山东省临沂市沂水第二中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

山东省临沂市沂水第二中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若方程有五个不同的实数根，则a的取值范围是（

）A.(0,+∞) B. C.(－∞,0) D.(0,1)参考答案：B【分析】由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，作图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），得lnx0＝1，即f′（e），即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为yx，即所求a的取值范围为0，得解．【详解】设g（x）＝﹣f（﹣x），则y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于原点对称，方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，由图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），由f′（x），则y＝lnx的切线为y﹣lnx0（x﹣x0），又此直线过点（0，0），所以lnx0＝1，所以x0＝e，即f′（e），即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为yx，即所求a的取值范围为0，故选：B．【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题．2.若函数图像上的任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数中具有性质的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：选C对不等式表示区域理解，对常见函数图像的特征的考查.3.已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y﹣5，所以y=﹣2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，的=（2，1）?（x﹣2，y﹣1）=2x+y﹣5；∴y=﹣2x+5+z；∴5+z表示直线y=﹣2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点（2，2）带人直线y=﹣2x+5+z即得z=1．故选：D．4.等差数列的前m项的和是30，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是A．130

B．170

C．210

D．260参考答案：B5.已知函数的导函数，，则中最大的数是A．

B．

C．

D．参考答案：A

由于函数是可导函数且为单调递减函数，分别表示函数在点处切线的斜率，因为，，故分别表示函数图象上两点和两点连线的斜率，由函数图象可知一定有，四个数中最大的是，故选.6.角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．

D．参考答案：D【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式，进行计算即可．【解答】解：∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，∴tanθ=2；∴tan2θ==﹣，故选D．7.过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝5

B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5

D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20参考答案：A略8.已知命题，，则(

)A．,

B．,C．,≤

D．,≤参考答案：C9.已知函数的值为

（

）

A．10

B．C．D．20参考答案：C10.已知条件；条件，则是成立的（

）A．充分必要条件

B．充分不必要条件C．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为

.参考答案：略12.定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．参考答案：[﹣2，2]【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：当x≥0时，由f（x）=2x﹣4=0得x=2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．13.已知二项式展开式中含项的系数为160，则实数a的值为_____．参考答案：【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中含项的系数，再根据含项的系数为，求得的值．【详解】二项式展开式的通项公式为：令，解得：，可得展开中含项的系数为则实数：本题正确结果：

14.椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是______．参考答案：15.设是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号___▲____．参考答案：或

16.已知是奇函数，且，若，则

.参考答案：【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值．B4

B1【答案解析】-1

解析：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为﹣1【思路点拨】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案17.函数f（x）=的值域为．参考答案：[0，1）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于实数x，y，有，，求证:．参考答案：1）；（2）见解析．（1）根据题意可得恒成立，即，化简得，而是恒成立的，所以，解得；·········································5分（2），所以．·····················································10分19.已知函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，求a的取值范围．参考答案：【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】要使f（x）与g（x）的图象在（0，π）内至少有一个公共点可转化成f（x）=g（x）在（0，π）内至少有一个解，然后根据三角函数公式进行化简整理，将a分离出来，求出另一侧的取值范围即可求出所求．【解答】解：∵函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，∴=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3在（0，π）内至少有一个解即sin﹣sin=2sin[cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3]∴2cossinx=2sin[cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3]2coscos=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3cos2x+cosx=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3∴a=（1+cosx）+令1+cosx=t，t∈（0，2）∴a≥2∴a的取值范围是[2，+∞）20.如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．参考答案：【考点】分段函数的应用；抽象函数及其应用．【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意先检验sin（x+a）=sin（﹣x）是否成立即可检验y=sinx是否具有“P（a）性质”（2）由y=f（x）具有“P（0）性质可得f（x）=f（﹣x），结合x≤0时的函数解析式可求x≥0的函数解析式，结合t的范围判断函数y=f（x）在[0，1]上的单调性即可求解函数的最值（3）由题意可得g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），据此递推关系可推断函数y=g（x）的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m，以及g（x）的解析式【解答】解：（1）由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．（2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，∴f（x）=f（﹣x）．设x≥0，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2∴f（x）=当t≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，∴x=1时ymax=（1﹣t）2，当0＜t＜时，y=f（x）在[0，t]上递减，在[t，1]上递增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，∴x=1时ymax=（1﹣t）2，当t≥时，∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，∴x=0时，ymax=t2，综上所述：当t＜时，ymax=f（1）=（1﹣t）2，当t≥ymax=f（0）=t2，（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．又≤x≤设，则﹣≤x﹣1≤，g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．再设n﹣≤x≤n+（n∈z），当n=2k（k∈z），则2k﹣≤x≤2k+，则﹣≤x﹣2k≤，g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；当n=2k+1（k∈z），则2k+1﹣≤x≤2k+1+，则≤x﹣2k≤g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；∴g（x）=∴对于n﹣≤x≤n+，（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣＜x+1＜n+1+，∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），∴y=g（x）是周期为1的函数．①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有1001个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，500）有1000个交点，而在[500，501]有一个交点．∴y=mx过（，），从而得m=②当m＜0时，同理可得m=﹣③当m=0时，不合题意．综上所述m=±【点评】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题21.甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩清况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：

分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频数231015分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数15x31

乙校:

分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频数1298分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数1010y3

（1）计算x，y的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

甲校乙校总计优秀

非优秀

总计

P(K2≥k0)0.100.0250.010k02.7065.0246.635

附：；.参考答案：（1）由题意知，甲校抽取人，乙校抽取人，∴.（2）由题意知，乙校优秀率为.（3），∴有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

22.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市A区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到下