基本几何体的投影截交线

基本几何体的投影截交线第一页，共一百零九页，2022年，8月28日第一节平面体的投影一、常见的平面几何体

它们的表面都是由平面形围成的，因此，绘制平面立体的三视图，实质是画出组成平面立体各表面的平面形及交线的投影。第二页，共一百零九页，2022年，8月28日1.作图：作图时先画反映底面实形的那个投影，然后再画其它两面投影。二、六棱柱体的投影第三页，共一百零九页，2022年，8月28日2.平面立体表面上的点：aa"a'(b')bb"

平面立体表面上的点与平面上取点的方法相同，要判别投影的可见性。第四页，共一百零九页，2022年，8月28日WXHaOacsbYVbacsABCSZ（c）bsacbsabcsa（c）bs

三棱锥的投影直观图三、三棱锥体的投影展开第五页，共一百零九页，2022年，8月28日三棱锥体的投影图画法a'a"b'b"c'(c'')abcSS'S"k'kk"1'1表面上的点采用辅助线的方法作图。第六页，共一百零九页，2022年，8月28日三棱锥表面上的点d'd'd'//ab作法一作法二作法三第七页，共一百零九页，2022年，8月28日sbsaacb（n）scacb()y1nny1

三棱锥体表面定点第八页，共一百零九页，2022年，8月28日

四棱柱体表面定线byybacdac()dcdab第九页，共一百零九页，2022年，8月28日第二节回转体的投影一、常见的回转体

回转体——一动线绕一定直线旋转而成的曲面，称为回转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。第十页，共一百零九页，2022年，8月28日一、圆柱体的投影1．圆柱体的形成圆柱体由圆柱面及顶、底两平面所围成。圆柱面可以看成是由一直母线绕与它平行的回转轴旋转而成的。第十一页，共一百零九页，2022年，8月28日2．圆柱体的投影

圆柱体的轴线垂直于水平面时，水平投影为圆；它的正面投影和侧面投影为矩形。画圆柱体的投影图时，首先用细点画线画出中心线和轴线，再画圆，其次画矩形。第十二页，共一百零九页，2022年，8月28日圆柱体的投影分析第十三页，共一百零九页，2022年，8月28日3．圆柱体表面上的点第十四页，共一百零九页，2022年，8月28日圆柱体表面上的点：mnn"m'(n')

已知：正面投影上的n'、m'的投影，求其它两面的投影。

分析：m'为可见，在前半圆柱面上，n'为不可见，在后半圆柱面上。其水平投影积聚在圆周上，先求出m、n，再求m"、n"。(m")第十五页，共一百零九页，2022年，8月28日（m）m'(n')m"例：已知圆柱体表面上M、N两点的正面投影m'、

(n')，求其它两面投影。因为m'为可见，在前半圆柱面上；n'为不可见，在后半圆柱面上。两点的侧面投影积聚在圆周上。作图：过m'作水平线交右半圆周于m"，过（n'）作水平线交左半圆周于n"，再由m'和m"，（n'）和n"求出（m）、n。n"n第十六页，共一百零九页，2022年，8月28日第十七页，共一百零九页，2022年，8月28日abybcy

圆柱体表面定线1ac1bac1第十八页，共一百零九页，2022年，8月28日二、圆锥体的投影1．圆锥体的形成圆锥体是由圆锥面和底面所围成。圆锥面可以看成是由一条直母线绕与它相交的回转轴旋转而成的。第十九页，共一百零九页，2022年，8月28日2．圆锥体的投影分析圆锥体的轴线为铅垂线时，底面为水平面，它在水平面上的投影为圆，这个圆既是圆锥面的投影，也是圆锥底平面的实形投影。圆锥体的正面投影和侧面投影是等腰三角形。第二十页，共一百零九页，2022年，8月28日圆锥体表面上的点例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。解1、辅助素线法：过锥顶S和已知点K作直线S1，连s'k'与底边交于1'，然后求出该素线的H面和W面投影s1和s"1"，最后由k'求出k和k"。s"s'sk'1'11"kk"第二十一页，共一百零九页，2022年，8月28日k"k1'2'解2、辅助圆法：过已知点K作纬圆，该圆垂直于轴线，过k'作纬圆的正面投1'2'，然后作出水平投影k在此圆周上，由k'求出k，最后求出k"。s"s'sk'圆锥体表面上的点例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。第二十二页，共一百零九页，2022年，8月28日yy

