高考导数专题

导数及其应用导数的运算.几种常见的函数导数：①、C(c为常数)；②、(xn) ();③、(sinx)=;④、(cosx)=; ⑤、(ax)；⑥、(ex) ；⑦、(logax)；⑧、(lnx)——.求导数的四则运算法则：u、uvuv…一一一(uv)uv；(uv)uvuv；(-) 2一注：①必须是可导函数.vv3.复合函数的求导法则： fx((x))f(u)?(x)或yx yu?ux一、求曲线的切线(导数几何意义)导数几何意义：f(x0)表示函数yf(x)在点(xo,f(%))处切线L的斜率；函数yf(x)在点(x0,f(Xo))处切线l方程为yf%) f(Xo)(xXo)TOC\o"1-5"\h\z.曲线在点处的切线方程为( )。A:B:C:D:答案t^解B正确率：69%,易错项：C解析：本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。对求导得，代入得即为切线的斜率，切点为，所以切线方程为即。故本题正确答案为 Bo.变式一：.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ()A. B. C. D..已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ()A.B.C.D.变式二：.在平面直角坐标系中，点 P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线 C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为..设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为，令，则的值为..已知点P在曲线y=上， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是A、［0,)B、C、D、.已知直线y=X+1与曲线相切，则a的值为()

B.2C.D.-2B.2C.D.-2.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于()A.或 B.或C.或D.或.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则A64B、32C、16D、81.(本小题满分13分)设f(x)aex—b(a0).(I)求f(x)在［0,)上的最小值；ae3(II)设曲线yf(x)在点(2,f(2))的切线方程为y5x；求a,b的值.212.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .二、求单调性或单调区间1、利用导数判定函数单调性的方法： 设函数在某个区间D内可导，如果f(x)>0,则在区间D上为增函数；如果f(x)<0,则在区间D上为减函数；如果f(x)=0恒成立，则在区间D上为常数.2、利用导数求函数单调区间的方法： 不等式f(x)>0的解集与函数定义域的交集，就是的增区间；不等式f(x)TOC\o"1-5"\h\z<0的解集与函数定义域的交集，就是的减区间 ^1、函数的单调递增区间是 ()A.B.(0,3) C.(1,4)D..函数的单调减区间为 ..已知函数，，讨论的单调性。答案详解由题意，的定义域是，所以有。设，二次方程的的判别式 。当，即时，对一切都有。此时，在上是增函数；当时，，此时在上也是增函数；当，，即时，方程有两个不同的实根，，，。此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。解析：本题主要考查导数在研究函数中的应用。本题的难点在于参数分类的讨论，如何做到不重不漏首先在定义域的情况下，对函数求导，在求极值的过程中，会涉及到二次方程的根个数问题，要针对判别式进行分类讨论，在极值为两个的情况下，讨论其与定义域的关系，并根据导数与函数增减性的关系，列表求得函数增减性。.已知函数。(I)当时，求曲线在点处的切线的斜率；(n)当时，求函数的单调区间与极值答案详解(I)当时，，，故。所以曲线在点处的切线的斜率为。(n)。令，解得或，由知，。以下分两种情况讨论：(1)若，则。当变化时，的变化情况如下表：所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值，且。(2)若，则。当变化时，的变化情况如下表：所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值，且。解析:本题主要考查利用导数判断函数单调性。(D求出这种情况下，函数在处的导数，即为切线斜率。(n)首先求解出极值，然后对参数进行分类讨论，使用列表法，对函数和导数列表，列出函数的单调区间和极值。三、求函数的极值与最值1、极值的判别方法：当函数在点处连续时，如果在附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,那么是极大值；如果在附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件为点两侧导数异号，而不是 f(x)=0.2、最值的求法：求f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下：TOC\o"1-5"\h\z求f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值 )；将y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较 ..设函数f(x)xex，则( )

