经典《极坐标与参数方程》综合测试题

《极坐标与参数方程》综合测试题.在极坐标系中，已知曲线C:P=2cos8,将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线G,又已知直线l过点P(1,0),倾斜角为且直线l与曲线G交于A,B两点.(1)求曲线C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；(2)求+..在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程(小为参数),以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2psin(8+)=3,射线OM9二与圆C的交点为OP,与直线l的交点为Q求线段PQ的长..在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：p2=4p(cos0+sin8)-6.若以极点。为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.(I)求圆C的参数方程；(H)在直角坐标系中，点P(x,y)是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标..若以直角坐标系xOy的。为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，彳#曲线C的极坐标方程是p=.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；(2)若直线l的参数方程为(t为参数)，P2,0,当直线l与曲线C相交于A,2|2B两点，求ab|B两点，求PAPB.在平面直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立xx轴正半轴建立平面直角坐标系xOy7.7.已知平面直角坐标系中，曲线Ci的参数方程为(小为参数)，以原点为极点,极坐标系，曲线 C1的参数方程为x3cos(为参数)，曲线 C2的极坐标方y2sin程为．1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标．.在极坐标系中，曲线C的方程为p2=，点R(2,).(I)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(H)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS勺一边垂直于极轴，求矩形PQR制长的最小值.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p=2cos8.C1的极坐标方程与曲线 C2的直角坐标方程；(n)若直线8=(peR)与曲线C交于p,q两点，求|PQ|的长度.8．在直角坐标系中，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为pcos0-psin8=2,曲线C的极坐标方程为psin20=2pcos0(p>0).(1)设t为参数，若x=-2+t,求直线l的参数方程；(2) 已知直线l与曲线C交于P、Q,设M(-2,-4),且|PQ|2二|MP|?|MQ|,求实数p的值．.在极坐标系中，射线l:9=与圆C:p=2交于点A,椭圆r的方程为p2=,(i)求点a的直角坐标和椭圆r的参数方程；(n)若e为椭圆r的下顶点，f为椭圆r上任意一点，求？的取值范围..已知在直角坐标系中，曲线的c参数方程为(小为参数)，现以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为p=.1)求曲线 c的普通方程和直线 l的直角坐标方程；(2)在曲线C上是否存在一点P,使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．.已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以原点。为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 c2的极坐标方程为．I)求曲线 c2的直角坐标系方程；(II)设M是曲线。上的点，M2是曲线G上的点，求|MiM2|的最小值..设点A为曲线C:p=2cos8在极轴Ox上方的一点，且0080,以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy，1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B点轨迹的极坐标方程．.在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci：（小为参数，实数a>0）,曲线Q:（小为参数，实数b>0）.在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l:8=a（P>0,0&a&）与C交于QA两点，与C2交于QB两点.当a=0时，|OA|=1;当口=时，|OB|=2.a，b的值；2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线 C1：(a为参数)经过伸缩变换后，曲线为 C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系．(I)求C2的极坐标方程；(n)设曲线Q的极坐标方程为psin(-9)=1,且曲线G与曲线C2相交于P,Q两点，求|PQ|的化15.已知半圆C的参数方程为，a为参数，aC[-,].(I)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；(H)在(I)的条件下，设T是半圆C上一点，且OTq试写出T点的极坐标.16．已知曲线 C1的参数方程为（ t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p=2sin8.C1的参数方程化为极坐标方程；（H）求Ci与C2交点的极坐标（p》0,008<2冗）《极坐标与参数方程》综合测试题答案一.解答题(共16小题).在极坐标系中，已知曲线C:p=2cos8,将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线G,又已知直线l过点P(1,0),倾斜角为且直线l与曲线G交于A,B两点.(1)求曲线C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；(2)求+.【解答】解：(1)曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-2x=0即(x-1)2+y2=1.「•曲线C的直角坐标方程为=1,「•曲线C表示焦点坐标为(-，0),(,0),长轴长为4的椭圆(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得13t24t120.设A、B两点对应的参数分别为t1,t2,..+=2痴.3.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程(小为参数),以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2psin(8+)=3,射线OM9二与圆C的交点为OP,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.【解答】解：(I)利用cos]+sin2(|)=1,把圆C的参数方程为参数)化为(x-1)2+y2=1,p2-2Pcos0=0,即p=2cos0.(II)设(p1,9i)为点P的极坐标，由，解得.设(P2,82)为点Q的极坐标，由，解得.,-81=82, |PQ|=|p1—p2|=2.|PQ|=2.

