中考数学专题专练-旋转的综合

中考数学专题专练--旋转的综合1．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．（1）求证：EF＝MF；（2）当AE＝1时，求EF的长．2．已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，-1)．（1）请以原点O为对称点，画出与△ABC对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标；（2）△ABC的面积是.3．如图所示，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后得△ADE．（1）问△ABC与△ADE的关系如何？（2）求∠BAD的度数．4．如图，正与正关于某点中心对称，已知三点的坐标分别是．（1）求对称中心的坐标；（2）写出顶点的坐标．5．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；①把图形补充完整（无需写画法）;②求的取值范围；（2）如图2，求BE+AE+DE的最小值.6．如图，△ABC中，∠B=10°，∠ACB=20°，AB=4cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；（2）求出∠BAE的度数和AE的长．7．如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90。得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG．（1）求证：BE=2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．8．已知Rt△AOB的两条直角边OA=3，OB=1，分别以OA、OB所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示．先将Rt△AOB绕原点O按顺时针方向旋转90°后，再沿x轴负方向平移1个单位长度得到△CDO．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）求顶点A所经过的路径总长．9．如图，点O是等边三角形ABC内部一点，且满足∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转至△ADC的位置，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）若OB=2，OC=3，求AO的长.10．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE．（1）求证：AB=AE；（2）若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．11．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按逆时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）若OB=2，OC=3，求AO的长．12．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM．（2）当AE=2时，求EF的长．13．如图，中，，点D在AB上，，，于点E，把绕点D旋转得，且点G，F在AC上．（1）求证：四边形是正方形；（2）求四边形的面积，14．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．（1）求证：∠EAM=45°；（2）求证：△AEM≌△ANM；（3）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长．15．如图，正方形ABCD与正方形关于某点中心对称.已知A，，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2).（1）求对称中心的坐标：（2）写出顶点B，C，的坐标。16．在平面直角坐标系xOy中(如图)．已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1，0)和点B(0，)，顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．17．如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：​（1）△ADA′≌△CDE；（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．18．如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△BEC绕点C顺时针旋转至△DFC．（1）请问最小旋转度数为多少？（2）指出图中的全等图形以及它们的对应角？（3）若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F的度数．19．如图，三角形中，，将角形绕点B按逆时针方向旋转后得到三角形BED在旋转过程中:（1）旋转中心是什么？为多少度？（2）与线段AC相等的线段是什么？（3）三角形BED的面积是多少？20．如图，在边长为4的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．（1）求证：；（2）若，求的长．

答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°，∴∠EDF＝∠FDM．又∵DF＝DF，DE＝DM，∴△DEF≌△DMF，∴EF＝MF.（2）解：设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，则EF的长为．2．【答案】（1）解：如图所示，点A1（﹣1，4）点B1（﹣5，4），点C1（﹣4，1）．（2）63．【答案】（1）解：∵△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后得△ADE，∴△ABC≌△ADE（2）解：旋转角相等，即∠BAD=∠EAC=30°．4．【答案】解：三点的坐标分别是，所以对称中心的坐标为写出顶点的坐标．解：等边三角形的边长为4-2=2，所以点C的坐标为，点的坐标（1）解：三点的坐标分别是，所以对称中心的坐标为（2）解：等边三角形的边长为4-2=2，所以点C的坐标为，点的坐标5．【答案】（1）解：①图形如图所示：②∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=,∠B=90°,∴AC=4,∵将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF∴DE=DF,∠EDF=90°,∴EF2=2DE2,当DE⊥AC时，DE最小=AC=2,∴EF2的最小值是8，当E越靠近A或C的时候DE越大，又点E不能与点A重合，∴DE的最大值应该小于，∴EF2的最大值应该小于16，∴8≤EF2＜16；（2）解：连接BD，

将△BDE绕点B顺时针旋转60°到△BE'D'的位置，

∴∠EBE'=∠DBD'=60°,BE=BE',BD=BD',

∴△BEE'与△BDD'都是等边三角形，

∴BE=EE',E'D'=ED,

∴BE+AE+DE=EE'+AE+D'E',

显然当A,E,E'D'四点共线的时候EE'+AE+D'E'最小=AD',

此时∠AEB=AED=120°,

∵AB=,

∴OA=OD=2,

∴OD'=,

∴AD'=AO+OD'=2+,

∴BE+AE+DE的最小值=2+。6．【答案】（1）解：∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，∴旋转中心是点A；根据旋转的性质可知：∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ACB=150°，∴旋转角度是150°（2）解：由（1）可知：∠BAE=360°-150°×2=60°，由旋转可知：△ABC≌△ADE，∴AB=AD，AC=AE，又C为AD中点，∴AC=AE=AB=×4=2cm．7．【答案】（1）证明：如下图：过点F作FH⊥BE于点H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，