A.X1为f(x)A.X1为f(x)的极大值点B.X1为f(x)的极小值点C.X1为f(x)的极大值点 D.X1为f(x)的极小值点答案t^解D正确率：53%,易错项：B解析：本题主要考查函数极值的计算。令导函数求得，且在上小于零，在上大于零，则在上单调递减，在上单调递增，为的极小值点。.函数在处取得极小值..(本小题满分13分，(I)小问6分，(n)小问7分.)… 1 3设f(x)alnx——-x1,其中aR,曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.2x2求a的值；(n)求函数f(x)的极值..(本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式v—10a6)2，其中3Vx<6,a为常数，已知销售价格为5元/千克时，x3每日可售出该商品11千克.(I)求a的值.(II)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 ^.请你设计一个包装盒，如图所示， ABC皿边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 .E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 ^答案详解(1),所以时侧面积最大。(2),所以。当时，递增，当时，递减，所以，当时，最大。此时，包装盒的高与底面边长的比值为。解析：本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法。(1)由图写出侧面积的函数表达式，再对表达式化简、配方，即可求得取最大值对应的值（2）由图写出容积的函数表达式，再通过对函数求导，判断函数的单调性，从而求得取最大值对应的值，再求解高与底面边长的比值即可。四、判断函数的零点函数f（x）=的零点所在的一个区间是A.（－2，－ 1）；B.（－1,0）；C. （0,1）；D.（1,2）答案详解B正确率:64%,易错项:C解析:本题主要考查连续函数的性质。由于是连续函数，且在上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可采用代入排除的方法求解。A项，故A项错误；B项，，则零点定理知有零点在区间上，故 B项正确；B。C项，故C项错误；D项，故D项错误。综上所述：符合题意的是BB。设函数则（）A.在区间内均有零点；B.在区间内均无零点；C.在区间内有零点，在区间内无零点；D.在区间内无零点，在区间内有零点.答案详解D正确率：33%,易错项：C解析:本题主要考查导数的应用。定义域为，先对求导，，解得在单调递减，单调递增。讨论上，在其上单调，，，故在上无零点；讨论上，在其上单调，，，故在上有零点。故本题正确答案为 D。易错项分析：零点存在定理不熟悉导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问题，局限于判断在给定区间是否有零点，而对于在给定的区间有多少个零点却无法处理。3.已知函数y=x3—3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c=A.－2或2； B.－9或3；C.－1或1； D.－3或1答案详解A正确率 :53%,易错项:C解析:本题主要考查导数在函数中应用。对函数求导，得到函数的增减性和极值，作出函数图象。由图可知，当函数取极大值和极小值时，有两个横坐标与之对应。极大值为 2，极小值为－ 2。可知，。A。4.16分）若函数yf（x）在x X0处取得极大值或极小值， 则称X0为函数yf（x）的极值点.已知a,b是实数，1和1是函数f（x）x3ax2bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数 g（x）的导函数g（x）f（x）2，求g（x）的极值点；（3）设 h（x）f（f（x））c，其中c[2，2]，求函数yh（x）的零点个数．答案详解（1）由题设知，且，，解得。（2）由（ 1）知，因为，所以的根为，，于是函数的极值点只可能是或。当时，，当时，，故是的极值点，当或时，，故不是的极值点，所以的极值点为。（3）由（ 1）知，其函数图象如下图所示，先讨论（）的零点，即与的交点的个数：时，由图象得的零点为和；时，由图象得的零点为和；时，由图象得的零点为，，；时，由图象得的零点分别在，，三个区间内；时，由图象得的零点分别在，，三个区间内。令，现在考虑（）的零点：当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。当时，有三个不同的根，，，满足，，，，而（，，）有三个不同的根，故有个零点。综上可知，当时，函数有个零点；当时，函数有个零点。解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

