用样本估计总体-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

PAGE9.2用样本估计总体知识梳理知识梳理1、频率分布直方图（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且；③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组．④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图。（2）频率分布直方图的特点：①，②个小长方形的面积等于1，③．（3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．2、用样本的平均数估计总体平均数（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；（2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。（3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为；（4）众数、中位数、平均数的异同：①众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量；②平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；③众数考察各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题；④中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势；⑤实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位。（5）平均数相关结论：①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是；②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为3、用样本的标准差估计总体的标准差（1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；（2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；（3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，定义样本方差为；简化公式：=（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）（4）样本的标准差是方差的算术平方根．样本标准差．标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围．（5）方差相关结论：①如果一组数的方差为，则一组数的方差为；②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。知识典例知识典例题型一频率分布直方图例1调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161（1）作出频率分布表；（2）画出频率分布直方图.【答案】（1）分布表见解析（2）直方图见解析【分析】（1）根据所给数据,可得身高的极差,确定分组后,即可得频率分布表.（2）根据频率分布表,可画出频率分布直方图.【详解】（1）最低身高151cm,最高身高180cm,它们的差是,即极差为29.确定组距为4,组数为8,频率分布表如下：分组频数频率10.02530.07560.1590.225140.3530.07530.07510.025合计401（2）组距为4,结合频率分布表,可计算各组的,即可得频率分布直方图如下图所示.巩固练习巩固练习某校高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩（满分150分），制成如下频率分布表：分组频数频率①②0.0500.200120.3000.2754③0.050合计④（1）①②③④处应分别填什么？（2）根据频率分布表完成频率分布直方图.（3）试估计该校高三年级在这次测试中数学成绩的平均分.【答案】（1）①处应填1，②处应填0.025，③处应填0.100，④处应填1.000（2）直方图见解析（3）117.5【分析】（1）由频率分布表，这组的数据可求得抽取的总人数，从而可得③，④显然为1，由总频率为1可求得②，从而又能得到①；（2）用各组数据中间值乘以频率后相加可得估计值．【详解】（1）由统计知识，知④处应填1.000；由频率分布表，知抽出的总人数为.又，故③处应填0.100.，故②处应填0.025，又，故①处应填1.（2）频率分布直方图如图所示：（3）利用组中估算得平均数，即该校高三年级在这次测试中数学成绩的平均分约为117.5分.题型二分位数例2下表记录了一个家庭6月份每天在食品上面的消费金额：（单位：元）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天31292632342834313434第11天第12天第13天第14天第15天第16天第17天第18天第19天第20天35262735342828303228第21天第22天第23天第24天第25天第26天第27天第28天第29天第30天32263534353028343129求该家庭6月份每天在食品上面的消费金额的5％，25％，50％，75％，95％分位数.【答案】见解析【分析】将所有数据由小到大排列,再分别计算总数30的5％,25％,50％,75％,95％再进行对应的分位数计算即可.【详解】该样本共有30个数据,所以30×5％=1.5,30×25％=7.5,30×50％=15,30×75％=22.5,30×95％=28.5将所有数据由小到大排列得：26,26,26,27,28,28,28,28,28,29,29,30,30,31,3131,32,32,32,34,34,34,34,34,34,34,35,35.从而得5个百分位数如下表：百分位数5％25％50％75％95％消费金额/元2628313435巩固练习巩固练习根据所给的以下数据:3.81，3.65，3.68，3.83，3.68，3.80，3.72，3.73，3.75，3.80，求他们的75%，50%分位数.【答案】3.80；3.74【分析】将所给数据从小到大排列,根据分位数的计算公式可得解.【详解】把这组数据从小到大排列,得3.65,3.68,3.68,3.72,3.73,3.75,3.80,3.80,3.81,3.83,,所以75%分位数为3.80,,则50%分位数为故答案为:3.80；3.74题型三方差与标准差例32020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩___________十万只.【答案】1.6【分析】由题意结合平均数，方差的定义整理计算即可求得最终结果.【详解】设该工厂这5天平均每天生产口罩为，由题意可得，则，由，可得，解得.