圆锥体表面定线ac1bab1cab1c解题时注意曲线AB的性质第二十三页，共一百零九页，2022年，8月28日

圆锥体表面定线第二十四页，共一百零九页，2022年，8月28日三、球体的投影

球是圆母线以其直径为回转轴旋转而成。第二十五页，共一百零九页，2022年，8月28日

球体的投影分析球体的三面投影都是直径等于球径的圆。正面投影的圆是球体正面投影的转向轮廓线，也是前后两半球可见与不可见的分界线。第二十六页，共一百零九页，2022年，8月28日在球面上取点，可通过作辅助圆法来作图。但请注意，在球面上是不可能作出直线的。作图：过a作直线∥OX得水平投影12，正面投影为直径为12的圆，a'必在此圆周上。因a可见，位于上半球，求得a'，由a、a'求出a"，因a在右半球，所以a"不可见。a'(a")因为b'处于正面投影外形轮廓线上，可由b'直接求得b、b"。(b)b"ab'12球面上点的投影第二十七页，共一百零九页，2022年，8月28日球面上点的投影第二十八页，共一百零九页，2022年，8月28日小结:

掌握基本体的三视图画法及表面找点的方法1.平面体表面找点，利用平面上找点的方法。3.圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助纬圆法。2.圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。4.圆球体表面找点利用辅助纬圆法。第二十九页，共一百零九页，2022年，8月28日第三节平面切割体的视图

截切——用一个与立体相交的平面，截去立体的一部分。

截平面——用以截切立体的平面。

截交线——截平面与立体表面的交线。

截断面——因截平面的截切，在立体上形成的平面。截断面概念：截交线截平面第三十页，共一百零九页，2022年，8月28日截交线的性质：截交线是一封闭的平面多边形，它是截平面与立体表面的共有线。实质：求两平面的交线。求截交线的方法：空间分析：分析截平面与立体的相对位置，确定截交线的形状。分析截平面与投影面的相对位置。确定截交线的投影特性。画投影图：求出平面立体上被截断的各棱线与截平面的交点，然后顺次连直线。求各棱线与截平面的交点的方法是棱线法。第三十一页，共一百零九页，2022年，8月28日例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。321(4)1●2●4●3●1●2●4●★空间分析交线的形状？3●★投影分析★求截交线★分析棱线的投影第三十二页，共一百零九页，2022年，8月28日第三十三页，共一百零九页，2022年，8月28日7"6"例：正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。分析：由图可知，截交线的正面投影积聚为一直线。水平投影，除顶面上的截交线外，其余各段截交线都积聚在六边形上。1'12'（3'）234'（5'）451"2"3"4"5"6'（7'）67第三十四页，共一百零九页，2022年，8月28日完成后的投影图第三十五页，共一百零九页，2022年，8月28日例：作四棱柱被截切后的投影。a'(b')baa"b"分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线AB的投影。••BA第三十六页，共一百零九页，2022年，8月28日完成后的投影图第三十七页，共一百零九页，2022年，8月28日1'4'2'（3'）1"2"3"1432例求做立体被截切后的投影第三十八页，共一百零九页，2022年，8月28日例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。121(2)Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。三面共点：2●1●

注意：要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。第三十九页，共一百零九页，2022年，8月28日第四十页，共一百零九页，2022年，8月28日

四棱锥切割体的投影1y2y1y2y12(3)4(5)6645312132546四棱锥切割体的投影第四十一页，共一百零九页，2022年，8月28日

四棱锥切割体的投影第四十二页，共一百零九页，2022年，8月28日第四十三页，共一百零九页，2022年，8月28日截平面截交线平面与平面相交画法第四十四页，共一百零九页，2022年，8月28日由立体的轴测图画三视图。第四十五页，共一百零九页，2022年，8月28日第四十六页，共一百零九页，2022年，8月28日第四十七页，共一百零九页，2022年，8月28日6"7"1"3"2"5"4"76例补全俯视图和左视图的投影2'（3'）4'（5'）6'（7'）1'第四十八页，共一百零九页，2022年，8月28日第四十九页，共一百零九页，2022年，8月28日例:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。P截交线的形状？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ15432876截交线的投影特性？2≡3≡6≡71≡84≡5求截交线15476328分析棱线的投影检查截交线的投影第五十页，共一百零九页，2022年，8月28日第五十一页，共一百零九页，2022年，8月28日第四节平面与回转体相交截交线的性质：

