北京市101中学2012届高三上学期统考二数学试卷(文科)

北京市101中学2012届上学期高三年级统考二数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。设会集A1,2,3，则会集A的真子集的个数是A.3个B.6个C.7个D.8个2.已知向量a1,2，向量bx,2，且aab，则实数x等于A.－4B.4C.0D.93.以下函数中，在0,上为减函数的是A.fx3xB.fxlog1xC.fxxD.fx12x4.已知p:a121，q:xR,ax2ax10，则p是q成立的A.充分不用要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件5.设函数fx2x,x0,若fx是奇函数，则g2的值是gx,x01A.B.－4C.4xax6.函数y0a1的图象的大体形状是|x|

1D.447.已知数列an的通项公式anlog2nnN*，设其前n项和为Sn，则使Sn4成立的自然数n有n1A.最大值15B.最小值15C.最大值16D.最小值168.a1a2a2a3，将函数fx3sinx0）的图象向定义运算：a1a41cos（a3a4x左平移5个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是61B.1C.11D.2A.55二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。把答案填在题中横线上。函数y1lgx的定义域为_____________。在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b23bc,sinC23sinB，则A＝_____________。11.函数fxx2,x11x的值域是_____________。,1xn21，其中n1,2,3，，那么12.已知数列an的前n项和Sna5_____________；通项公式an_____________。x0y1的最小13.当实数x满足拘束条件yx（其中k为小于零的常数）时，2xyk0x值为2，则实数k的值是_____________。14.以下命题中：①若函数fx的定义域为R，则gxfxfx必然是偶函数；②若fx是定义域为R的奇函数，关于任意的xR都有fxf2x0，则函数fx的图象关于直线x1对称；③已知x1,x2是函数fx定义域内的两个值，且x1x2，若fx1fx2，则fx是减函数；④若fx是定义在R上的奇函数，且fx2也为奇函数，则fx是以4为周期的周期函数。其中正确的命题序号是_____________。三、解答题：本大题共6小题，共80分（本小题满分13分）已知会集Ax|x24x4a20，会集Bx|x22x150（I）若a1，求AB；II）若AB，求实数（本小题满分13分）已知函数fxcos2x

的取值范围。sin2x23sinxcosx。（I）求f的值和函数fx的最小正周期；12（II）求fx的单调递减区间及最大值，并指出相应的x的取值会集。（本小题满分13分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？（本小题满分13分）已知等差数列an的前n项和为Sn，已知a59,S10100。（I）求通项an；Sn1的前n项和为Un，求证：（II）记数列的前n项和为Tn，数列nSn1Tn1Un2。（本小题满分14分）设函数fx1x3ax23a2x1a0。3（I）求函数fx的单调区间、极大值和极小值。（II）若xa1,a2时，恒有fx3a，求实数a的取值范围。（本小题满分14分）已知数列an中，a10,an1anqqn1,q0，bnan2n,n1，2，3，an（I）求证数列是等差数列；qn（II）试比较bb与b2的大小；132（III）求正整数k，使得关于任意的正整数n,bkbn恒成立。bk1bn1【试题答案】一、选择题：CDBAADDB二、填空题：9.(0,10]10.30°或611.[0,)0n113.－312.9；1n22n三、解答题：本大题共6小题，共80分。15.（Ⅰ）当a1时，x24x30，解得1x3。则Ax|1x3。（2分）由Bx|x22x150得3x5则Bx|3x5（4分）所以ABx|1x3（5分）（Ⅱ）由Ax|x24x4a20x|x2ax2a0，（6分）当a0时，A，适合AB。（8分）2a3当a0时，得2ax2a，若AB，2a5,0a3（10分）a02a3当a0时，得2ax2a，若AB，2a5,3a0（12分）a0所以实数a的取值范围是a|3a3。（13分）16.解：（I）fxcos2x3sin2x2sin2x6，（4分）∴f2sin662sin33。（6分）12函数fx的最小正周期T2。（7分）2（II）由（I）知fx2sin2x6，函数fx的最大值为2。（8分）相应的x的会集为x|xkkZ（10分）6∵2k2x2k3，kZ（11分）26∴fx的单调递减区间为k,k2，kZ。（13分）36ab900017.解法1：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则①广告的高为a20，宽为2b25，其中a0,b0。（3分）广告的面积Sa202b25（5分）2ab40b25a5001850025a40b（6分）18500225a40b185001000ab24500。（9分）当且仅当25a40b时等号成立。（10分）此时b5a，代入①式得a120，从而b75。（12分）8即当a120，b75时，S获取最小值24500。故广告的高为140cm，宽为170cm时，可使广告的面积最小。（13分）解法2：设广告的高和宽分别为xcm,ycm，则每栏的高和宽分别为x20，y25，其中x20,y25。2两栏面积之和为2x20y2518000，由此得y1800025，2x20广告的面积Sxyx18000251800025x，x20x2036000025x2018500。整理得S20x因为x200，所以S236000025x201850024500。x20当且仅当36000025x20时等号成立。x2018000此时有x20214400x20，解得x140，代入y25得y175。即当x140,y175时，S获取最小值24500，x20故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小。18.解：（1）a5a14d9S1010a1109100，（2分）2d解得a11，d2，（4分）ana1n1d2n1；（6分）（2）Snna1ann2，Snn,Tnnn1，（8分）Sn1Tn12n2n1n1n2nn1。222Sn112211，（10分）Tn1nn1nn1Un2111111...1122334nn12112（13分）n119.解：（Ⅰ）fxx22ax3a2，（1分）令fxx22ax3a20，得xa或x3a。（2分）则当x变化时，fx与fx的变化情况以下表：x,aa（a,3a）fx＋0－fx递加5a31递减3可知：当x,a时，函数fx为增函数，当x3a,时，函数fx也为增函数。（5分）当xa,3a时，函数fx为减函数。（6分）

3a（3a，）0＋9a31递加当xa时，fx的极大值为5a31；（7分）3当x3a时，fx的极小值为9a31。（8分）（II）因为fxx22ax3a2的对称轴为xa，且其图象的张口向上，所以fx在区间a1,a2上是增函数。（10分）则在区间a1,a2上恒有fx3a等价于fx的最小值大于3a成立。所以fa1a122aa13a24a213a。（12分）解得11，又a0，则a的取值范围是0,1。（13分）a4qqn120.解：（1）∵an1anqqn1q0，∴an1anan1，qn1qn1qn又a10，q即数列an是以0为首项，1为公差的等差数列。（3分）qn且ann1,ann1qn,n1,2,3,...qn（Ⅱ）bnan2nn1qn2n（4分）∴b2,bq24,b2q38（5分）123∴b22b1b2q2222q38q48q2164q3164q44q38q2q2q24q8q2q2240，∴b22b1b2（8分）（Ⅲ）∵bnn1qn2n,n1,2,3,...，∴bn0b12,b2q24,bn1nqn12n1bnb1b2bnb1bn1bn1b2b2bn1又b2bnb1bn1q24n1qn2