四川省成都市北京师范大学实验中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

四川省成都市北京师范大学实验中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.实数x，y满足条件，则2x﹣y的最小值为（）A．16 B．4 C．1 D．参考答案：D【考点】简单线性规划的应用．

【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】画出可行域，先求x﹣y的最小值，再求2x﹣y的最小值．【解答】解；画出可行域令z=x﹣y，则可变形为y=x﹣z，作出对应的直线，将直线平移至点（4，0）时，直线纵截距最小，z最大；平移至点（0，1）时，直线纵截距最大，z最小将（0，1）代入z=x﹣y得到z的最小值为﹣1∴2x﹣y的最小值为故选D．【点评】本题是线性规划问题．画出不等式组的可行域、将目标函数赋予几何意义、数形结合求出目标函数的最值．2.若直线与曲线相切，则实数m为A、－4或6B、－6或4C、－1或9D、－9或1参考答案：A3.已知角α是第四象限角，cosα＝，则sinα＝(

)A．

B．－

C．

D．－参考答案：B略4.若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知可得sinα＞0，cosα＜0，利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简已知可得cosα+sinα=，两边平方，利用二倍角公式即可计算sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了二倍角公式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.已知集合，集合，则AB=（

） A．（）

B．

C．[]

D．参考答案：D略6.在等差数列中，，公差，则A．14

B．15

C．16

D．17参考答案：D7.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“相等”是“总相等”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】由题“总相等”一定能推出“相等”，反之举反例即可【详解】由祖暅原理知：“总相等”一定能推出“相等”，反之：若两个同样的圆锥，一个倒放，一个正放，则体积相同，截面面积不一定相同故选：B8.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣3）=﹣f（x），在区间上是增函数，且函数y=f（x﹣3）为奇函数，则（）A．f（﹣31）＜f（84）＜f（13） B．f（84）＜f（13）＜f（﹣31） C．f（13）＜f（84）＜f（﹣31） D．f（﹣31）＜f（13）＜f（84）参考答案：A【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由f（x﹣3）=﹣f（x）分析可得f（x﹣6）=﹣f（x﹣3）=f（x），则函数f（x）为周期为6的周期函数，由函数y=f（x﹣3）为奇函数，分析可得f（x）=f（﹣6﹣x），结合函数的周期性可得有f（x）=﹣f（﹣x），函数f（x）为奇函数；结合函数在上是增函数分析可得函数f（x）在[﹣，]上为增函数；进而分析可得f（84）=f（14×6+0）=f（0），f（﹣31）=f（﹣1﹣5×6）=f（﹣1），f（13）=f（1+2×6）=f（1），结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x﹣3）=﹣f（x），则有f（x﹣6）=﹣f（x﹣3）=f（x），则函数f（x）为周期为6的周期函数，若函数y=f（x﹣3）为奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣3，0）成中心对称，则有f（x）=f（﹣6﹣x），又由函数的周期为6，则有f（x）=﹣f（﹣x），函数f（x）为奇函数；又由函数在区间上是增函数，则函数f（x）在[﹣，]上为增函数，f（84）=f（14×6+0）=f（0），f（﹣31）=f（﹣1﹣5×6）=f（﹣1），f（13）=f（1+2×6）=f（1），则有f（﹣1）＜f（0）＜f（1），即f（﹣31）＜f（84）＜f（13）；故选：A．9.的值为（

）A.-2

B.–l

C.

D.1参考答案：A略10.已知，其中是实数，是虚数单位，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.已知，，且，则a=______.参考答案：2【分析】利用正弦定理角化边公式化简，再运用余弦定理得出，即可求出.【详解】因为，所以，又，，所以，所以，则，解得.故答案为：2.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.12.将正奇数按如下规律填在5列的数表中：则2007排在该表的第

行，第

列（行是从上往下数，列是从左往右数）参考答案：第251行第5列13.已知双曲线，F为右焦点，右准线与一条渐近线的交点为P，且|OP|、|PF|、|OF|成等差数列，则双曲线的离心率

.参考答案：答案:

14.（理）

参考答案：略15.（文）求和：=

.（）参考答案：因为，即。16.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是．参考答案：5考点： 点到直线的距离公式．专题： 直线与圆．分析： 先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值．解答： 解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|?|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评： 本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题17.若对任意有唯一确定的与之对应，称为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数x、y的广义“距离”：（1）非负性：，当且仅当时取等号；（2）对称性：；（3）三角形不等式：对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数：①②③；④.能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的所有序号是___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）试问过点可作多少条直线与曲线相切?请说明理由参考答案：(Ⅰ)①若,则,在上单调递增;

