九年级数学中考复习 圆 解答综合练习题

九年级数学中考复习《圆》解答综合练习题（附答案）1．如图，△ABC中，∠A＝45°，D是AC边上一点，⊙O过D、A、B三点，OD∥BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）OD，AB相交于点E，若AB＝AC，OD＝r，写出求AE长的思路．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC＝∠A；（2）若CE＝4，DE＝2，求⊙O的直径．3．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，直线CG与⊙O相切于点C，CG∥AE，CG与BA的延长线交于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：＝；（2）若∠EAB＝30°，CF＝a，写出求四边形GAFC周长的思路．4．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC的长．5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF．（1）求证：DF＝2CE；（2）若BC＝3，sinB＝，求线段BF的长．6．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP＝RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2＝PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．7．如图，AB＝AC，AB是直径，求证：BC＝2DE．8．如图，△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作⊙O的切线DE，使DE⊥AC于E．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，连接FH，若BC＝4，求FH的长．9．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作⊙O的切线交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）如果sinC＝，AE的长为2．求⊙O的半径．10．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若∠EAB＝30°，CF＝2，求AG的长．11．如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的直径．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：∠CBF＝∠CAB；（2）连接BD，AE交于点H，若AB＝5，tan∠CBF＝，求BH的值．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O是BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆过AB上一点D．（1）若AD＝AC，求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝4，BD＝8，求CE和AD的长．14．如图1，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE＝DE．小韬同学是一位聪明好学而且有钻研精神的同学，他发现∠DEF＝∠DBF＝90°，于是可以得到B、F、D、E四点共圆．（1）请你帮小韬同学确定该圆的直径为．（2）请在图中作出该圆．小韬同学发现对两个圆周角∠DBE＝∠DFE＝45°，于是△DEF为等腰直角三角形，于是不用证全等就证明了FE＝DE；（3）通过以上材料解决下列问题，△ABC是等边三角形，D为边BC上一点，∠ADE＝60°，DE交∠ACB的外角平分线于点E，于是猜测ADDE（“＞”“＝”或“＜”），并证明你的结论．15．如图，AB是⊙O的直径，∠B＝∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD＝5，CD＝4时，求AF的值．16．如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D．（1）求∠APB的大小；（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？并求此时CD：CP的值；（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明．17．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．（1）求证：GE是⊙O的切线；（2）若AC⊥BC，且AC＝8，BC＝6，求切线GE的长．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．19．如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．（1）证明：CF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．20．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．

