2023年广东省广州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年广东省广州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.A.A.

B.

C.

D.

3.A.

B.

C.－cotx＋C

D.cotx＋C

4.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

5.设f(x)在点x0处连续，则下列命题中正确的是()．A.A.f(x)在点x0必定可导B.f(x)在点x0必定不可导C.必定存在D.可能不存在

6.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

7.

8.设f'(x)在点x0的某邻域内存在，且f(x0)为f(x)的极大值，则等于()．A.A.2B.1C.0D.-2

9.等于()．A.A.0

B.

C.

D.∞

10.

11.单位长度扭转角θ与下列哪项无关()。

A.杆的长度B.扭矩C.材料性质D.截面几何性质

12.

13.A.-1

B.0

C.

D.1

14.设()．A.A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与a有关D.上述三个结论都不正确

15.

16.微分方程y'＋x=0的通解（）。A.

B.

C.

D.

17.设有直线

当直线l1与l2平行时，λ等于（）．A.A.1

B.0

C.

D.一1

18.

19.A.A.1

B.1/m2

C.m

D.m2

20.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导，f'(x)>0,f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)内零点的个数为

A.3B.2C.1D.0

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.设y=1nx，则y'=__________．

25.

26.

27.过原点且与直线垂直的平面方程为______．

28.

29.设，则y'=________。

30.

31.

32.设区域D为y=x2，x=y2围成的在第一象限内的区域，则=______．

33.微分方程y＋9y＝0的通解为________．

34.

35.36.

37.

38.

39.级数的收敛区间为______．

40.

三、计算题(20题)41.

42.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

43.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

44.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

45.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

46.

47.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

48.

49.

50.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

51.

52.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

53.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

54.证明：

55.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

56.

57.求微分方程的通解．

58.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

59.

60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.设y=xsinx，求y．

66.判定y=x-sinx在[0，2π]上的单调性。

67.求

68.

确定a，b使得f(x)在x=0可导。

69.

70.

五、高等数学(0题)71.以下结论正确的是()。

A.∫f"(x)dx=f(x)

B.

C.∫df(z)=f(x)

D.d∫f(x)dx=f(x)dx

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B

2.D

3.C本题考查的知识点为不定积分基本公式．

4.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

5.C本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系．

函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0必连续．

函数f(x)在点x0连续，则必定存在．

函数f(x)在点x0连续，f(x)在点x0不一定可导．

函数f(x)在点x0不连续，则f(x)在点x0必定不可导．

这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选C．

6.C

7.B

8.C本题考查的知识点为极值的必要条件；在一点导数的定义．

由于f(x0)为f(x)的极大值，且f'(x0)存在，由极值的必要条件可知f'(x0)=0．从而

可知应选C．

9.A

10.C

11.A

12.D

13.C

14.D

15.A解析：

16.D所给方程为可分离变量方程．

17.C本题考查的知识点为直线间的关系．

18.A

19.D本题考查的知识点为重要极限公式或等价无穷小代换．

解法1由可知

解法2当x→0时，sinx～x，sinmx～mx，因此

20.C本题考查了零点存在定理的知识点。由零点存在定理可知,f(x)在(a,b)上必有零点，且函数是单调函数，故其在(a,b)上只有一个零点。

21.

22.F(sinx)+C本题考查的知识点为不定积分的换元法．

由于∫f(x)dx=F(x)+C，令u=sinx，则du=cosxdx，

23.

24.

25.

26.

27.2x+y-3z=0本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系．

由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=0

28.y+3x2+x

29.

30.1

31.

32.1/3；本题考查的知识点为二重积分的计算．

33.

本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

34.

35.

36.π/4本题考查了定积分的知识点。

37.3x2siny

38.

39.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．

40.

41.

42.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

43.由等价无穷小量的定义可知

44.

45.由二重积分物理意义知

46.

则

47.

48.由一阶线性微分方程通解公式有

49.

50.

51.

52.

列表：

说明

53.函数的定义域为

注意

54.

55.

56.

57.

58.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

59.

60.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

61.

62.由题意知,使f(x)不成立的x值,均为f(x)的间断点.故sin(x-3)=0或x-3=0时'f(x)无意义,则间断点为

x-3=kπ(k=0,±1,±2,..).

即x=3+kπ(k=0,±1,±2--.).

63.

64.

65.解

66.因为在[02π]内y'=1-cosx≥0可知在[02π]上y=x-sinx单调增加。因为在[0，2π]内，y'=1-cosx≥0，可知在[0,2π]上y=x-sinx单调增加。

67.

；本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限．

68.

①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可导一定连续