第十章概率知识点复习导学案- 高中数学人教A版（2019）必修第二册

第十章概率知识点复习导学案10.1随机事件与概率【知识点一】样本点和样本空间定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间=为有限样本空间【知识点二】随机事件、必然事件与不可能事件随机事件:我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.必然事件:作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件.不可能事件:空集中不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.【知识点三】事件的关系和运算1.事件的关系定义符号图示包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B2.交事件与并事件定义符号图示并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或积事件)一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)3.互斥事件和对立事件定义符号图示互斥事件一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)A∩B＝∅对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq\x\to(A)A∪B＝ΩA∩B＝∅【知识点四】古典概型1.随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.2.古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.3.古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).【知识点五】概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).10.2事件的相互独立性【知识点一】相互独立事件的概念对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.【知识点二】相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立.10.3频率与概率【知识点一】频率的稳定性在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).【知识点二】随机模拟用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.基本题型一、独立事件、互斥事件、对立事件的判断【例1－1】．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球【答案】D【解析】根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.【例1－2】（多选）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确故选：BD【例1－3】．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则()A．事件与互为对立事件 B．事件与为互斥事件 C．事件与事件相等 D．事件与相互独立【答案】D【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，事件与事件相互独立．【变式1－1】．（多选）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】AB【解析】”至少有一个黑球“中包含“都是黑球，正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，不正确．【变式1－2】分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，，设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则A．与互斥 B．与不对立 C．与相互独立 D．【答案】BCD【解析】分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，，设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，与相互独立，故错误，和都正确；，故正确．【变式1－3】．在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是A．与是互斥事件，也是对立事件B．与是互斥事件，也是对立事件C．与是互斥事件，但不是对立事件D．与是互斥事件，也是对立事件【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于，事件，，，彼此互斥，则与是互斥事件，但（A），则与不是对立事件，错误；对于，事件，，，彼此互斥，则与是互斥事件，但（D），则与不是对立事件，错误；对于，事件，，，彼此互斥，则与是互斥事件，但，则与是对立事件，错误；对于，事件，，，彼此互斥，则与是互斥事件，但，则与是对立事件，正确．【变式1－4】．（多选）若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾 D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCD【解析】根据题意，依次分析选项：对于，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件，对于，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于，甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件．【变式1－5】．随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件，记“向上的点数之差为奇数”为事件，则()A． B． C．，互斥但不对立 D．，对立【答案】事件与事件既不能同时发生，又不能同时不发生，是对立事件．【解析】随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件，记“向上的点数之差为奇数”为事件，则事件与事件既不能同时发生，又不能同时不发生，是对立事件，故，，均错误，正确．【变式1－6】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号)①A，B；②A，C；③B，C.【答案】①②③【解析】根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.【变式1－7】下列各对事件中,不是相互独立事件的有()A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【答案】ACD【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A､B不独立,故选：ACD二、独立事件、互斥事件、对立事件概率的计算【例2－1】甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为．【答案】【解析】设事件事件表示“甲参加知识竞赛”，事件表示“乙参加知识竞赛”，则（A），（B），甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为：（A）（B）．【例2－2】（多选）已知事件，，且（A），（B），则下列结论正确的是A．如果，那么， B．如果与互斥，那么， C．如果与相互独立，那么， D．如果与相互独立，那么，【答案】BD【解析】由事件，，且（A），（B），知：对于，如果，那么，，故错误；对于，如果与互斥，那么（A）（B），，故正确；对于，如果与相互独立，那么（A）（B），（A）（B），故错误；对于，如果与相互独立，那么，（A），故正确．【例2－3】某高校的入学面试中有4道不同的题目，每位面试者都要回答这4道题目．已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为，，，，假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试．用表示事件“李明答对第道题”，2，3，．（1）写出所有的样本点；（2）求李明通过面试的概率．【解析】解：（1）用表示事件“李明答对第道题”，2，3，．则所有的样本点为：，，，，，，，，，，，，，，，．（2）李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为，，，，假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试．李明通过面试的概率为：．【例2－3】溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．【解析】解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为（A），甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为（B）．甲队总得分为3分与1分的概率分别为，．（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则（C），事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则（D），由题意得事件与事件相互独立，甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：（C）（D）．【变式2－1】已知三个事件，，两两互斥且（A），，（C），则．【答案】0.9【解析】三个事件，，两两互斥，，可得（B），则（A）（B）（C）．【变式2－2】抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为A． B． C． D．【答案】A【解析】事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“不小于5的点数出现”，（A），（B），又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件和事件为互斥事件，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为（A）（B）．【变式2－3】为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．【解析】解：（1）设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，则表示“甲赢得比赛”，，表示“乙赢得比赛“，，，派甲参赛赢得比赛的概率更大．（2）设表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”，由（1）知，，表示“两人中至少有一个赢得比赛”，．