吉林省长春市天合中学2021年高三数学文期末试卷含解析

吉林省长春市天合中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若正实数x，y满足（2xy﹣1）2=（5y+2）?（y﹣2），则的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】根据（2xy﹣1）2=（5y+2）?（y﹣2），两边构成平方公式，化简找出x，y的关系，构造基本不等式的性质求解．【解答】解：由（2xy﹣1）2=（5y+2）?（y﹣2），可得（2xy﹣1）2=9y2﹣（2y+2）2，即（2xy﹣1）2+（2y+2）2=9y2得：=9，得：=即得那么：≤．∴的最大值为．故选：A．2.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A． B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，|MF|=x0+．利用圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，可得|MA|=2（x0﹣），利用=2，求出x0，p，即可求出|AF|．【解答】解：由题意，|MF|=x0+．∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，∴|MA|=2（x0﹣），∵=2，∴|MF|=|MA|，∴x0=p，∴2p2=8，∴p=2，∴|AF|=1．故选B．【点评】本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．3.若函数的定义域为［1，8］，则函数的定文域为A．(0,3)

B．[1,3)∪(3,8]

C．[1,3)

D．[0,3)参考答案：D4.已知等差数列{an}前四项中第二项为606，前四项和Sn为2600，则第4项为(

)A．707 B．782 C．870 D．990参考答案：B【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得S3的值，而a4=S4﹣S3，代值计算可得．【解答】解：由题意可得a2=606，S4=2600，∴S3=a1+a2+a3=3a2=1818∴a4=S4﹣S3=2600﹣1818=782，故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5.设，则的大小关系为(

)A. B. C. D.参考答案：A6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，a4=24，则S6=（）A．93 B．189 C．99 D．195参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1=3，a4=24，∴24=3q3，解得q=2．则S6==189．故选：B．7.设函数f（x）=ln（e+x）+ln（e﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，e）上是增函数 B．奇函数，且在（0，e）上是减函数C．偶函数，且在（0，e）上是增函数 D．偶函数，且在（0，e）上是减函数参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】确定函数的奇偶性、单调性，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=ln（e﹣x）+ln（e+x）=f（x），函数是偶函数，在（0，e）上，f′（x）=﹣=＜0，函数单调递减，故选D．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8.已知离心率为的双曲线，其右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C抛物线的焦点坐标为（4，0），

由已知得双曲线的右焦点为（4，0），半焦距，且，，，双曲线的离心率，因此故选择C。9.（5分）设{an}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10B．﹣5C．0D．5参考答案：C【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0．

解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，∴．故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．10.若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．﹣1 D．3参考答案：B【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：由z=x﹣2y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由得A（2，2），代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣4=﹣2．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（x∈R）的最小正周期是．参考答案：π考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：把函数解析式利用单项式乘以多项式的法则计算，然后分别利用二倍角的正弦及余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期．解答：解：f（x）=cosx（sinx+cosx）=cosxsinx+cos2x=sin2x+（cos2x+1）=sin（2x+）+，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．12.有以下4个条件：①=；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中∥的充分不必要条件有

．（填正确的序号）．参考答案：①③【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平行向量与共线向量．【分析】根据共线向量的定义判断即可．【解答】解：若①=；则∥，但反之不一定成立，若③与的方向相反；则∥，但反之不一定成立，由此知①③为∥的充分不必要条件；故答案为：①③．13.已知：，则的取值范围是_______参考答案：由得，，易得，故，.14.已知为等差数列，若，则的值为________.参考答案：略15.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为．参考答案：15+【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得该几何体为以正视图为底面的棱柱，棱柱的高为1，进而根据柱体的表面积公式得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体为：以正视图为底面的棱柱；高为1，∴几何体的表面积为：2（1+1+1+）+（8+）=15+．故答案为：15+．【点评】本题考查的知识点为：由三视图求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．16.已知实数满足不等式组，那么的最小值为

