公共课数值计算教案

《计算方法》教案

课题1：§1.1数值分析研究对象与特点§1.2数值计算的误差§1.3误差定性分析与避免误差危害一、教学目的掌握以下内容：绝对误差、误差限、相对误差和有效数字的概念。能确定具体实数的有效数字位数。懂得推导相对误差与有效数字的相互关系。能够推导算术运算中绝对误差限与相对误差限的估计式。二、教学重点绝对误差、误差限、相对误差和有效数字的概念，熟悉相对误差和有效数字的关系。三、教学难点相对误差和有效数字的关系四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具六、教学过程：介绍课程的重要性、课程的安排（约5分钟）介绍计算方法发展的历史（约10分钟）计算机数值方法的研究对象与特点（约5分钟）数值问题与数值算法的基本概念（约10分钟）误差的种类及来源（约10分钟）误差和误差限的概念及计算方法（约20分钟）有效数字的计算（约20分钟）数值运算的误差估计（约10分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：234课题2：§2.1二分法§2.2迭代法一、教学目的：懂得如何隔离方程的根。懂得用二分法求方程的根。熟悉二分法的优缺点。了解迭代法的基本思想。掌握迭代法收敛与发散的定义。懂得迭代法收敛的一个充分条件。二、教学重点：懂得根的隔离与二分法求方程的根的过程将方程的一般形式化为迭代格式、迭代法收敛性的一个定理三、教学难点：二分法的计算误差、理解不同的迭代格式具有不同的收敛性四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。六、教学过程：回顾上堂课内容。（约5分钟）简介新的一章方程求根所要解决的主要问题。（约5分钟）复习连续函数的性质，介绍二分法的基本思想。（约15分钟）介绍二分法的求解过程。（约5分钟）推导第二分法第k步产生的误差，及如何根据给定的误差计算二分次数。（约10分钟）分析二分法适用的条件，及优缺点（如收敛速度慢等）（约10分钟）通过例子，介绍迭代法的基本思想。（约10分钟）演示例题，给出迭代法收敛以及发散的定义。（约10分钟）分析例题，说明同一方程式用不同的迭代格式，具有不同的收敛性结果。（约10分钟）证明关于迭代函数收敛的一个充分条件的定理（约10分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：139课题3：§2.3迭代法的收敛性一、教学目的：能够推导并证明迭代法局部收敛的条件。了解迭代法收敛阶数的定义。掌握掌握求收敛阶数的方法。二、教学重点：迭代法的收敛性条件，判定收敛的阶数三、教学难点：迭代法的收敛性条件、迭代法局部与全局收敛的条件四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。六、教学过程：0、回顾上堂课内容。（约5分钟）讲解作业。（约15分钟）引导学生思考什么形式的迭代法能够收敛呢?（约5分钟）进一步推广上堂课的定理，给出局部收敛性的定义（约10分钟）讲解例题，巩固上述知识点（约10分钟）定义收敛的阶数，重点分析一阶和二阶收敛。（约15分钟）回顾泰勒展开式，介绍如何确定收敛的阶数的方法。（约15分钟）例题分析。（约10分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：68课题4：§2.4牛顿迭代法一、教学目的：熟悉牛顿法和近似牛顿法的具体迭代格式以及证明其收敛性。掌握牛顿法的收敛阶数。能够利用牛顿法解方程。二、教学重点：牛顿法的迭代格式、牛顿法的收敛阶数三、教学难点：牛顿法的收敛阶数、牛顿法的特点四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。六、教学过程：0、回顾上堂课内容。（约5分钟）讲解作业。（约10分钟）推导牛顿法的迭代格式（约15分钟）用图示说明牛顿法的几何原理。（约10分钟）4、举例说明用Newton迭代法求方程根的过程。（约10分钟）分析牛顿法的局部收敛性，及收敛阶数，重点说明单根和重根的不同情况。（约20分钟）分析牛顿法的特点，提醒学生注意收敛性依赖于初值的选取。（约5分钟）讲解例题：如何利用牛顿法求一个数的平方根。（约10分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：1314课题5：§3.1高斯消去法一、教学目的：掌握应用高斯消去法求解线性方程组了解高斯消元无需换行即可进行的充要条件了解列主元消去法了解全主元消去法二、教学重点：高斯消去法、列主元消去法、主元消去法三、教学难点：顺序主子式、高斯消元无需换行即可进行到底的充要条件四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。六、教学过程：0、回顾上堂课内容。（约5分钟）介绍消去法、消元与回代计算，。（约10分钟）通过实例介绍高斯消去法的过程。（约10分钟）引入顺序主子式定义。（约10分钟）根据顺序主子式的性质，分析高斯消元无需换行即可进行到底的充要条件。（约15分钟）5、进一步分析上述条件不满足时高斯消去法的过程。简要分析Gauss消去法的运算量（约20分钟）通过实例说明小主元可能导致计算失败。进一步介绍全主元消去法的概念，和计算中的注意事项。（约10分钟）介绍列主元消去法，以及与全主元消去法的异同（如没有全主元法稳定）（约5分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：1课题6：§3.2三角分解法一、教学目的：掌握矩阵的三角分解并能给出计算公式。理解矩阵能进行三角分解的充要条件。能够推导求解三对角阵为系数矩阵的线性方程组的“追赶法”的“追”与“赶”的递推格式。