2022年全国统一高考冲刺新课标Ⅱ数学冲刺（理科）

2020年全国统一高考新课标Ⅱ数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，，0，1，2，，，0，，，，则A．， B．，2，C．，，0， D．，，0，2，2．（5分）若为第四象限角，则A． B． C． D．3．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名4．（5分）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块5．（5分）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为A． B． C． D．6．（5分）数列中，，．若，则A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为A． B． C． D．8．（5分）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．若的面积为8，则的焦距的最小值为A．4 B．8 C．16 D．329．（5分）设函数，则A．是偶函数，且在，单调递增 B．是奇函数，且在，单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减10．（5分）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为A． B． C．1 D．11．（5分）若，则A． B． C． D．12．（5分）周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，，2，，且存在正整数，使得，2，成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的序列，，2，，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的序列中，满足，2，3，的序列是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知单位向量，的夹角为，与垂直，则．14．（5分）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种．15．（5分）设复数，满足，，则．16．（5分）设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是．①②③④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，，2，，，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本，，2，，的相关系数（精确到；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．19．（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．（1）求的离心率；（2）设是与的公共点．若，求与的标准方程．20．（12分）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．（1）证明：，且平面平面；（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）已知曲线，的参数方程分别为为参数），为参数）．（1）将，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．

2020年全国统一高考新课标Ⅱ数学试卷（理科）参考答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，，0，1，2，，，0，，，，则A．， B．，2，C．，，0， D．，，0，2，【分析】先求出，再根据补集得出结论．【解答】解：集合，，0，1，2，，，0，，，，则，0，1，，则，，故选：．2．（5分）若为第四象限角，则A． B． C． D．【分析】先求出是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，即可判断．【解答】解：为第四象限角，则，，则，是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，，故选：．3．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【分析】由题意可得至少需要志愿者为名．【解答】解：第二天的新订单超过1600份的概率为，就按1600份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于就按1200份计算，因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为名，故选：．4．（5分）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【分析】由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，根据等差数列的性质即可求出，再根据前项和公式即可求出．【解答】解：方法一：设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，由等差数列的性质可得，，成等差数列，且，则，则，则三层共有扇面形石板块，方法二：设第环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，，，下层比中层多729块，，，，解得，，故选：．5．（5分）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为A． B． C． D．【分析】由已知设圆方程为，代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，．故圆的方程为，再把点代入，求得或1，故要求的圆的方程为或．故所求圆的圆心为或；故圆心到直线的距离或；故选：．6．（5分）数列中，，．若，则A．2 B．3 C．4 D．5【分析】在已知数列递推式中，取，可得，则数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前项和公式列式求解．【解答】解：由，且，取，得，，则数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，，，即．故选：．7．（5分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为A． B． C． D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出图形中的对应点．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图：如图所示：根据三视图和几何体的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，所以在侧视图中与点对应．故选：．8．（5分）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．若的面积为8，则的焦距的最小值为A．4 B．8 C．16 D．32【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点，的坐标，根据面积求出，再根据基本不等式即可求解．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为，分别将，代入可得，即，，则，，当且仅当时取等号，的焦距的最小值为，故选：．9．（5分）设函数，则A．是偶函数，且在，单调递增 B．是奇函数，且在，单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【分析】求出的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数的单调性，由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由，得．又，为奇函数；由，．可得内层函数的图象如图，在上单调递减，在，上单调递增，则，上单调递减．又对数式是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，在上单调递减．故选：．10．（5分）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为A． B． C．1 D．【分析】画出图形，利用已知条件求三角形的外接圆的半径，然后求解即可．【解答】解：由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，，可得：，球的表面积为，外接球的半径为：；所以，解得，所以到平面的距离为：．故选：．11．（5分）若，则A． B． C． D．【分析】方法一：由，可得，令，则在上单调递增，且，结合函数的单调性可得，的大小关系，结合选项即可判断．方法二：根据条件取，，即可排除错误选项．【解答】解：方法一：由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故．方法二：取，，满足，此时，，可排除．故选：．12．（5分）周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，，2，，且存在正整数，使得，2，成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的序列，，2，，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的序列中，满足，2，3，的序列是A． B． C． D．【分析】分别为4个选项中，2，3，4进行讨论，若有一个不满足条件，就排除；由题意可得周期都是5，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列，继续写出，如答案中的排列为100011000110001．【解答】解：对于选项：序列1101011010（1），（2），不满足，2，3，，故排除；对于选项：序列1101111011（1），不满足条件，排除；对于选项：序列100011000110001（1），（2），（3），（4），符合条件，对于选项：序列1100111001（1）不满足条件．故选：．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知单位向量，的夹角为，与垂直，则．【分析】由已知求得，再由与垂直，可得，展开即可求得值．【解答】解：向量，为单位向量，且，的夹角为，，又与垂直，，即，则．故答案为：．14．（5分）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有36种．【分析】先从4人中选出2人作为一组有种方法，再与另外2人一起进行排列有种方法，相乘即可．【解答】解：因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有种．故答案为：36．15．（5分）设复数，满足，，则．【分析】利用复数模的计算公式和复数的运算性质，求解即可．【解答】解：复数，满足，，所以，，．得．．又，故．故答案为：．16．（5分）设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①②③④【分析】根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系对四个命题分别判断真假即可得到答案．【解答】解：设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，：若直线平面，直线平面，则．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；由复合命题的真假可判断①为真命题，②为假命题，③为真命题，④为真命题，故真命题的序号是：①③④，故答案为：①③④，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．【分析】（1）运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；（2）方法一、运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值．方法二、运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）设的内角，，所对的边分别为，，，因为，由正弦定理可得，即为，由余弦定理可得，由，可得；（2）由题意可得，又，可设，，，由正弦定理可得，可得，，则周长为，，当，即时，的周长取得最大值．另解：，，又，，由，则（当且仅当时，“”成立），则周长的最大值为．18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，，2，，，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本，，2，，的相关系数（精确到；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．【分析】（1）由已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以200得答案；（2）由已知直接利用相关系数公式求解；（3）由各地块间植物覆盖面积差异很大可知更合理的抽样方法是分层抽样．【解答】解：（1）由已知，，个样区野生动物数量的平均数为，该地区这种野生动物数量的估计值为；（2），，，；（3）更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．19．（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．（1）求的离心率；（2）设是与的公共点．若，求与的标准方程．【分析】（1）由为的焦点且轴，为的焦点且轴，分别求得的坐标和，，由已知条件可得，，，的方程，消去，结合，，和的关系，解方程可得的值；（2）由（1）用表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得，进而得到所求曲线方程．【解答】解：（1）因为为的焦点且轴，可得，，设的标准方程为，因为为的焦点且轴，所以，，，因为，，的焦点重合，所以，消去，可得，所以，所以，设的离心率为，由，则，解得舍去），故的离心率为；（2）由（1）可得，，，所以，，联立两曲线方程，消去，可得，所以，解得或（舍去），从而，解得，所以和的标准方程分别为，．20．（12分）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．（1）证明：，且平面平面；（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．【分析】（1）推导出，四边形为矩形，，从而，由此能证明，且平面平面．（2）推导出，从而，四边形为平行四边形，，，，直线在平面内的投影为，从而直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：，分别为，的中点，底面为正三角形，，四边形为矩形，，，，，，，，平面，平面，平面平面，综上，，且平面平面．（2）解：三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，，，面，面，面面，，四边形为平行四边形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直线在平面内的投影为，直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，在等腰梯形中，令，过作于，则，，，，直线与平面所成角的正弦值为．21．（12分）已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2