截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点都是它们的共有点。

截交线是封闭的平面图形。

截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面相对于回转体轴线的位置。求截交线的方法和步骤：

分析回转体的表面性质、截平面与投影面的相对位置、截平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影特性。

求出截交线上的点，首先找特殊点，然后补充一般点。

补全轮廓线，光滑地连接各点，得到截交线的投影。第五十二页，共一百零九页，2022年，8月28日一、平面与圆柱体相交1、截平面与圆柱轴线平行

截交线为矩形第五十三页，共一百零九页，2022年，8月28日第五十四页，共一百零九页，2022年，8月28日2、截平面与圆柱轴线垂直截交线为圆第五十五页，共一百零九页，2022年，8月28日第五十六页，共一百零九页，2022年，8月28日3、截平面与圆柱轴线倾斜

截交线为椭圆第五十七页，共一百零九页，2022年，8月28日第五十八页，共一百零九页，2022年，8月28日例:求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影.分析:该圆柱被侧平面截切后,侧面投影为矩形;被水平面截切后,水平投影为圆.轮廓线要不要？第五十九页，共一百零九页，2022年，8月28日例、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。平面与圆柱相交由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。（2）再作出适当数量的一般点。（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。1'16'（7'）8454'（5'）1"4"5"22'（3'）2"6736"（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。3"7"ⅠⅣⅧⅤⅡⅥⅦⅢ8'8"第六十页，共一百零九页，2022年，8月28日例题求圆柱截交线7611'1"5"4"8'8"83254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ6'7'6"7"4'5'2'3'2"3"解题步骤1分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。第六十一页，共一百零九页，2022年，8月28日第六十二页，共一百零九页，2022年，8月28日比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。平面与圆柱相交﹥45°﹤45°=45°第六十三页，共一百零九页，2022年，8月28日yyyy

圆柱切割体的投影123()45()()67751463579()89()98268()1432第六十四页，共一百零九页，2022年，8月28日

圆柱切割体的投影圆柱切割体的投影第六十五页，共一百零九页，2022年，8月28日第六十六页，共一百零九页，2022年，8月28日例：求左视图虚实分界点第六十七页，共一百零九页，2022年，8月28日第六十八页，共一百零九页，2022年，8月28日例：已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。分析：圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成的。侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合。水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均直线。1'

·

•1•2"•

2(3')

•

2'•33"

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•4•

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•5•6'(7')•7"6"6

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8'

•

(9')•8"9"

••89•a'•(b

')•a"b"••ab•1"

·第六十九页，共一百零九页，2022年，8月28日完成后的投影图第七十页，共一百零九页，2022年，8月28日2例：求开槽圆柱的左视图。分析：槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线。另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。1'（2'）

••

1•

•

3'（4'）•

45'（6'）

•56

6"•

5"••

3"•1"•

3•

4"2"•第七十一页，共一百零九页，2022年，8月28日完成后的投影图第七十二页，共一百零九页，2022年，8月28日例题求圆柱截交线解题步骤1分析截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求一般点Ⅴ；4顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。3'31'122'4'455'3"2"5"1"4"第七十三页，共一百零九页，2022年，8月28日1’2’(11)’3’(10)’7’6‘（8'）(9)’(7)1(8)11(6)23(5)(9)101’’2’’11’’(10)’’3’’9’’5’’8’’6’’7’’已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影第七十四页，共一百零九页，2022年，8月28日第七十五页，共一百零九页，2022年，8月28日截平面垂直于圆锥的轴线截交线为圆截平面为圆=90°二平面截圆锥第七十六页，共一百零九页，2022年，8月28日