掌握利用追赶法解系数矩阵为三对角阵的线性方程组。二、教学重点：三角分解的计算公式、追赶法三、教学难点：推导三角分解的计算公式、追赶法四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。六、教学过程：0、回顾上堂课内容，引入矩阵三角分解的方法；。（约5分钟）1、通过实例，分析不带行交换的Gauss消去法的消元过程，产生一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵❶引入矩阵三角分解的定义（约20分钟）2、讲解矩阵能进行三角分解的充要条件：A的所有顺序主子式均不为0。（约10分钟）3、分析将线性方程组系数矩阵分解后的求解思路。（约10分钟）4、介绍Doolittle和Crout分解的异同。（约5分钟）5、介绍LU分解的紧凑格式（约5分钟）通过实例，推导求解三对角阵为系数矩阵的线性方程组的“追赶法”的“追”与“赶”的递推格式。例题分析。（约20分钟）讨论追赶法可解以A为系数矩阵的方程组的一个充分条件（约10分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：4,8,10课题7：§3.3平方根法3.4范式一、教学目的：能够推导求解对称正定阵为系数矩阵的线性方程组的平方根法的计算公式。掌握向量与矩阵的范数；能够进行线性方程组的误差分析二、教学重点：平方根法的计算公式、矩阵的条件数三、教学难点：平方根法计算公式的推导、平方根法是数值稳定的四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。六、教学过程：0、回顾上堂课内容。简要说明，分解过程中，矩阵元素不会过分增大，算法保证稳定。（约5分钟）给出一个矩阵A称为正定阵的定义，回顾对称正定阵的几个重要性质（约10分钟）利用正定阵的性质的性质。推导求解对称正定阵为系数矩阵的线性方程组的平方根法的计算公式。（约15分钟）考虑改变分解方式，简要介绍平方根法是数值稳定的（约10分钟）定义向量的范数，以及向量的范数的三个基本性质。（约10分钟）定义矩阵范数，列举常用矩阵范数：介绍算子范数的概念，常用算子范数（约10分钟）通过回顾矩阵的特征根，引入谱半径的概念（约10分钟）线性方程组的误差分析，常数项与系数矩阵的扰动对方重组的影响。引入矩阵的条件数，与病态的概念。（约15分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：6,9,11,17,18,20课题8：§3.5概述§3.6线性方程组的迭代法§3.7迭代法的收敛性一、教学目的：了解引入迭代法的基本思想掌握迭代法收敛与发散的定义能够构造Jacobi迭代格式并进行求解线性方程组能够构造Gauss-Seidel迭代格式并进行求解线性方程组能够构造超松弛法迭代格式并进行求解线性方程组了解迭代格式收敛的充要条件了解迭代格式收敛性相关的结论。二、教学重点：迭代法收敛与发散的定义、Jacobi与Gauss-Seidel迭代格式逐次超松弛法、迭代格式收敛的充要条件三、教学难点：迭代法收敛与发散的定义、Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵对角占优阵、代格式收敛的充要条件、松弛因子四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。六、教学过程：0.回顾上堂课内容。（约5分钟）.讲解习题。（约10分钟）.通过实例引入迭代法的概念，以及迭代法收敛与发散的定义。（约15分钟）.介绍Jacobi迭代法，推导Jacobi迭代法的迭代矩阵。例题分析。（约20分钟）.介绍Gauss-Seidel迭代法，推导Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵。例题分析。（约20分钟）.通过具体实例，比较Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛速度。（约15分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：27课题9：§4.1引言§4.2拉格朗日插值一、教学目的掌握在近似计算中应该注意的一些原则。掌握并会运用插值多项式的存在唯一性定理。能够推导Lagrange插值多项式的表达式。二、教学重点推导Lagrange插值多项式的表达式。三、教学难点掌握并会运用插值多项式的存在唯一性定理。四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具六、教学过程：复习上节课的内容（约5分钟）讲评作业（约10分钟）据一个计算定积分的例子，用两种方法计算（约10分钟）由以上例子引入计算公式不同，计算效果也将不同（约10分钟）四则运算中的稳定性问题（约15分钟）提高算法效率问题（约5分钟）介绍插值问题的作用（约5分钟）推导线性插值和抛物插值的公式，引出基函数的概念（约15分钟）9、由低次插值引出n次插值的基函数公式，得出拉格朗日插值的公式（约10分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：23课题10：§4.2拉格朗日插值§4.3均差与牛顿插值公式一、教学目的能够推导Lagrange插值多项式的表达式及误差式。熟悉差商的定义及性质懂得推导Newton插值多项式的表达式及误差式。二、教学重点差商的定义及性质推导Newton插值多项式的表达式及误差式。三、教学难点推导Newton插值多项式的表达式及误差式。