变量与函数的概念

变量与函数的概念第一页，共三十一页，2022年，8月28日1、知识目标：（1）理解用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域、值域.学习目标第二页，共三十一页，2022年，8月28日2、能力目标：按照从特殊到一般的认识规律,从背景实例入手，在体会两个变量之间的依赖关系的基础上，能够运用集合与对应的语言刻画函数概念.

3、情感目标：理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性.第三页，共三十一页，2022年，8月28日北京时间2010年10月1日18时59分57秒，万众瞩目的“嫦娥二号”探月卫星在西昌卫星发射中心成功发射升空，开始了月球之旅，在嫦娥二号飞行期间，我们时刻关注着它离我们的距离y随时间t是如何变化的，本节课我们就是从函数的角度来研究这种对应关系的.引入新课第四页，共三十一页，2022年，8月28日探究1.初中是怎样对变量和函数进行定义的?解答:初中函数和变量的概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.说明:用变量的观点来描述函数，可以形象生动地描述事物的变化规律，但有一定的局限性.下面我们通过几个例子对函数关系作进一步的分析，以便引入更为确切的语言来表达函数概念：第五页，共三十一页，2022年，8月28日（1）在研究学生好奇心指标随年龄增长的变化规律时，通过某次实验得到的数据如图所示.101112131415403020x(年龄：岁)y（指标）在这个图象中，给定10～15岁的每一个年龄（以岁为单位），就对应一个好奇心指标.你能从这个图象中了解到哪些信息？实例探究第六页，共三十一页，2022年，8月28日yxO2468101214161820222426283032

20018016014012010080604020株高cm生长阶段（2）农业科学家研究玉米的生长过程，把生产过程分为32个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图所示.在玉米生长的32个时间段内：给定生长过程中的某个时间段，就可以从这张图中查到与这个时间段相对应的玉米植株的高度.第七页，共三十一页，2022年，8月28日年份

生产总值（亿元）1998783451999820672000894422001959332002102398(3)下表展示了我国从1998年到2002年，每一年的国内生产总值.这张表显示了国内生产总值是年份的函数.给定1998到2002年中的任一年，可在表中查到当年的国内生产总值.第八页，共三十一页，2022年，8月28日AV(4)电路中的电压U=220V，电流I与电阻R之间的变化规律，用欧姆定律表示，即这个公式表明，在电路中，电压（U）不变，电流（I）与电阻（R）的变化成反比例关系，只要测出电路中的电阻值，就可由上述公式计算出唯一的电流值.第九页，共三十一页，2022年，8月28日探究2：以上四个实例有什么共同点？(2)两个数集间都有一种确定的对应关系；按照某种对应关系(3)对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定的数和它对应.解答：(1)都涉及两个非空数集A，B；第十页，共三十一页，2022年，8月28日探究3：你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？解答：从对应角度给函数下一个新的定义:设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作第十一页，共三十一页，2022年，8月28日其中x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域.

所有函数值构成的集合

叫做这个函数的值域.如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作第十二页，共三十一页，2022年，8月28日

特别提示：1.集合A中元素x有任意性，

数y具有唯一确定性.2.函数的三要素：定义域、对应法则和值域.定义域在研究函数问题时要优先考虑，而对应法则是函数的核心，值域是由定义域与对应法则共同决定的.第十三页，共三十一页，2022年，8月28日(1)定义域和对应法则是否给出；(2)根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.3.因为函数的值域被定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则.根据以上定义，我们得出检验给定两个变量之间是否具有函数关系的方法：第十四页，共三十一页，2022年，8月28日探究4：函数的定义域和值域都是“数集”，在以后研究函数问题时，需要经常表示这些“数集”，那么除了集合，是否还有更为简单的表示它们的方法呢？解答：函数的定义域和值域通常用区间表示，下面介绍区间的概念：第十五页，共三十一页，2022年，8月28日设a，b∈R，且a<b,我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，记作为[a，b];满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，记作为(a，b);满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，记作为[a，b）或（a，b].第十六页，共三十一页，2022年，8月28日说明：

①对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点；②引入区间概念后，以实数为元素的集合就有以下表示方法：集合表示法：{x|3<x<7}；区间表示法：(3,7)；Venn图法.第十七页，共三十一页，2022年，8月28日③在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点

.第十八页，共三十一页，2022年，8月28日④实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.因此，还可以把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别记作:[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b).第十九页，共三十一页，2022年，8月28日探究5：对于初中我们学过的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？请填写下表.第二十页，共三十一页，2022年，8月28日函数对应法则定义域值域正比例函数反比例函数一次函数二次函数RRRRR第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日例1、与函数y=x

相同的函数是（）分析：先看定义域是否相同，再看化简后的解析式是否相同，两者都相同时就为相同的函数.C第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日解：A中化简之后变为y=|x|,B中定义域为x≠0,D中定义域为x≥0,只有Ｃ化简之后为y=x,且x∈R,故选Ｃ.第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日变式训练：判断下列图象能表示函数图象的是（）xy0(A)xy0(B)xy0(D)xy0(C)D第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日例2：把下列x的范围用区间表示出来：（1）-1<x<2(-1,2)[-1,3][-2,4)(-5,1]第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日例3求函数的定义域.解：要使已知函数有意义，当且仅当.所以，这个函数的定义域是满足的所有实数，即第二十六页，共三十一页，2022年，8月28日技巧点拨：（1）定义域在研究函数问题时，要优先考虑，也就是要树立“定义域优先”的解题法则;(2)在函数关系的表述中，函数定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.第二十七页，共三十一页，2022年，8月28日例如：函数没有指出它的定义域，则它的定义域是满足且的全体实数，即函数定义域为：（3）在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约.第二十八页，共三十一页，2022年，8月28日解：

容易看出，这个函数当时，函数取得最大值1,当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于0，但永远不会等于0.于是可知这个函数的值域为集合例4求函数在处的函数值和值域.第二十九页，共三十一页，2022年，8月28日分析：（1）函数即,表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值，与我们选择什么符号表达自变量没有关系.函数…

都表示同一个函数关系.同样自变量换为一个代数式，如x-1,平方后对应的函数值就是.这里表示自变量变换后得到的新函数.(2)为了找出函数的对应法则，我们需要用来表示.例5（1）已知函数(2)已知函数