参考答案1．（1）证明：连接OB．∵∠A＝45°，∴∠DOB＝90°．∵OD∥BC，∴∠DOB+∠CBO＝180°．∴∠CBO＝90°．∴直线BC是⊙O的切线．（2）求解思路如下：如图，延长BO交⊙O于点F，连接AF．①由AB＝AC，∠BAC＝45°，可得∠ABC＝67.5°，∠ABF＝90°﹣67.5°＝22.5°；②在Rt△EOB中，由OB＝r，可求BE的长度（BE＝）；③由BF是直径，可得∠FAB＝90°，在Rt△FAB中，由BF＝2r，可求AB的长（AB＝2r×cos22.5°），进而可求AE的长．2．（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A；（2）解：∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∴∠DCE＝∠A，∵CE＝4，DE＝2，∴tan∠A＝tan∠DCE＝，∴在Rt△ACE中，可得AE＝8，∴AD＝6，在Rt△ADB中可得BD＝3，∴根据勾股定理可得AB＝33．证明：（1）连接OC，如图．∵直线CG与⊙O相切于点C，∴CG⊥OC．∵CG∥AE，∴AE⊥OC．又∵OC为⊙O的半径，∴；（2）解：连接AC，如图．由∠EAB＝30°，CG∥AE，可得∠CGB＝30°，又由直线CG与⊙O相切于点C，∠AOC＝60°，可推出△AOC是等边三角形，‚由△AOC是等边三角形，∠EAB＝30°，CF＝a，可得∠CAF＝∠ACF＝30°，CF＝AF＝a，DF＝，AD＝，ƒ利用CG∥AE，可得到△ADF∽△GDC，从而推出AG＝a，GC＝3a．故计算出四边形GAFC的周长为5a+a．4．（1）证明：∵直径DE⊥AB于点F，∴AF＝BF，∴AM＝BM；（2）连接AO，BO，如图，由（1）可得AM＝BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF＝∠MBF＝45°，∴∠CMN＝∠BMF＝45°，∵AO＝BO，DE⊥AB，∴∠AOF＝∠BOF＝，∵∠N＝15°，∴∠ACM＝∠CMN+∠N＝60°，即∠ACB＝60°，∵∠ACB＝．∴∠AOF＝∠ACB＝60°．∵DE＝8，∴AO＝4．方法1：在Rt△AOF中，OF＝AO＝2，AF＝＝，在Rt△AMF中，AM＝BM＝＝．在Rt△ACM中，AC2＝CM2+AM2，即（2CM）2＝CM2+（2）2，解得CM＝，∴BC＝CM+BM＝+．方法2：在Rt△AOF中，由sin∠AOF＝，得AF＝，在Rt△AMF中，AM＝BM＝＝．在Rt△ACM中，由，得CM＝，∴BC＝CM+BM＝+．5．（1）证明：连接OE交DF于G，∵AC切⊙O于E，∴∠CEO＝90°．又∵BD为⊙O的直径，∴∠DFC＝∠DFB＝90°．∵∠C＝90°，∴四边形CEGF为矩形．∴CE＝GF，∠EGF＝90°，∴DF＝2CE．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，，∴AB＝5，设OE＝x，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC．∴，∴，∴，∴BD＝．在Rt△BDF中，∵∠DFB＝90°，sinB＝，∴cosB＝＝＝，∴BF＝．6．证明：（1）连接OQ；∵OB＝OC，PR＝RQ；∴∠OBP＝∠OQP，∠RPQ＝∠RQP；∵∠OBP+∠BPO＝90°，∠BPO＝∠RPQ；∴∠OQP+∠RQP＝90°；即∠OQR＝90°，∴RQ是⊙O的切线．证明：（2）延长AO⊙O交于点C；∵∠BPC＝∠QPA，∠BCP＝∠AQP，∴△BCP∽△AQP，∴PB•PQ＝PC•PA＝（OC+OP）（OA﹣OP）＝（OB+OP）（OB﹣OP）＝OB2﹣OP2，∴OB2＝PB•PQ+OP2．解：（3）当RA＝OA时，∠R＝30°，易得∠B＝15°，当R与A重合时，∠B＝45°；∵R是OA延长线上的点，∴R与A不重合，∴∠B≠45°；又∵RA≤OA，∴∠B＜45°，∴15°≤B＜45°．7．证明：连接AD、DE∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝90°∴AD⊥BC∵AB＝AC∴∠BAD＝∠DAC；BC＝2BD＝2DC由圆周角定理可知：BD＝DE∴BC＝2DE．8．解：（1）证明：如图1所示：连接OD．∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．∵DE⊥AC，∴OD∥AC．∴∠A＝∠ODB．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∴∠A＝∠OBD．∴AC＝BC．∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC．∴△ABC是等边三角形．（2）解：连接BF，作FG⊥BC于点G，连接DC．∵BC是⊙O的直径，∴∠BFC＝90°．∵△ABC为等边三角形，∴CF＝AC＝BC＝2．同理；BD＝AD＝2．∵∠C＝60°，∠FGC＝90°，∴FG＝FC＝，CG＝FC＝1．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF．∴AE＝EF＝1．∴CE＝3，CH＝1.5．∴HG＝．在Rt△FGH中，由勾股定理可得FH＝＝．9．（1）证明：如图1所示：连接OD．∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB．∵AB＝AC．∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C．∴OD∥AC．∴DF⊥AC．（2）解：连接BE，AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°∵AB＝AC，∴BD＝CD．∵DF⊥AC，∴FD∥BE．∴可得点F是CE的中点．设⊙O的半径为r，则AB＝AC＝2r．则CE＝2r+2，∴FC＝r+1．∴AF＝r﹣1．∵∠ABD＝∠C＝∠ADF，∴sin∠ABD＝sin∠ACB＝sin∠ADF＝．∴AD＝．∵sin∠ADF＝＝＝∴r＝3．10．（1）证明：连接OC．∵AE是弦，C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE．，∵CG∥AE，∴OC⊥GC，∴CG是⊙O的切线．（2）解：连接AC．∵∠EAB＝30°，CG∥AE，∴∠G＝∠EAB＝30°，∵CG是⊙O的切线，∴∠GCO＝90°，∴∠COA＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝60°，∴∠CAF＝30°，可求∠ACD＝30°，∴AF＝CF＝2，∵∠EAB＝30°，∴DF＝1，AD＝，∵CG∥AE，∴＝，∴＝，∴AG＝2．11．（1）证明：连接OD，如图，∵D为AC的中点，O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC；（2）解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠CDE＝90°，而∠CDE+∠C＝90°，∴∠C＝∠BDE，在Rt△CDE中，∵tanC＝＝，∴CE＝2DE＝4，在Rt△BDE中，∵tan∠BDE＝＝，∴BE＝DE＝1，∴BC＝BE+CE＝5，∵OD为△ABC的中位线，∴OD＝BC，∴AB＝BC＝5，即⊙O的直径为5．12．（1）证明：连接AE，∵AB是圆的直径，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠CAB，∵BF是⊙O的切线，∴∠CBF＝∠BAE，∴∠CBF＝∠CAB．（2）解：∵tan∠CBF＝tan∠EAB＝，∴＝，∵AB＝5，AB2＝BE2+AE2，∴25＝BE2+4BE2，∴BE＝，∵∠BAE＝∠CAE，∠EBD＝∠CAE，∴∠EBD＝∠EAB，∴tan∠EBD＝＝，∴EH＝，∴BH＝＝．13．（1）证明：连接OD，如图，在△AOC和△AOD中，∴△AOC≌△AOD，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝r+4，在Rt△OBD中，∵OD2+BD2＝OB2，∴r2+82＝（r+4）2，解得r＝6，∴CE＝2r＝12，∵△AOC≌△AOD，∴AC＝AD，设AD＝t，在Rt△ACB中，∵AC2+BC2＝AB2，∴t2+162＝（t+8）2，解得t＝12，即AD＝12．14．解：（1）∵∠DEF＝∠DBF＝90°，∴DF是直径．故答案为：DF．（2）如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBE＝45°，∴∠DFE＝∠DBE＝45°，∵DF是直径，∴∠DEF＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝45°，∴FE＝DE；（3）AD＝DE．理由：如图2，连接AE，∵∠ADE＝∠ACE＝60°，∴A，D，C，E共圆，∴∠AED＝∠ACB＝60°，又∵∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE．补充方法：作DM∥AC交AB于M，证明△BDM是等边三角形，△ADM≌△DEC即可．故答案为：＝．15．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，∴∠BAC＝∠ADC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．（2）∵BD＝5，CD＝4，∴BC＝9，∵△ADC∽△BAC（已证），∴＝，即AC2＝BC×CD＝36，解得：AC＝6，在Rt△ACD中，AD＝＝2，∵∠CAF＝∠CAD+∠DAE＝∠ABF+∠BAE＝∠AFD，∴CA＝CF＝6，∴DF＝CA﹣CD＝2，在Rt△AFD中，AF＝＝2．16．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠APB＝120°；（2）当点P运动到的中点时，PD⊥AB，如图1，连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP＝2r，又∵⊙O为等边△ABC的外接圆，∴∠OAB＝30°，在Rt△OAD中，∵OD＝OA＝，∴CD＝+r＝，∴CD：CP＝：2r＝3：4；（3）PC＝AP+PB证明：方法一：如图2，在AP的延长线上取点Q，使PQ＝PB，连接BQ，∵∠APB＝120°，∴∠BPQ＝60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PB＝BQ，∵∠CBP＝∠CBA+∠ABP＝60°+∠ABP，∠ABQ＝∠QBP+∠ABP＝60°+∠ABP，∴∠ABQ＝∠CBP，在△ABQ和△CBP中，PB＝QB，∠CBP＝∠ABQ，CB＝AB，∴△ABQ≌△CBP，∴CP＝AQ＝AP+PQ＝AP+PB，即PC＝AP+PB；方法二：如图3，B为圆心，BP为半径画圆交CP于点M，连接BM，∵∠CPB＝60°，∴△PBM是等边三角形，∵∠CMB＝120°，∴∠CMB＝∠APB，∴△APB≌△CMB，∴PC＝AP+PB；方法三：（略证）如图4，以A为圆心，A为半径画圆交CP于N，连接AN，先证△APN是等边三角形，再证△ANC≌△APB，从而PC＝AP+PB．17．解：（1）证明：连接OE，OG；（1分）∵AG＝GD，CO＝OD，∴OG是△ACD的中位线，∴OG∥AC．（2分）∴∠OEC＝∠GOE，∠ACD＝∠GOD．（3分）∵OE＝OC，∴∠ACD＝∠OEC．∴∠GOD＝∠GOE．（5分）∵OE＝OD，OG＝OG，∴△OEG≌△ODG．（6分）∴∠OEG＝∠ODG＝90°．∴GE是⊙O的切线．（7分）（2）∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10．（8分）∴OD⊥GD．∴GD也是圆O的切线．∴GD＝GE．（9分）设BD＝x，则AD＝10﹣x，在Rt△CDA和Rt△CDB中，由勾股定理得：CD2＝82﹣（10﹣x）2，CD2＝62﹣x2∴82﹣（10﹣x）2＝62﹣x2（10分）解得，∴AD＝10﹣＝．∴