四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具六、教学过程：复习上节课的内容（约5分钟）作业讲评（约10分钟）介绍拉格朗日插值的缺点，引出均差（约5分钟）由插值多项式引出均差的定义（约10分钟）5、由一阶及二阶均差的定义引出k阶均差（约10分钟）均差的性质（约15分钟）由均差的定义引出牛顿插值多项式（约15分钟）讲解牛顿插值多项式的误差（约10分钟）拉格朗日插值与牛顿插值的比较（约5分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：1314课题11：§4.4分段低次插值§4.5三次样条插值一、教学目的懂得应用分段插值解决相关的函数逼近问题。二、教学重点懂得推导分段插值及具有不同边界条件的三次样条插值表达式。三、教学难点懂得推导分段插值及具有不同边界条件的三次样条插值表达式。四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具六、教学过程：复习上节课的内容（约5分钟）作业讲评（约10分钟）举例说明高次插值的病态性质：龙格现象（约5分钟）分段线性插值的构造（约15分钟）分段线性插值的误差估计（约15分钟）三次样条、三次样条函数、三次样条插值函数的定义（约10分钟）介绍在三次样条中三种不同的边界条件（约10分钟）由三对角方程组求得三次样条插值（约20分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：171819课题12：§4.6曲线拟合的最小二乘法一、教学目的掌握用最小二乘法对曲线进行拟合的方法二、教学重点最小二乘法的计算三、教学难点掌握用最小二乘法对曲线进行拟合的方法四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具六、教学过程：复习上节课的内容（约5分钟）作业讲评（约10分钟）介绍一般的最小二乘法的相关概念（约10分钟）4、讲解如何利用法方程求解S（x）（约10分钟）介绍基函数、基函数的内积等概念（约15分钟）举例一说明如何利用画图的方式辅助求解（约15分钟）举例二例三说明如何用最小二乘法对曲线进行拟合（约20分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：1113课题13：§5.1引言一、教学目的熟悉代数精度的概念，懂得验证一个具体求积公式的代数精度的阶。熟悉插值型求积公式的一般表示形式及特点。能够推导出梯形公式、矩形公式、Simpson公式的具体形式和误差余项表达式以及它们的代数精度的阶。二、教学重点推导具有不同边界条件的三次样条插值表达式插值型求积公式的一般表示形式及特点三、教学难点推导具有不同边界条件的三次样条插值表达式四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具六、教学过程：复习上节课的内容（约5分钟）作业讲评（约10分钟）介绍数值求积的必要性（约5分钟）10、给出代数精度的定义，并推导如何求出公式的代数精度（约10分钟）求积公式的收敛性与稳定性的判断（约10分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：1（1）（2）（3）,2（1）（2）课题14：§5.2牛顿-科特斯公式一、教学目的能够推导Newton-cotes公式。能计算几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项二、教学重点能够推导Newton-cotes公式。能计算几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项三、教学难点能够推导Newton-cotes公式。能计算几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具六、教学过程：复习上节课的内容（约5分钟）作业讲评（约10分钟）柯特斯系数的推导与计算（约15分钟）偶阶求积公式的代数精度（约20分钟）几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项：梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式（约20分钟）牛顿-柯特斯公式的稳定性（舍入误差）（约15分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：2（3）（4）（用辛普森公式计算），3，4课题15：§5.4复化求积公式5.4龙贝格求积公式一、教学目的懂得如何应用复化梯形公式、复化Simpson公式、复化cotes公式求解具体的定积分问题。掌握梯形法的递推化二、教学重点应用复化梯形公式、复化Simpson公式、复化cotes公式求解具体的定积分问题。三、教学难点应用复化梯形公式、复化Simpson公式、复化cotes公式求解具体的定积分问题。四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具六、教学过程：复习上节课的内容（约5分钟）作业讲评（约10分钟）复化求积公式的必要性（约10分钟）推导复化梯形公式（约10分钟）5、推导复化Simpson公式（约10分钟）6、推导复化cotes公式（约10分钟）7、复化求积公式的余项和收敛的阶（约15分钟）9、梯形法的递推化（约10分钟）七、课题小结：（约5分钟）八、作业：67课题16：§5.4龙贝格求积公式§4.5高斯求积公式一、教学目的能利用各种复化求积公式的递推化公式和误差余项推导出Romberg公式。熟悉Gauss求积公式的特点二、教学重点能利用各种复化求积公式的递推化公式和误差余项推导出Romberg公式。三、教学难点能利用各种复化求积公式的递推化公式和误差余项推导出Romberg公式。四、教学方法：利用黑板、CA