2023年高考自主招生强基计划数学模拟试题三（含答案详解）

第=page44页，共=sectionpages44页2023年高考数学强基计划模拟题（三）一、填空题（每题10分）一个三位数等于它各位数字的阶乘之和，则此三位数各位数字之和为

．使得x+2x和x2+2x2已知n是不超过2020的正整数且1n+2n+3n+4复数z1，z2满足|z1−3i|=2，|z2把实数a=(5+33)2020写成十进制小数，则a的十分位、百分位和千分位上数字之和等于

满足1x+1y=12020，x≤y满足等式2002[n10012+1]=n[200210012+1](其中[x]表示不超过x的最大整数)记集合T={0,1,2,3,4,5,6}，M={a17+a272+二、解答题（20分）9.设a，b，c和(a−1b)(b−1 答案和解析1.【答案】10

【解析】设这个三位数为abc=a!+b!+c!，因为6!=720，7!>1000，故a，b，c≤5，再逐步分析验证可得2.【答案】1

【解析】由(x+2x)2=x2+4+4x2∈N且x2+3.【答案】1515

【解析】【分析】本题考查周期性，属于中档题．

设an=1n+2n+3n+4n，可得a1的个位数为0，a2的个位数为0，a3的个位数为0，a4的个位数为4，a5的个位数为0，可知a【解答】解：设an=1n+2n+3n+4n，

因为a1=11+21+31+41的个位数为0;

a2=12+22+32+42的个位数为0;

a3=13+23+33+43的个位数为0;

a4=1

4.【答案】8π

【解析】【分析】本题考查了复数的模及其几何意义，属于中档题．

先构造一个新的复数z=z1−【解答】设z=z1−z2=x+yi，其中x，y∈R．

因为z−3i+8=z1−z2−3i+8=(z1−3i)−z2−8

所以z1−3i

5.【答案】0

【解析】构造b=(33−5)2020，可得m=(33−5)∈(0,1)6.【答案】23

【解析】由条件1x+1y=12020，x≤y可得1y=12020−1x=x−20202020x，解得

y=2020xx−2020=7.【答案】2002

【解析】因为

1001<10012+1<1001+12002，

 ①

所以

1001×2002<200210012+1<1001×2002+1．

故由n[200210012+1]=2002×1001n可得[n10012+1]=1001n．

由式 ①可得1001n8.【答案】17【解析】设a17+a272+a373+a474=A，则A的值相当于七进制下的分位数.显然当a1值固定时，A的值会由a2逐渐变小，依此类推.由于a1，a29.【答案】由(a−1b)(b−1c)(c−1a)=(ab−1)(bc−1)(ca−1)abc∈N+，且a，b，c也是正整数，可得abc|(ab−1)(bc−1)(ca−1)，

即(ab−1)(bc−1)(ca−1)=(ab2c−ab−bc+1)(ca−1)

=(−ab−bc+1)(ca−1)

=−a2bc+ab−abc2+bc+ca−1

=ab+bc+ca−1=0(modabc)，

故ab+bc+ca−1abc∈N+，可推出1≤ab+bc+ca−1abc.不妨设a≤b≤