②若,当时,,函数在区间上单调递减,当时,,函数在区间上单调递增,

………5分(Ⅱ)设过点的直线与曲线相切与点（），，

………9分令，由(Ⅰ)得时，在上单调递减,上单调递增，，所以与轴有两个交点，所以过点可作2条直线与曲线相切。………12分19.已知数列{an}满足a1=1，an+1=，其中n∈N*，λ，μ为非零常数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{an}的前n项和Sn构成数列{Sn}，从{Sn}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】（1）λ=3，μ=8时，an+1==3an+2，化为：an+1+1=3（an+1），即可证明．（2）①设an=a1+（n﹣1）d=dn﹣d+1．由an+1=，可得：an+1（an+2）=+4，（dn﹣d+3）（dn+1）=λ（dn﹣d+1）2+μ（dn﹣d+1）+4，令n=1，2，3，解出即可得出．．②由①可得：Sn==n2．设存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S1，S2x+1，S2y+1，S2z是满足条件的四项，则1+（2x+1）2+（2y+1）2+（2z）2=2017，化为2（x2+x+y2+y+z2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S1，S2x，S2y，S2z是满足条件的四项，则1+（2x）2+（2y）2+（2z）2=2017，化为x2+y2+z2=504．由504为偶数，x，y，z中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i）若x，y，z中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x1，y=2y1+1，z=2z1+1，则2=251，矛盾．（ii）若x，y，z均为偶数，不妨设x=2x1，y=2y1，z=2z1，则++=126，则x1，y1，z1中有两个奇数一个偶数．不妨设x1=2x2，y1=2y2+1，z1=2z2+1，则=31．依此类推分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：λ=3，μ=8时，an+1==3an+2，化为：an+1+1=3（an+1），∴：{an+1}为等比数列，首项为2，公比为3．∴an+1=2×3n﹣1，可得：an=2×3n﹣1﹣1．（2）解：①设an=a1+（n﹣1）d=dn﹣d+1．由an+1=，可得：an+1（an+2）=+4，∴（dn﹣d+3）（dn+1）=λ（dn﹣d+1）2+μ（dn﹣d+1）+4，令n=1，2，3，解得：λ=1，μ=4，d=2．经过检验满足题意，可得：λ=1，μ=4，an=2n﹣1．②由①可得：Sn==n2．设存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S1，S2x+1，S2y+1，S2z是满足条件的四项，则1+（2x+1）2+（2y+1）2+（2z）2=2017，化为2（x2+x+y2+y+z2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S1，S2x，S2y，S2z是满足条件的四项，则1+（2x）2+（2y）2+（2z）2=2017，化为x2+y2+z2=504．由504为偶数，x，y，z中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i）若x，y，z中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x1，y=2y1+1，z=2z1+1，则2=251，矛盾．（ii）若x，y，z均为偶数，不妨设x=2x1，y=2y1，z=2z1，则++=126，则x1，y1，z1中有两个奇数一个偶数．不妨设x1=2x2，y1=2y2+1，z1=2z2+1，则=31．∵y2（y2+1），z2（z2+1）均为偶数，∴x2为奇数．不妨设0≤y2≤z2．当x2=1时，则+y2++z2=30，+y2≤14，检验可得：y2=0，z2=5，x2=1．当x2=3时，则+y2++z2=22，+y2≤10，检验可得：y2=1，z2=4，x2=3．当x2=5时，则+y2++z2=6，+y2≤2，检验可得：y2=0，z2=2，x2=5．即{S1，S4，S8，S44}，{S1，S12，S24，S36}，{S1，S4，S20，S40}为全部满足条件的四元子列．20.已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,若在区间上的最小值为-2,求的取值范围;(3)若对任意,且恒成立,求的取值范围.参考答案：解:(Ⅰ)当时,

因为.

所以切线方程是

(Ⅱ)函数的定义域是

当时,令,即,

所以或

ks5u当,即时,在[1,e]上单调递增,所以在[1,e]上的最小值是;ks5u当时,在[1,e]上的最小值是,不合题意;当时,在(1,e)上单调递减,

所以在[1,e]上的最小值是,不合题意

(Ⅲ)设,则,只要在上单调递增即可

而当时,,此时在上单调