截平面倾斜于圆锥的轴线截交线为椭圆截平面为椭圆>第七十七页，共一百零九页，2022年，8月28日=截平面平行一条素线截交线为抛物线

截平面为抛物线与直线组成的封闭图形第七十八页，共一百零九页，2022年，8月28日截平面与轴线平行截交线为双曲线

截平面为双曲线与直线组成的封闭图形第七十九页，共一百零九页，2022年，8月28日截平面通过锥顶截交线为两条直线截平面为三角形第八十页，共一百零九页，2022年，8月28日根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。过锥顶两相交直线PV圆PVθθ=90°PV椭圆αθθ＞α抛物线PVθαθ=α双曲线PVαθ=0°＜α第八十一页，共一百零九页，2022年，8月28日例、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。平面与圆柱相交此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线——正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。ABDC正平线正垂线第八十二页，共一百零九页，2022年，8月28日ABDC正平线正垂线平面与圆锥相交具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。a'b'aba"b"k'l'klc'(d')dc（2）再作一般点。（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。（4）补全侧面转向轮廓线。k"l"c"d"第八十三页，共一百零九页，2022年，8月28日平面与圆锥相交ABDC正平线正垂线完成后的三视图第八十四页，共一百零九页，2022年，8月28日第八十五页，共一百零九页，2022年，8月28日补充例题求圆锥截交线解题步骤1分析截交线的水平投影为椭圆和直线的组合，侧面投影为椭圆和梯形的组合；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、；3求出一般点Ⅳ、Ⅴ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。第八十六页，共一百零九页，2022年，8月28日wPHP

正平面P截割圆锥的截交线314523()54()2114352第八十七页，共一百零九页，2022年，8月28日平面与圆锥相交alkcda'k'l'c'(d')l"a"k"c"（1）先求特殊点。（2）再求一般点。（3）依次光滑连接各点。d"ACDKL具体步骤如下：圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。第八十八页，共一百零九页，2022年，8月28日第八十九页，共一百零九页，2022年，8月28日例：已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。分析：顶尖头是由相连的圆锥体和圆柱体被两个平面截切而成，轴线为侧垂线，截平面分别为侧平面和水平面。侧平面与圆柱轴线垂直，与圆柱的截交线为圆弧，正面投影为直线，侧面投影为圆弧的实形。水平面与圆柱的截交线为开口矩形，与圆锥的截交线为双曲线，其正面和侧面投影均为直线。a'••b'(c')•a

a"••b"

c"••b•cd'e'•d"e"

e••df'••f"•fg'h'••g"•h"•g

h•第九十页，共一百零九页，2022年，8月28日●●●●●●●●●●●●●●●●首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。例：求作顶尖的俯视图第九十一页，共一百零九页，2022年，8月28日补充例题分析并想象出圆锥穿孔后的投影第九十二页，共一百零九页，2022年，8月28日三、平面与球相交

球体被平面所截，截交线均为圆。由于截平面的位置不同，其截交线的投影可能为直线、圆或椭圆，

直线真形椭圆第九十三页，共一百零九页，2022年，8月28日

球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影有二种情况：Ph

截平面为平行面，在所平行的投影面上的投影为截交线圆的实形。三、平面与球体相交第九十四页，共一百零九页，2022年，8月28日例:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影分析:球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。轮廓线要不要?轮廓线怎样处理?第九十五页，共一百零九页，2022年，8月28日例：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。第九十六页，共一百零九页，2022年，8月28日第九十七页，共一百零九页，2022年，8月28日补充例题求圆球截交线解题步骤1分析截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ；3求出各段圆弧；4判别可见性，整理轮廓线。ⅡⅠ第九十八页，共一百零九页，2022年，8月28日Pv

截平面为垂直面，在所垂直的投影面上，截交线的投影为直线。在其它投影面上截交线的投影为椭圆。第九十九页，共一百零九页，2022年，8月28日例：已知圆球体被截切后的正面投影，求作水平投影。a'b'•ba

••ef••cd•g'(h')••gh•分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影为椭圆。作图：1.求特殊点截交线的最低点A和最高点B也是最左点和最右点，还是截交线水平投影椭圆短轴的端点，水平投影a、b在其正面投影轮廓线的水平投影上。

e'f'是截交线与球的水平投影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的水平投影轮廓线上。

a'b'的中点c'd'是截交线