2023年天津市高考理科数学试题及答案

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学〔理工类〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时120分钟。第一卷1至2页，第二卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第一卷本卷须知：1.每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每题5分，共40分。参考公式：•如果事件，互斥，那么 •如果事件，相互独立，那么..•圆柱的体积公式.•圆锥的体积公式.其中表示圆柱的底面面积，其中表示圆锥的底面面积，表示圆柱的高.表示圆锥的高.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.学科.网〔1〕集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕≤≥≥〔2〕设变量，满足约束条件那么目标函数的最小值为≤≥≥〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕≥在中，假设，，，≥那么〔B〕〔C〕〔D〕阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出的值为〔B〕〔C〕〔D〕设是首项为正数的等比数列，学科&网公比为，那么“〞是“对任意的正整数，〞的充要条件〔B〕充分而不必要条件〔C〕必要而不充分条件〔第4题图〕〔〔第4题图〕〔6〕双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，学科&网四边形的面积为，那么双曲线的方程为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，那么的值为〔B〕〔C〕〔D〕≥〔8〕函数〔，学.科网且〕在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，那么的取值范围是≥〔B〕〔C〕{} 〔D〕{}绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学〔理工类〕第二卷本卷须知：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二．填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.〔9〕，R，是虚数单位，假设，那么的值为_____________.〔10〕的展开式中的系数为_____________.〔用数字作答〕正视图侧视图俯视图〔第正视图侧视图俯视图〔第11题图〕锥的三视图如下列图〔单位：〕，学科.网那么该四棱锥的体积为_____________.如图，是圆的直径，弦与相交于点，，，那么线段的长为_____________.是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.假设实数满足，那么的取值范围是_____________.〔第14题图〕设抛物线〔为参数，〕的焦〔第14题图〕点，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.假设，且的面积为，那么的值为_____________.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔15〕〔本小题总分值13分〕函数.〔Ⅰ〕求的定义域与最小正周期；〔Ⅱ〕讨论在区间上的单调性.〔本小题总分值13分〕某小组共人，利用假期参加义工活动.参加义工活动次数为，，的人数分别为，，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.〔Ⅰ〕设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为〞，求事件发生的概率；〔Ⅱ〕设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.〔本小题总分值13分〕如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.〔Ⅰ〕求证：∥平面；〔Ⅱ〕求二面角的正弦值；〔Ⅲ〕设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值.〔本小题总分值13分〕是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为.对任意的，是和的等比中项.〔Ⅰ〕设，，求证：数列是等差数列；〔Ⅱ〕设，，，求证.〔本小题总分值14分〕设椭圆的右焦点为，右顶点为.，其中为原点，为椭圆的离心率.学.科.网〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设过点的直线与椭圆交于点〔不在轴上〕，垂直于的直线与交于点，与轴交于点.假设，且≤，求直线的斜率的取值范围.〔本小题总分值14分〕设函数，R，其中，R.〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕假设存在极值点，且，其中，求证：；〔Ⅲ〕设，函数，求证：在区间上的最大值不小于2023年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔理工类〕一、选择题：〔1〕【答案】D〔2〕【答案】B〔3〕【答案】A〔4〕【答案】B〔5〕【答案】C〔6〕【答案】D〔7〕【答案】B〔8〕【答案】C第二卷二、填空题：〔9〕【答案】2〔10〕【答案】〔11〕【答案】2〔12〕【答案】〔13〕【答案】(14)【答案】三、解答题〔15〕【答案】〔Ⅰ〕，〔Ⅱ〕在区间上单调递增,学科&网在区间上单调递减.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为根本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期根据〔1〕的结论，研究三角函数在区间[]上单调性试题解析：解：的定义域为..所以,的最小正周期解：令函数的单调递增区间是由,得设，易知.所以,当学.科网时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【结束】(16)【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕详见解析【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先确定从这10人中随机选出2人的根本领件种数：，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含根本领件数：，最后根据概率公式求概率〔Ⅱ〕先确定随机变量可能取值为学.科网再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望试题解析：解：由，有所以，事件发生的概率为.随机变量的所有可能取值为，，.所以，随机变量学.科网分布列为随机变量的数学期望.考点：概率，概率分布与数学期望【结束】(17)【答案】〔Ⅰ〕详见解析〔Ⅱ〕〔Ⅲ〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证〔Ⅱ〕利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值〔Ⅲ〕利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.〔I〕证明：依题意，.设为平面的法向量，那么，即.不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.〔II〕解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，那么，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.〔III〕解：由，学.科网得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.考点：利用空间向量解决立体几何问题【结束】(18)【答案】〔Ⅰ〕详见解析〔Ⅱ〕详见解析【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先根据等比中项定义得：，从而，因此根据等差数列定义可证：〔Ⅱ〕对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.试题解析：〔I〕证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.〔II〕证明：所以.考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【结束】〔19〕【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，〔Ⅱ〕先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围试题解析：〔1〕解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.〔2〕〔Ⅱ〕解：设直线的斜率为〔〕，那么直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由〔Ⅰ〕知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.考点：学.科网椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【结束】〔20〕【答案】〔Ⅰ〕详见解析〔Ⅱ〕详见解析〔Ⅲ〕详见解析【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：=1\*GB3①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.=2\*GB3②当时，存在三个单调区间〔Ⅱ〕由题意得，计算可得再由及单调性可得结论〔Ⅲ〕实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究=1\*GB3①当时，，=2\*GB3②当时，，③当时，.试题解析：〔Ⅰ〕解：由，可得.下面分两种情况讨论：〔1〕当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.〔2〕当时，令，解得，或.当变化时，，的变化情况如下表：＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.〔Ⅱ〕证明：因为存在极值点，所以由〔Ⅰ〕知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及〔Ⅰ〕知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；〔Ⅲ〕