(1)对函数求导，代入极值点使该点处导数值为，得到关于的方程组，解出的值(2)由(1)问所得的，求出的表达式，令其等于求极值点。验证极值点真假后列出结果(3)先结合图象分类讨论()的零点，再令，分类讨论()的零点五、导数与图像m n.函数fxax1x在区间上的图象如图所示，则的值可能是A. B C. D.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是♦♦♦A.B. C匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面3.12010匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面六、导数与不等式利用导数求解(证明)不等式 主要方法是：将不等式t(x)g(x)左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数f(x)t(x)g(x),通过对f(x)求导，根据f(x)的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明 .若fx x22x4lnx,则fx>0的解集为A.0, B. 1,0 2,C.2, D. 1,0答案t^解C正确率：50%,易错项：B解析：本题主要考查导数的运算和不等式的解法。本题的易错点是容易忽视函数的定义域。的定义域为，，即，结合解得C。易错项分析：本题的易错点是容易忽视函数的定义域，忽视在对数函数中真数要大于的隐含条件，从而在解不等式时出现负数，使函数没有意义，这是解对数不等式以及对数函数有关的问题时常见的错误。函数f（x）的定义域为R,f（—1）=2,对任意xCR,f（x） 2,则f（x）>2x+4的解集为A.（－1，1）B.（－1，＋ ）C.（－，－ 1）D.（－，＋ ）本小题满分 12分）设函数（1）求函数的单调区间；若，求不等式 fx的解集．设函数有两个极值点、且，。（1）求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点和区域；（2）证明：。答案（1），依题意知，方程有两个根，且等价于，，，。由此得满足的约束条件为满足这些条件的点的区域为图中阴影部分。（2）由题设知：，故，于是，由于，而由（I）知，故，又由（1）知，所以。解析本题主要考查导数、线性规划以及方程根的综合运用。（1）本题应该根据先求出的导函数，然后再利用二分法得到关于三个参量的不等式，进而便可得出的取值范围，进而便可作出满足这些约束条件的平面区域。令得：。 令得：。 0（2）该题主要利用已知条件，将表示为与其他参量的等式，并利用，便可得到的大致范围，再将其他参量的取值范围代入该式，便可得到欲证结论。（本题满分12分）设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：解: （I），令，其对称轴为.由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴ 当时，在内为增函数；⑵当时，在内为减函数；⑶当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则TOC\o"1-5"\h\z⑴当时，在单调递增；⑵当时，，在单调递减 .，故．（本小题满分 12分）已知函数 f（x）=x－ax＋（a－1），.（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意 x，x，xx，有 .解析：（1）的定义域为 .fx2分（i）若，即，则fx，故在单调增加 .若，而，故，则当时，；当及时，故在单调减少，在单调增加 .若，即，同理可得在单调减少，在单调增加 .（2）考虑函数则由于1<a<5,故，即g（x）在（4, +8）单调增加，从而当时有，即，故，当时，有 12分（本小题满分 12分）已知函数1）如，求的单调区间；2）若在单调增加，在单调减少，证明V6.1）单调减.（2）由条件得：从而因为将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是.（本小题满分100分）已知函数满足。（I）求的解析式及单调区间；（n）若，求的最大值。答案详解（I）,得：，在上单调递增，，，得：的解析式为，且单调递增区间为，单调递减区间为。（n）得。①当时，在上单调递增， 时，与矛盾；②当时，，，得：当时，，。令；则，，，当时，；当时，的最大值为。解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性，利用函数单调性求极值。