3.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：p2=4p（cosO+sin8）-6.若以极点。为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.（I）求圆C的参数方程；（H）在直角坐标系中，点P（x,y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标.【解答】（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（I）因为p2=4p（cos0+sin0）-6,所以x2+y2=4x+4y-6,所以x2+y2-4x-4y+6=0,即（x-2）2+（y-2）2=2为圆C的普通方程.…（4分）所以所求的圆C的参数方程为（8为参数）.…（6分）（H）由（I）可得，…（7分）当时，即点P的直角坐标为（3,3）时，…（9分）x+y取到最大值为6.…（10分）.若以直角坐标系xOy的。为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是p=.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为 （2）若直线l的参数方程为 3（t为参数），P—,02,当直线l与曲线C相交于A,B两点，求2AB|pa||pb【解答】解：（1）p=,-p2sin20=6pcos0,「•曲线C的直角坐标方程为y2=6x,曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线.（2）直线l的参数方程可化为，代入y2=6x得t2-4t-12=0.解得t1=-2,t2=6.

||二|ti—1||二|ti—12|=8.ABPA||PB.在平面直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的参数方程为x3cos(为参数)，曲线G的极坐标方程为.y2sin(1)求曲线C的普通方程和曲线G的直角坐标方程；(2)设P为曲线C上一点，Q曲线G上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标.【解答】解：(1)由消去参数a,得曲线C的普通方程为.由得，曲线C2的直角坐标方程为.(2)设P(2cosa,2sina),WJ点P到曲线C2的距离为.当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为..在极坐标系中，曲线C的方程为p2=，点R(2,).(I)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(H)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS勺一边垂直于极轴，求矩形PQR制长的最小值.【解答】解：(I)由于x=pcos9,y=psin9,则：曲线C的方程为p2=,转化成.点R的极坐标转化成直角坐标为：R(2,2).(H)设P()根据题意，得到Q(2,sin8),则：|PQ|二,|QR|=2-sin9,所以：|PQ|+|QR|=.当时，(|PQ|+|QR|)min=2,矩形的最小周长为4.7.已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(小为参数),以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为p=2cos8.(I)求曲线G的极坐标方程与曲线G的直角坐标方程；(H)若直线8=(pCR)与曲线C交于P,Q两点，求|PQ|的长度.【解答】解：(I)曲线C的参数方程为(小为参数),利用平方关系消去小可得：+(y+1)2=9,展开为：x2+y2—2x+2y—5=0,可得极坐标方程：pcos8+2psin0-5=0.曲线C2的极坐标方程为 p=2cos8,即p2=2pcos0,可得直角坐标方程：x2+y2=2x．(II)把直线8=(pCR)代入pcos0+2psin0-5=0,整理可得：p2-2p-5=0,••pl+p2=2,p1?p2=—5,・•.|PQ|=|P1-P2|===2.8．在直角坐标系中，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为pcos0-psin8=2,曲线C的极坐标方程为psin20=2pcos0(p>0).(1)设t为参数，若x=-2+t,求直线l的参数方程；(2)已知直线l与曲线C交于P、Q设M(-2,-4),且|PQ|2=|MP|?|MQ|,求实数p的值．【解答】解：(1)直线l的极坐标方程为pcosB-psin8=2,化为直角坐标万x-y-2=0.x=-2+t, y=x-2=-4+t,「•直线l的参数方程为：(t为参数).(2)曲线C的极坐标方程为psin20=2pcos0(p>0),即为p2sin20=2ppcos0(p>0),可得直角坐标方程：y2=2px.把直线l的参数方程代入可得：t2-(8+2p)t+8p+32=0..」