateofStresses纯剪应力状态MaximumStresses最大应力32低碳钢圆轴扭转：铸铁材料圆轴扭转：例：纯剪应力状态下不同的断裂机理：如果两端再加上一些拉力，则断裂面的角度大于还是小于45°思考：滑移与剪断发生在tmax的作用面断裂发生在smax

的作用面解：1.解析法例用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位2.图解法35作业：13－2(c),13－4(c)，13-7(b)

36按比例尺画出应力圆图解法：最大正应力点在D点，进行测量；最大切应力点在E点，进行测量；对A、B两截面的夹角进行测量2aB(40,20)A(15,15)CDE例：平面应力状态下，物体内一点O在A、B两截面上的应力如图所示，求该点的最大正应力和切应力及A,B两截面的夹角。

O37解析法：构造如图所示微体两个未知数，两个方程，求解得：故：1.应力圆上一点坐标对应微体一个截面应力值2.圆上两点所夹圆心角对应截面法线夹角的两倍,对应夹角转向相同主平面－切应力为零的截面主应力极值应力与主应力平面应力状态应力分析上节课主要内容：§4

Maximumstressesinthree-dimensionalstateofstress三向应力状态的最大应力

Mohr'scircleinthreedimensions

三向应力圆

Maximumstresses最大应力Examples例题Mohr'scircleinthreedimensions三向应力圆与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，或位于由应力圆所构成的阴影区域内Maximumstresses最大应力最大切应力位于与s1及s3均成45的截面平面应力状态的极值应力例题例5-1已知

sx=80MPa，tx=35MPa，sy=20MPa，sz=-40MPa，求主应力、最大正应力与最大切应力解：画三向应力圆44例：图示单元体最大切应力作用面是图______单位：MPa答：B45例：试作图示平面应力状态微体的三向应力圆单位：MPa46练习：画三向应力圆60MPaz分析：（1）z面是主平面，应力为40MPa（2）另外两个主平面与z面平行，由x面和y面应力确定Plane

strainanalysis

平面应变状态应变分析

Strainsatarbitrarydirection任意方位的应变

Mohr'scircleforplanestrain

应变圆

Maximum&principalstrain

最大应变与主应变

Examples

例题Strainsatarbitrarydirection任意方位的应变Forastateofplanestrain(平面应变状态),weassume微体内各点的位移均平行于某一平面Forastateofplanestress,weassume:平面应变状态任意方位应变问题：已知应变ex,ey与gxy，求a方位的应变ea

与ga

使左下直角增大之

g为正规定：

方位角

a

以x轴为始边，为正分析方法要点：叠加法，切线代圆弧分析综合

上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关结论任一方位应变：垂直方位切应变：互垂方位的切应变数值相等，符号相反Mohr'scircleforplanestrain应变圆Maximum&principalstrain最大应变与主应变切应变为零方位的正应变－主应变主应变位于互垂方位主应变表示：e1e2e3例题例6-1图示应变花，由实验测得0º,45º与90º方位的应变分别为e0,e45与e90，求ex,ey与gxy解：§5

Stress-strainrelationshipofisotropicmaterials各向同性材料的应力应变关系

GeneralizedHooke’slaw

广义胡克定律

Relationshipbetweenprinciplestressandstrain

主应力与主应变的关系

Examples例题60xxxyyy纯剪应力状态的胡克定理：单向应力状态的胡克定理：如何确定复杂应力状态下，应力与应变关系？X研究方法：利用叠加原理，由单向受力和纯剪状态的胡克定理推导复杂应力状态的广义胡克定理。GeneralizedHooke’slaw广义胡克定律广义胡克定律（平面应力状态）适用范围：各向同性材料，线弹性范围内广义胡克定律（三向应力状态）适用范围：各向同性材料，线弹性范围内Relationshipbetweenprinciplestressandstrain

主应力与主应变的关系

主应变与主应力的方位重合

最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位最大拉应变发生在最大拉应力方位如果s10，且因m<1/2，则例题例7-1

对于各向同性材料，试证明：证：根据几何关系求e45。根据广义胡克定律求

e45。比较例7-2边长为a

=10

mm的正方形钢块，放置在槽形刚体内，F

=

8

kN，m

=

0.3，求钢块的主应力