故答案为：1.6巩固练习巩固练习已知一组数据的频率分布直方图如下．则众数是__________，中位数是__________，平均数是__________．【答案】656567【分析】由众数、中位数及平均数的概念结合频率分布直方图，计算即可得解.【详解】因为最高矩形横坐标的中点为65，所以众数为65；设中位数为，则，解得，所以中位数为65；平均数.故答案为：65；65；67.巩固提升巩固提升1、对某活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组的数据不慎丢失，依据此图回答以下问题.（1）年龄组对应小矩形的高度为______；（2）据此估计本次活动中志愿者年龄在内的人数为______.【答案】0.04.440.【分析】（1）通过频率分布直方图中各小长方形面积之和为1，列方程计算即可；（2）先计算出志愿者年龄在内的频率，再计算人数即可.【详解】（1）设年龄组对应小矩形的高度为，则，解得；（2）由（l）得志愿者年龄在内的频率为，故志愿者年龄在内的人数约为.故答案为：（l）0.04；（2）4402、某校年级长为了解本校高三学生一模考试的数学成绩（单位：分），随机抽取30名学生的一模数学考试，如下所示：11014412563891211451231749697142115688311613912485981321471281339911710311396141估计该校高三学生一模数学成绩的25%分位数为______，50%分位数为______.【答案】96.115.5.【分析】先将学生的成绩从小到大排列，分别计算25%分位数和50%分位数的位置，再求出这两个数即可.【详解】把这30名学生的数学成绩按从小到大的顺序排列为63，68，74，83，85，89，96，96，97，98，99，107，110，113，115，116，117，121，123，124，125，128，132，133，139，141，142，144，145，147.因为，所以这30名学生一模数学成绩的25%分位数为从小到大排列后第8名学生的成绩，即96，因为，所以这30名学生一模数学成绩的50%分位数为从小到大排列后第15名同学和第16名同学成绩的平均数，即.故答案为：96；115.53、某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的80%分位数为______.【答案】122.【分析】通过计算成绩在130分以下的学生和成绩在110分以下的学生所占比例，确定80%分位数所在位置，利用比例求解即可.【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为，成绩在110分以下的学生所占比例为，因此80%分位数一定位于内，由，故可估计该校学生成绩的80%分位数为122.故答案为：1224、某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读情况，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们的课外阅读时间，然后按初中学生和高中学生分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：h）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30h的学生人数为_______【答案】870【分析】由分层抽样求出初中高中各被抽取的人数，再由频率分布直方图计算出频率，然后计算阅读时间不小于30h的人数，相加可得．【详解】由分层随机抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.因为初中学生中阅读时间不小于30h的频率为，所以该校所有的初中学生中，阅读时间不小于30h的学生人数约为，同理，高中学生中阅读时间不小于30h的频率为，故该校所有的高中学生中，阅读时间不小于30h的学生人数约为.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30h的学生人数约为.故答案为：870.5、某服装店对过去100天实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成频率分布直方图如下：（1）已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店的销售量都不低于50件的频率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数；（2）根据频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值（精确到0.01）.【答案】（1）80（2）【分析】（1）由频率分布直方图分别求出网店和实体店销售量不低于50件的天数，相加后减去实体店和网店销售量都不低于50件的天数可得；（2）网店频率分布直方图中频率为0.5对应的点的数值就是中位数．即过中位数那一点作横轴垂线，把频率等分．【详解】（1）由题意，知网店销售量不低于50件的天数为，实体店销售量不低于50件的天数为，实体店和网店销售量都不低于50件的天数为，故实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数为.（2）由网店销售量频率分布直方图，知销售量低于50件的频率为，销售量低于55件的频率为，故网店销售量的中位数的估计值为.6、已知甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.（1）求甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差；（2）请根据甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差，分析谁的射击水平高.【答案】（1），，，；（2）甲的射击水平高【解析】【分析】结合折线图，套用公式算出两人环数的平均数与方差，平均数相同，方差小的更稳定，射击水平更高.【详解】（1）由折线图可知甲射击10次中靶环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.乙射击10次中靶环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10..，，（2）因为，，所以甲的射击稳定性比乙好，故甲的射击水平高.7、对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？【答案】，，，.甲的极差为11，乙的极差为10，选乙参加比赛比较合适.【分析】根据图表，计算出甲、乙的平均数，方差和极差，平均数相等时，方差小的更稳定，由此可得到本题答案.【详解】，，甲的极差为11，乙的极差为10.由甲、乙平均数相等，乙的方差较小，知选乙参加比赛比较合适.8、某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】（1）0.3（2）；71【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所