∴四边形BCFH是矩形，

∴BH=CF，

又∵BF=EF，

∴BE=2BH，

∴BE=2CF.（2）解：四边形BFGN是菱形，理由如下：

证明：∵MN⊥EF，

所以∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，

∴∠E+∠ABN=90°，

∵BF=EF，

∴∠E=∠EBF，

∴∠EBF+∠ABN=90°，

又∵∠EBC=90°，

∴∠CBF+∠EBF=90°，

∴∠ABN=∠CBF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠BAN=∠CBF=90°，

在△ABN和△CBF中，

，

∴△ABN≌△CBF，

∴BN=BF，

由旋转可得EF=FG=BF，

∴BN=FG，

∵∠GFM=∠BME=90°，

∴BN∥FG，

∴四边形BFGN是菱形.8．【答案】（1）解：A（3，0），C（-1，-3）；​（2）解：∵A所经过的路径总长包括一段弧以及一条线段长度，∴CA′=1，∴顶点A所经过的路径总长为：​9．【答案】（1）解：由旋转的性质得，CD=CO，∠ACD=∠BCO.∵∠ACB=60°，∴∠DCO=60°∴△OCD为等边三角形.∴∠ODC=60°.（2）解：由旋转的性质得，AD=OB=2∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=3∵∠BOC=150°，∠ODC=60°∴∠ADO=90°.在Rt△AOD中，AO=10．【答案】（1）证明：∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝60°，BC=EC．∵∠ACB＝30°，∴∠ACE＝30°=∠ACB．∵AC=AC，∴△ACB≌△ACE(SAS)，∴AB=AE；（2）解：∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC=DC，AB=ED，由（1）可知AB=AE，∴AE=DE，若AB=AC，则AC=AE，∴AC=DC=DE=AE，∴四边形ACDE是菱形．11．【答案】（1）解：由旋转的性质得，CD=CO，∠ACD=∠BCO，∵∠ACB=60°，∴∠DCO=60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°；（2）解：由旋转的性质得，AD=OB=2，∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=3，∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°，在Rt△AOD中，由勾股定理得：．12．【答案】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=2，且BC=6，∴BM=BC+CM=6+2=8，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，则EF=513．【答案】（1）证明：∵，∴．由旋转得：，≌．∴．∵，∴四边形CEDF是矩形．∵，∴四边形CEDF是正方形．（2）解：由（1）得：四边形CEDF是正方形，∴．由旋转得：≌，．∴，．在中，根据勾股定理得：．∵，∴．∴．∴．14．【答案】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN=∠BAE，AE=AN，∠D=∠ABE=90°，∴∠ABC+∠ABE=180°，∴点E，点B，点C三点共线，∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°（2）证明：由（1）可知AE=AN，∠MAE=∠MAN，MA=MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）（3）解：设CD=BC=x，则CM=x-3，CN=x-2，∵△AEM≌△ANM，∴EM=MN，∵BE=DN，∴MN=BM+DN=5，∵∠C=90°，∴MN2=CM2+CN2，∴25=（x-2）2+（x-3）2，解得，x=6或-1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为615．【答案】（1）解：∵D和D1是对称点，∴对称中心是线段DD1的中点．∴对称中心的坐标是(0，)（2）解：∵已知A，D两点的坐标分别是(0，4)，(0，2)，∴正方形的边长为2.∵A，B纵坐标相同，∴B(－2，4)∵C点纵坐标与D点纵坐标相同，横坐标与B点横坐标相同，∴C(－2，2)．∵C1，D1纵坐标相同，正方形边长为2，∴C1(2，3)．∵C1，B1横坐标相同，B1，A1纵坐标相同，∴B1(2，1).16．【答案】（1）解：∵A（-1，0），B（0，）在抛物线上，

∴−12−b+c=0c=52，

解得：b=2c=52，

（2）解：由（1）知y=-x2+2x+=-（x-2）2+，

∴C（2，），

∵点D在对称轴x=2上，

∴设CD=t，则D（2，-t），

∵线段DC饶点D顺时针旋转90°，使点C落在抛物线点P处，

∴∠PDC=90°，DP=DC=t，

∴P（2+t，-t），

∵点P在抛物线上，

∴-t=-（2+t-2）2+，

解得：t=2或t=0（舍去），

∴CD=t=2.（3）解：由（2）知：P（4，），D（2，），

∵抛物线平移，使点C（2，）平移到原点（0，0）的位置，

∴抛物线向左平移2各单位，向下平移个单位，

∵点P向左平移2各单位，向下平移个单位到点E，

∴E（2，-2），

设M（0，m），

∴|OM|=|yM-yO|=|m|，DE=|yD-yE|=|-（-2）|=，

设四边形边OM上的高为h，则h为点D到y轴的距离，

∴h=|xO|=2，

∴S=·（OM+DE）·h=8，

即（|m|+）×2=8，

解得：m=或m=-，

∴M（0，）或M（0，-）.17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠A′DE=90°，根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°，∴A′D=DE，在△AA′D和△CED中AD=CD∠ADA′=∠EDCA′D=ED∴△AA′D≌△CED