（D先对函数求导得。当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。（n）构造函数，求导得。讨论在不同取值的情况下函数的单调性，通过求得函数的极值，求得关于表达式的取值范围，再构造函数，求导取极值，得出的最大值。设为常数，曲线与直线在点相切。1）求的值；（ 2）证明：当时，。答案详解（1）由的图象过点，代入得。由在处的切线斜率为，又，得。2）由均值不等式，当时，，故记，则，所以 ，所以 0令，则当时，。因此在内是减函数，又由，得，所以，因此在内是减函数，又由，得，于是，当时，。解析:本题主要考查导数的应用及不等式的证明。1）由与直线在点相切得过点，且，解方程即可求出，。2）令，注意到，可考虑证明单调递减。对求导数，通过判断的正负研究的单调性。解读第二问欲证的不等式为：，一般来说，我们的思路是证明（记）且，然而对本题来说可能比较困难，函数式掺杂了对数和根式，求导计算会比较麻烦，于是我们想到放缩。那么如何放缩呢？对数求导显然比根式求导后的式子简单，于是我们考虑放缩根式，且放缩到求导后形式简洁的式子，一次函数是个理想的函数，这时，想到切线正好是一次的，且不会放缩的过大，于是我们取根式在处的切线方程（切线方程是个有力的放缩武器），接下来的证明就十分自然了。如果不用放缩法，也可以化简该不等式，用换元法。我们取，则，不等式化为，即，求导得，注意到时该式子为零，故有这个因式，通分后对分子因式分解得，有，可得导数小于零，从而不等式获证。10.（本题满分100分）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行。（I）求的值；（n）求的单调区间；（田），其中为的导函数，证明：对任意，。答案详解（I）由，得，，由于曲线在处的切线与轴平行，所以，因此。（n）由（I）得，，令，，当时，；当时，，又，所以时，；时，；因此的单调递增区间为，单调递减区间为。因此对任意，等价于，由(n),,所以，。因此，当时，，单调递增；当时，，单调递减。所以的最大值为，故。设，因为，所以时，，单调递增。，故时，，即，所以，因此对任意，。解析：本题主要考查函数的求导和求解函数单调区间。(D先对函数求导，得导函数，代入切点的横坐标值，即，可求得。(n)由，，这时不能直接判断的正负性，先令，，通过求导判断该函数的单调性，然后可判断得当时，；当时，，从而判断出的正负性，即 的单调递增区间为，单调递减区间为。(田)由题，，可先将所证等价转化为证明，分析函数，，求导判断其单调性求得，而，则，故得证对任意，。七、求参数范围1.(本小题共13分)设函数(I)求曲线在点处的切线方程； (n)求函数的单调区间；(出)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.(I)；(n)由f(x),得,若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，(出)由(n)知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是^TOC\o"1-5"\h\zex 42.()设f(x) 2,其中a为正实数(I)当a—时，求f(x)的极值点；ax 3(n)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围. 4-. 2 一3 1(I)当a3时，令f(x)0,则4x8x30.解得x1-,x2-,列表得x(,2)12(1，-3)223232，f(x)十0一0十f(x)极大值极小值31一，，…x1一是极小值点，x2—是极大值点.2 2(n)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合f(x)ex1ax22ax与条件a>0,(1ax)知ax22ax10在R上恒成立，因此 4a24a4a(a1)0.由此并结合a>0,知0a1..已知函数，曲线在点处的切线方程为。(I)求、的值；(n)如果当，且时，，求的取值范围。I),由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，。(n)由(I)知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，，可得；当时，，可得， ；从而当，且时，，即(ii)设。由于当时，，故，而，故当时，，可得，，与题设矛盾。(iii)设。此时，而，故当时，，可得，而，与题设矛盾。综合得，的取值范围为。解析：本题主要考查函数求导和函数的单调性，以及分类讨论思想。(D先对函数求导，将点代入到导函数，得出斜率，又在直线上，从而得到两个方程，联立解得的值。(n)本问为不等式与函数的问题，要进行分类讨论，讨论时应注意不要漏情况。首先将不等式转化为求函数极值。即将不等式右边式子左移，得讨论函数，这里应注意的取值范围。通过分类讨论可得取值范围为。解读本题(2)中，若直接对作差后所得的函数求导，形式繁杂，且不易得出导数零点。