中考数学专题-相似三角形与圆的综合

中考数学专题——相似三角形与圆的综合一、综合题1．如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，连接CD，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DC＝4，AC＝2，求OC的长．2．如图，AB是的直径，点F在上，AE平分交于点E，过点E作，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．（1）求证：CD是的切线；（2）若，求BC的长．3．如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F．（1）求证：CF＝DF；（2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．4．如图，已知AB是⊙0的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的平分线交⊙0于点D，过点D作⊙0的切线交CB的延长线于点E.（1）求证：CE⊥DE；（2）若AB=10，tanA=，求DE的长.5．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E.（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB与⊙O相切于点D，CD是⊙O的直径，AC交⊙O于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF．（1）求证：∠ABC＝∠EFD；（2）若AD＝2，CD＝，求BD的长．7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠DAB＝2∠B，过C作CE⊥DA交DA的延长线于E.（1）求证：CE是⊙O的切线.（2）若DE＝2CE，BC＝4，求⊙O的半径.8．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE=12，AD=9，求BE的长．9．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．10．如图，已知AB为☉O的直径，AC，CD是弦．AB⊥CD于E．OF⊥AC于F．连接BC．（1）求证：；（2）若BE＝2cm，，求AC的长．11．如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．12．如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．13．如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦ABDP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．（1）求证：AFOD；（2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．14．如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点M、N，且．（1）求证：//；（2）如图，延长交于E点，若，；求的半径长．15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，的面积为，求CD的长．16．如图，AB是的直径，AC是弦，于点D，过点A作的切线AP，与OD的延长线交于点P，连接CP，与AB的延长线交于点E．（1）求证：PC是的切线；（2）求证：．17．如图，已知是以AB为直径的圆，C为上一点，D为OC延长线上一点，BC的延长线交AD于E，．（1）求证：直线AD为的切线；（2）求证：．18．如图，在中，，点D是的中点，点O是AB上一点，以点O为圆心、为半径作，与AB相交于点F，与相切于点E，连接BD与相交于点G．（1）求证：BE平；（2）当时，求的长．19．如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F．（1）求证：∠DAC=∠DEA；（2）若点E是BD的中点，⊙O的半径为3，BF=2，求AC的长．20．如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）与的延长线交于点，若，，，求证：；（3）求的长．

答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ODA=90°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，又∵∠CDA=∠CBD，∴∠ODA+∠CDA=90°，即OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠CDA=∠CBD，∠ACD=∠DCB，∴△ACD∽△DCB，∴，即，∴CB=8，∴OA===3，∴OC=OA+AC=3+2=5．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出∠ODA+∠CDA=90°，即可得出结论；

（2）利用相似三角形的判定和性质求出BC，进而求出半径OA，再求出OC即可。2．【答案】（1）证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE=∠DAE，∴∠OEA=∠EAD，∴OE//AD，∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°=∠D，又∠DAE=∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴，又，∴，则AE=2BE，又AB=10，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（2BE）2+BE2=102，解得：BE=，则AE=，∴，解得：AD=8，DE=4，∵OE//AD，∴△COE∽△CAD，∴，设BC=x，∴，解得：x=，经检验：x=是原方程的解，故BC的长为．【解析】【分析】（1）连接OE，由提意可证OE//AD，且DE⊥AF，即可得到OE⊥DE，所以CD是⊙O的切线；

（2）先证明△ADE∽△AEB，再利用相似三角形的性质可得，再求出BE=，则AE=，即可得到，求出AD=8，DE=4，再证明△COE∽△CAD，可得，再设BC=x，将数据代入计算可得答案。3．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵CF为切线，∴OC⊥CF，∴∠1+∠3＝90°，∵BM⊥AB，∴∠2+∠4＝90°，∵OC＝OB，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠5，∴CF＝DF；（2）解：在Rt△ABC中，AC＝＝8，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ABD，∴，即，∴AD＝，∵∠3＝∠4，∴FC＝FB，而FC＝FD，∴FD＝FB，而BO＝AO，∴OF为△ABD的中位线，∴OF＝AD＝．【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得出∠1+∠3＝90°，即可证明∠3＝∠4，再根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，再根据等角的余角相等得出∠BDC＝∠5，从而根据等腰三角形的判定定理得出结论；