田2=(8+2p),t1t2=8p+32.不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1-t2|===.|PQ|2=|MP|?|MQ|，2•.8p+32P=8p+32化为：p2+3p-4=0,解得p=1．9.在极坐标系中，射线l:9=与圆C:p=2交于点A,椭圆r的方程为p2=,以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy(I)求点A的直角坐标和椭圆r的参数方程；(n)若e为椭圆r的下顶点，f为椭圆r上任意一点，求？的取值范围.【解答】解：(I)射线l:8=与圆C:P=2交于点A(2,),点A的直角坐标(，1)；椭圆r的方程为P2=,直角坐标方程为+y2=1,参数方程为(9为参数)；(H)设F(cos0,sin0),-E(0,T),「.=(-,-2),=(cos0-,sin0-1),?=-3cos0+3-2(sin0-1)=sin(8+a)+5,「•？的取值范围是[5—,5+].10.已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为(小为参数)，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为p=.(1)求曲线 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程；(2)在曲线C上是否存在一点P,使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)曲线的C参数方程为(小为参数)，普通方程为(x-1)2+(y-1)=4,直线l的极坐标方程为p二,直角坐标方程为x-y-4=0;(2)点P到直线l的距离d==，••・小-=2k：t-,即6=2^-(kCZ),距离的最小值为2-2,点P的直角坐标(1+,1-).11.已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以原点。为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为.(I)求曲线G的直角坐标系方程；(II)设M是曲线G上的点，M2是曲线G上的点，求|MiM2|的最小值.【解答】解：(I)由可得p=x-2,p2=(x-2)2,即y2=4(x-1);(H)曲线G的参数方程为(t为参数)，消去t得：2x+y+4=0.•••曲线C的直角坐标方程为2x+y+4=0..「M是曲线G上的点，M2是曲线C2上的点，|MiM2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值.设M2(r2-1,2r),M到直线2x+y+4=0的距离为d,则d==>.•.|MM|的最小值为.12.设点A为曲线C:p=2cos9在极轴Ox上方的一点，且0080,以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy,(1)求曲线C的参数方程；(2)以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB(B在A的右下方)，求点B轨迹的极坐标方程.x1cos【解答】(1) (0 -,9为参数)ysin 2(2):设A(p°,90),且满足p0=2cos90,B(p,8),依题意，即代入p0=2cos80并整理得，，，所以点B的轨迹方程为，.13.在平面直角坐标系xOy中，曲线G:(小为参数，实数a>0),曲线G:(小为参数，实数b>0).在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l:8=a(P>0,0&a&)与G交于OA两点，与G交于QB两点.当a=0时，|OA|=1;当/=时，|OB|=2.(I)求a,b的值；(H)求210A|2+|OA|?|OB|的最大值.【解答】解：(I)由曲线C：(小为参数，实数a>0),化为普通方程为(x-a)2+y2=a2,展开为：x2+y2-2ax=0,其极坐标方程为 p2=2apcos8,即p=2acos0,由题意可得当 0=0时，|0A|=p=1, a=.曲线C2:(小为参数，实数b>0),化为普通方程为x2+(y-b)2=b2,展开可得极坐标方程为p=2bsin9,由题意可得当时，|0B|=p=2, b=1.(II)由(I)可得C,C2的方程分别为P=cos9,P=2sin9.2|0A|2+|0A|?|OB|=2cos20+2sin0cos0=sin20+cos20+1=+1,.「28+e,「•+1的最大值为+1,当28+=时，0=时取到最大值.14．在平面直角坐标系中，曲线 C1：(a为参数)经过伸缩变换后的曲线为 C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(I)求C2的极坐标方程；(H)设曲线C3的极坐标方程为psin(-9)=1,且曲线G与曲线C2相交于P,Q两点，求|PQ|的化【解答】解：(I)C2的参数方程为(a为参数),普通方程为(x'-1)2+y'2=1,.二G的极坐标方程为p