由于只是判断函数的正负号，可以提出，这样，余下的部分的求导变得简单可行，且的正负容易判断。.本小题满分100分)已知函数。(1)求的单调区间；(2)若对于任意的，都有，求的取值范围答案详解1）。令，得。当时，与的情况如下：所以，的单调递增区间是和；单调递减区间是。当时，与的情况如下：所以，的单调递减区间是和；单调递增区间是。2）当时，因为，所以不会有，。当时，由（ 1）知在上的最大值是，所以等价于，解得。解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性问题。1）先对函数求导得。当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。2）利用函数的单调性，求得的最大值，代入不等式，即可求得的取值范围。本小题满分 12分）已知函数，，其中，1）若在处取得极值，求的值；（2）求的单调区间；3）若的最小值为，求的取值范围。答案详解（1）因为，所以，又在处取得极值，所以。2）令，当，即时，在定义域内恒成立，所以函数在内单调递增；当，即时，在区间内，函数递减；在区间内，函数递增。综上所述，当时，函数在区间内单调递增；当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增。3）当时，函数在区间内单调递增，此时，所以满足条件；当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，此时，所以不满足题意，所以的取值范围为。解析:本题主要考查函数与导数的单调性、函数的极值。1）对函数求导，在函数极值点处导数有意义时导数为零，然后计算求解；2）导数大于零时函数递增，导数小于零时函数递减，然后分类讨论的取值范围进行求解；3）分两种情况讨论函数的最小值，满足函数最小值为的的取值范围即为解。设函数。（1）若为的极值点，求实数；2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。注：为自然对数的底数。答案详解（1）求导得。因为是的极值点，所以，解得或，经检验，符合题意，所以或。2）①当时，对于任意的实数，恒有成立。②当时，由题意，首先有，解得，由（1）知，令，则，且又在内单调递增，所以函数在内有唯一零点，则，，从而，当时，；当时，；当时，。即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要是对恒成立，只要成立。由，知将③代入①得。又，注意到函数在内单调递增，故。再由③以及函数在内单调递增，可得。又②解得，。所以。综上，的取值范围为。解析:本题主要考查导数以及不等式的综合运用。（1）本题应该先对函数求导，又因为为的极值点，所以，据此便可解的实数的取值范围。2）由于当时，，所以此时恒成立，所以只需讨论当时的情况即可。本题应该先判断出的零点即的极值点，从而可判断出的单调性。最后判断得在内单调递增，在中单调递减，在中单调递增。所以应该使得在该区间内的极大值点或者在端点处满足，这样便可解得的取值范围。已知，，函数。（1）证明：当时，i）函数的最大值为；（ii） ；2）若对恒成立，求的取值范围。答案详解（1）（i）。当时，有，此时在上单调递增。当时，。此时在上单调递减，在上单调递增。所以当时，ii）由于，故当时，当时，设，则。所以，。所以当时，。故。2）由（i）知，当时，，所以。若，则由（ii）知，。所以对任意恒成立的充要条件是，即，或，在直角坐标系中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段，做一组平行直线，得，所以的取值范围是。解析:本题主要考查利用导函数判断函数单调性和利用线性规划求解极值。1）（ i）先对函数求导，得导函数，讨论和两种情况下函数的单调性，求得。ii） 分别讨论和两种情况下，对进行放缩。再令，对其求导，分析其单调性，求得。故可得。2）列出对任意恒成立的充要条件，画出不等式组的平面区域图，设目标函数为，可求得的取值范围为。

.(本小题满分13分)已知函数f(x)=eaxx,其中awo.(i)若对一切xer,f(x)>l恒成立，求a的取值集合.(2)在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1x2)，记直线AB的斜率为K,问：是否存在x06(xi, x2),使f (x0) k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由 ^解：(I)解：(I)若a0,则对一切x0,f(x)axex1,这与题设矛盾，又a0,故a0.1 1而f(x)ae1,令f(x)0,得x—ln—.aa„ 1.1 .当x—In—时，f(x)aa„ 1.1 .当x—In—时，f(x)aa一…1 1 1取最小值“Ln1)1aaa于是对一切xR,f(x)0,f(x)单调递减；当x1,1 ,,、—ln—时，f(x)aa八一、 1, 1 一、0,f(x)单调递增，故当x—ln—时，f(x)aa一In-.1恒成立，当且仅当1ln11.令g(t)ttlnt,则g(t)Int.当0t1当0t1时，g(t