（2）根据勾股定理计算出AC的值，再证明△ABC∽△ABD，利用相似比得出AD值，再证明OF为△ABD的中位线，从而根据三角形中位线性质求出OF的长。4．【答案】（1）证明：连接OD，∵DE是的切线，∴，∴．∵，∴．∵CD平分，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴．∵，，∴，．∵，∴．∵，∴，∴．∵AB是直径，∴，∵，，∵∴，，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，故DE的长为3．【解析】【分析】（1）先求出，再求出，最后求解即可；

（2）根据题意先求出，，再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。5．【答案】（1）证明：如图：连接OD，，，平分，，，，，，是⊙O的半径，DE与⊙O相切（2）解：为⊙O的直径，，，，平分，，，，，（3）解：CE=AB-BE；理由如下如图：过点D作于点H，则，平分，，，，，在与中，，，四边形内接于⊙O，，在与中，，，，【解析】【分析】（1）如图：连接OD，由OD=OB得∠ODB=∠OBD，由角平分线的定义可得∠CBD=∠OBD，即得∠ODB=∠CBD，根据平行线的判定得OD∥BE，由BE⊥DE可得OD⊥DE，根据切线的判定定理即证；

（2）证明可得，据此即可求出BD；

（3）CE=AB-BE；理由：如图过点D作于点H，则，证Rt△BED≌Rt△BHD，

可得BE=BH，再证，可得，从而得出AB=AH+BH=CE+BE，继而得出结论.

6．【答案】（1）证明：与相切于点，，，，，，，，；（2）解：，，，，，，，的长为3．【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠CDB=90°，由已知条件可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可得∠ECD=∠ABC，由圆周角定理可得∠ECD=∠EFD，据此证明；

（2）根据垂直的概念可得∠ADC=∠CDB=90°，根据同角的余角相等可得∠ECD=∠ABC，证明△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的性质进行计算.7．【答案】（1）证明：如图：连接，则.∵，∴，∴，∵，∴，∴是的切线；（2）解：如图：连接.AB是⊙O的直径，.∵，∴.，又∵，∴.∴.∵DE＝2CE，，∴.∴.∴的半径为.【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B，结合已知条件可得∠DAB=∠AOC，推出DE∥OC，结合CE⊥DA可得CE⊥OC，据此证明；

（2）连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠B=∠D，证明△ABC∽△CDE，根据相似三角形的性质可得AC，然后利用勾股定理进行计算.8．【答案】（1）证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线（2）解：在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==15，∵OC∥AD，∴△ECO∽△EDA，∴=，∴=，解得：OC=，∴BE=AE﹣2OC=15﹣2×=，答：BE的长是【解析】【分析】（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；（2）根据勾股定理求出AE，根据△ECO∽△EDA，得出比例式，求出圆的半径，即可求出答案．9．【答案】（1）证明：取的中点，连接、，，，，，（2）解：连接，如图，为的切线，，，，，，即，解得，在中，，是的直径，，，，，即，解得：．【解析】【分析】（1）取的中点M，连接OM、OF，根据弧长和弦的性质可得，再结合，即可得到∠COB＝∠A；

（2）根据切线的性质可得，再结合可证明，再利用相似三角形的性质可得，再求出BD的长，利用勾股定理求出AD，再证明，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入计算即可。10．【答案】（1）证明：∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又∵OF⊥AC，∴．（2）解：∵AB为☉O的直径，AB⊥CD，，∴，在中，由勾股定理得，∵，，∴，∴，即，解得；∴的长为cm．【解析】【分析】（1）先证明∠ACB＝90°，即BC⊥AC，再结合OF⊥AC，可得OF//BC；

