四川省雅安市八步中学2021年高三数学理联考试题含解析

四川省雅安市八步中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】模拟方法估计概率．【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，然后分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求．【解答】解：由题意，直角三角形，斜边长为17，由等面积，可得内切圆半径r==3，∴向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是=，故选C．2.大致的图像是（

）A．B．C．D．参考答案：C试题分析：由，∴为偶函数，故可排除B；当时，，即，则排除A、D；故选C.考点：函数的图象.3.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+2 B．20+2 C．18+2 D．18+2参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中后面的侧面与底面垂直．利用三角形与矩形面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中后面的侧面与底面垂直．∴该几何体的表面积=4×2+2×+×4+=2+18，故选：D．4.若集合＝，＝，则等于A．

B．C．

D．参考答案：C5.下列函数中，奇函数是A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数奇偶性的判断．B4D

解析：A：定义域为R，图象不关于原点对称，是非奇非偶函数；B：的定义域是{x|x＞0}，是非奇非偶函数；C．是非奇非偶函数．D．定义域为R,且满足，是奇函数，故选D.【思路点拨】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．6.（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（）A.

B.

C.

D.参考答案：A

所以选A。3.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.【答案】【解析】7.复数(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B，选B.8.设，则的大小关系是

A.

B.

C.

D.参考答案：D，所以根据幂函数的性质知，而，所以，选D.9.函数的部分图象大致为

A

B

C

D参考答案：A10.四面体A-BCD中，，，，则四面体A-BCD外接球的表面积为（

）A.50π

B.100π

C.150π

D.200π参考答案：A由题意可采用割补法，考虑到四面体的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面，且分别以为长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为的长方体，并且，设球半径为，则有，∴，∴球的表面积为．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列满足公差,,且数列中任意两项之和也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_________________.参考答案：364略12.下列说法：①“若，则是锐角三角形”是真命题；

②“若，则”的逆命题为真命题；③；④函数的最小正周期是；⑤在△ABC中，是的充要条件；

其中错误的是 ．

参考答案：②③④13.已知函数，若且，则的取值范围_____.

参考答案：略14.在直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点，若极坐标方程为的曲线与直线（为参数）相交于、两点，则

。参考答案：2；15.在中，，，，则

．参考答案：16.在中，内角的对边分别是，若，，则=

参考答案：30°17.如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，=，=，=，则?（﹣）=

．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用正六边形的性质和数量积的性质即可得出．【解答】解：由正六边形的性质和数量积的性质可得=1×1×cos60°=，==．∴?（﹣）===﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了正六边形的性质和数量积的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．参考答案：考点：圆的切线方程；与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（I）连接OD，△AOD是等腰三角形，结合，∠BAC的平分线AD，得到OD∥AE可得结论．（II）过D作DH⊥AB于H，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，由△AED≌△AHD和△AEF∽△DOF推出结果．解答： （I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE又AE⊥DE∴DE⊥OD，又OD为半径∴DE是的⊙O切线

（II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x又由△AEF∽△DOF可得∴点评：本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．19.设是数的任意一个全排列，定义，其中.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的最大值；（Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数.参考答案：解：（Ⅰ）.

……3分（Ⅱ）数的倍与倍分别如下：其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所以.对于排列，此时，所以的最大值为.……………8分（Ⅲ）由于数所产生的个数都是较小的数，而数所产生的个数都是较大的数，所以使取最大值的排列中，必须保证数互不相邻，数也互不相邻；而数和既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.设，并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○其中任意填入个□中，有种不同的填法；任意填入个圆圈○中，共有种不同的填法；填入个△之一中，有种不同的填法；填入个△中，且当与在同一个△时，既可以在之前又可在之后，共有种不同的填法，所以当时，使达到最大值的所有排列的个数为，由轮换性知，使达到最大值的所有排列的个数为.……………13分

略20.如图，在四棱锥O—ABCD中，AD//BC，AB＝AD＝2BC，OB＝OD，M是OD的中点．（1）求证：MC//平面OAB；（2）求证：BD⊥OA．参考答案：证明：（1）设N是OA的中点，连结MN，NB．因为M是OD的中点，所以MN//AD，且2MN＝AD．……2分又AD//BC，AD＝2BC，所以四边形BCMN是平行四边形，从而MC//NB．…………4分又MC平面OAB，NB平面OAB，所以MC//平面OAB；…………7分（2）设H是BD的中点，连结AH，OH．因为AB＝AD，所以AH⊥BD．又因为OB＝OD，所以OH⊥BD．……………9分因为AH平面OAH，OH平面OAH，AH∩OH＝H，所以BD⊥平面OAH．………………………12分因为OA平面OAH，所以BD⊥OA．……………………14分21.已知函数，，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在