．参考答案：略17.四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D在BC的正上方时S△DBC面积最大，A为BC的正下方时S△ABC面积最大，设BC为2x，可求DH=，S四边形ABCD=x2+x，设x=sinθ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S四边形=[1+sin（2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D在以BC为焦点的椭圆上运动，A在以BC为直径的圆上运动，∴当D在BC的正上方时S△DBC面积最大，A为BC的正下方时S△ABC面积最大，此时，设BC为2x，则DH=，∴S四边形ABCD=S△BCD+SABC=x+=x2+x，设x=sinθ，则=cosθ，∴S四边形=sin2θ+sinθcosθ=（2sin2θ+2sinθcosθ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）=[1+sin（2θ﹣）]，∴当sin（2θ﹣）=1时，即θ=时，S四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在内，分别为角所对的边，成等差数列，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值。参考答案：解（Ⅰ）因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,

……2分

又，可得，

…………4分

所以，………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），，所以，

……8分因为所以，……10分得，即.……………12分

略19.2019年是扶贫的关键年，作为产业扶贫的电商扶贫将会迎来更多的政策或扶持．京东、阿里、拼多多、抖音、苏宁等互联网公司都纷纷加入电商扶贫．城乡各地区都展开农村电商培训，如对电商团队、物流企业、返乡创业群体、普通农户等进行培训．某部门组织A、B两个调查小组在开展电商培训之前先进行问卷调查，从获取的有效问卷中，针对25至55岁的人群，接比例随机抽取400份，进行数据统计，具体情况如下表：

A组统计结果B组统计结果

参加电商培训不参加电商培训参加电商培训不参加电商培训[25,35)50254520[35,45)35433032[45,55)20602020

（1）先用分层抽样的方法从400人中按“年龄是否达到45岁”抽出一个容量为80的样本，将“年龄达到45岁”的被抽个体分配到“参加电商培训”和“不参加电商培训”中去。①这80人中“年龄达到45岁且参加电商培训”的人数；②调查组从所抽取的“年龄达到45岁且参加电商培训”的人员中抽取3人，安排进入抖音公司参观学习，求这3人恰好是A组的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“参加电商培训与年龄（记作m岁）有关”的结论．请列出2×2列联表，用独立性检验的方法，通过比较K2的观测值的大小，判断年龄取35岁还是45岁时犯错误的概率哪一个更小？（参考公式：，其中）参考答案：（1）8（2）①见解析②【分析】（1）①由分层抽样可得；②“参加培训年龄达到45岁”的A组4人，B组4人，可得分布列和期望；（2）分别做出35岁和45岁的列联表，根据公式计算两者的概率k，比较概率大小，即可得出结论。【详解】解：（1）①.400人中抽取80人，其中年龄达到45岁且参加培训的有人，②.抽取的A组人年龄达到45岁参加培训的有4人，所以抽取的3人中A组人数X的可能取值为0，1，2，3，，，所以X的分布列为：X0123P

（2）按年龄是否达到35岁，整理数据得到如下列联表：

参加电商培训不参加电商培训合计未达到35岁9545140达到35岁105155260合计200200400

所以时，的观测值按年龄是否达到45岁，整理数据得到如下列联表：

参加电商培训不参加电商培训合计未达到45岁160120280达到45岁4080120合计200200400

所以时，的观测值因为，欲使犯错误的概率尽可能小，取．【点睛】此题考查运用概率和数理统计知识解决实际问题的能力，覆盖了大量的知识点，是一道很好的综合题。20.（本小题满分13分）（1）求的单调区间；（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围．

参考答案：（1）f(x)的增区间为减区间为（2）

知识点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值解析：(1)

……………2分当时，增区间为，

…………4分当时，

则f(x)的增区间为减区间为

……6分（2），设

……7分

若在上不单调，则，

………9分

同时仅在处取得最大值，所以只要

即可得出:,

……11分

则的范围：.

……………13分【思路点拨】（1）可求得，对参数分与讨论，即可得到f′（x）的符号，从而可求得f（x）的单调区间；（2）可求得，设，利用在上不单调，可得，从而可求得，再利用条件仅在处取得最大值，可求得，两者联立即可求得的范围．

21.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此