（2）先利用勾股定理求出BC的长，再证明可得，即，再求出即可。11．【答案】（1）解：直线BD和⊙O相切证明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC∴∠ABC=∠ODB∵OD⊥BC∴∠DBC+∠ODB=90°∴∠DBC+∠ABC=90°∴∠DBO=90°∴直线BD和⊙O相切（2）解：连接AC∵AB是直径∴∠ACB=90°在Rt△ABC中，AB=10，BC=8∴∵直径AB=10∴OB=5．由（1），BD和⊙O相切∴∠OBD=90°∴∠ACB=∠OBD=90°由（1）得∠ABC=∠ODB，∴△ABC∽△ODB∴∴，解得BD=．【解析】【分析】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°，则有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD为切线．（2）连接AC，由于AB为直径，所以AC和BC垂直，又由（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可由勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出BD．12．【答案】（1）解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．在Rt△ADB中，∵AD=3，BD=4，∴由勾股定理得AB=5．∵∠ABC=90°，BD⊥AC，∴△ABD∽△ACB，∴=，即=，∴BC=（2）证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD；又∵E是BC的中点，BD⊥AC，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD．∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD．∴ED与⊙O相切．【解析】【分析】（1）根据勾股定理易求AB的长；根据△ABD∽△ACB得比例线段可求BC的长．（2）连接OD，证明DE⊥OD．13．【答案】（1）证明：延长DO交AB于点H，∵DP是⊙O的切线，∴OD⊥DP，∵ABDP，∴HD⊥AB，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴AFOD（2）解：∵OH⊥AB，AB＝8，∴BH＝AH＝4，∴OH＝＝＝3，∵BHED，∴△BOH∽△EOD，∴＝，即＝，解得：ED＝，∵∠BAC＝90°，DH⊥AB，DH⊥DP，∴四边形AFDH为矩形，∴DF＝AH＝4，∴EF＝ED﹣DF＝﹣4＝．【解析】【分析】（1）先求出OD⊥DP，再求出∠BAC＝90°，最后证明即可；

（2）先求出BH＝AH＝4，再利用勾股定理求出OH=3，再利用相似三角形的判定与性质求解即可。14．【答案】（1）证明：，，，，，，，，，平分的外角，，，；（2）解：延长交于F点，连接CF，∵AF是圆的直径，∴∠ACF=90°，由（1）得∵∴∴∴，∴，，，∴（负值舍去），即半径为．【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠DAC=2∠DAE，根据圆的概念及性质可证明AB=AC，再证明即可；

（2）延长交于F点，连接CF，证明，列出比例式求解即可。15．【答案】（1）证明：连接OC，如图1，∵AB为⊙O直径，∴，∴，又∵，∴，∴∵，∴，∴∴CD为⊙O切线；（2）解：过点C作于点M，如图2，∵⊙O的半径为，∴，∵的面积为∴∴，在中，，，∴，由（1）得，∵，∴，∴，∴，∴【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，从而得出∠CAB+∠CBO=90°，由同圆半径相等可得，结合，可得∠BCD+∠BCO=∠A+∠∠BCO=∠A+∠CBO=90°，根据切线的判定定理即证；

（2）过点C作于点M，如图2，根据的面积为可求出，在中，利用勾股定理求出OM=1，证明，可得，据此求出CD即可.16．【答案】（1）证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴OP垂直平分AC，∴∠AOP=∠COP在△OAP和△OCP中，∴△OAP≌△OCP，∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）证明：连接BC，如图：∵AB是的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴∽，∴，∴；【解析】【分析】（1）连接OC，先证明△OAP≌△OCP，可得∠OCP=∠OAP，再结合∠OAP=90°，可得∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可得到PC是⊙O的切线；

（2）连接BC，先证明∽，可得，再化简可得。17．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠DAC=∠DCE，∠DCE=∠BCO，∴∠DAC=∠BCO，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∴∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB，∵OA是⊙O半径，∴AD为⊙O的切线；（2）证明：∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△CED∽△ACD，∴，∴DC2=ED•DA．【解析】【分析】（1）先证明出∠CAB+∠DAC=90°，即AD⊥AB，再结合OA是⊙O半径，即可得到AD为⊙O的切线；

（2）先证明△CED∽△ACD，可得，再化简可得DC2=ED•DA。18．【答案】（1）证明：如图，连接，∵与相切于点E∴∵在中，，点D是的中