【变式2－4】甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点，在点处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点，在点处投中一球得3分，不中得0分．已知甲、乙两人在点投中的概率都为，在点投中的概率都为．且在，两点处投中与否互不影响．设定甲、乙两人先在处各投篮一次，然后在处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分．已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为．（1）求，的值；（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率．【解析】解：（1）设，，，分别表示在一次比赛中甲得0分，2分，3分，5分的事件，，，，分别表示在一次比赛中乙得0分，2分，3分，5分的事件，根据独立性假定得：，解得，．（2）由已知得，，，，设“‘星队’在一次比赛中的总得分为5分”，则，则（C）．“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率为．三、古典概型【例3－1】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，若采取有放回简单随机抽样，则抽到的两人中有一男一女的概率是A． B． C． D．【答案】C【解析】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，采取有放回简单随机抽样，用、表示两名男生，、表示两名女生，基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、、共16种，抽到的两人中有一男一女的基本事件是：、、、、、、、共8种，所以所求的概率是．【例3－2】在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】用表示两位老师的打分，则的所有可能情况有种.当时，可取，，共种；当，，，，，，，时，的取值均有种；当时，可取，，共种；综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的情况有种，由古典概型的概率公式可得所求概率故选：C.【例3－3】（多选）已知甲罐中在四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为 C．事件发生的概率为 D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为【答案】BC【解析】甲罐中在四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，对于，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数，事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个，（A），故错误；对于，事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个，（B），故正确；对于，事件包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，（C）．对于，从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，故错误．【变式3－1】某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】甲先从袋中摸出一个球，有6种可能的结果，乙再从袋中摸出一个球，有6种可能的结果如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：36个甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为30个甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是，故选：A．【变式3－2】把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；共18种分法，则2，3连号的概率为.故选：B.【变式3－3】《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为A． B． C． D．【答案】C【解析】基本事件总数，田忌的马获胜包含的基本事件有3种情况，分别为：田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，则田忌的马获胜的概率为．【变式3－4】人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”，人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基因、隐形基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的．生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】控制不同性状的基因遗传时互不干扰．有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，基本事件总数，他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，分别为：，，，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为．【变式3－5】甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，假设从高到底为甲、乙、丙、丁，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数有24个，分别为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，甲乙丁，甲丁乙，乙甲丁，乙丁甲，丁甲乙，丁乙甲，甲丙丁，甲丁丙，丙甲丁，丙丁甲，丁甲丙，丁丙甲，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丙丁乙，丁乙丙，抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件有8个，分别为：乙甲丙，丙甲乙，乙甲丁，丁甲乙，丙甲丁，丁甲丙，丙乙丁，丁乙丙，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为．【变式3－6】三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？【解析】记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，则P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝P(C)＝eq\f(3,4)，电路不发生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一个正常工作，T2，T3至少有一个正常工作的概率P1＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(15,16)，所以整个电路不发生故障的概率为P＝P(A)×P1＝eq\f(1,2)×eq\f(15,16)＝eq\f(15,32).四、频率的稳定性与随机模拟【例4－1】下列说法一定正确的是()A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B.一个骰子掷一次得到2的概率是eq\f(1,6)，则掷6次一定会出现一次2C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D.随机事件发生的概率与试验次数无关【答案】D【解析】A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.【例4－2】在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：423231423344114453525323152342345443512541125342334252324254相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．解：由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423231423114323152342512125342334252324有13组，所以甲获胜的频率为，所以甲获得冠军的概率的近似值约为，故答案为：【变式4－1】下列说法正确的有()①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．

∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．

∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．

∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴③错误．

若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误

∴说法正确的有两个，故选C．【变式4－2】一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：110321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计事件M发生的概率为A.29 B.13 C.5【答案】B解：事件A包含红色小球和黄色小球，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，

包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6组，故所求概率P=618=13．故选【例5－1】某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中，分数段的人数比，分数段的人数多6人．（1）根据频率分布直方图，求，的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在，，，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．【解析】解：（1）依题意，，解得，，中位数为．（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件由题意知，在分数为，的同学中抽取4人，分别用，，，表示，在分数为，的同学中抽取2人，分别用，表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15种，抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共8种，所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为．【例5－2】为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：，并将得到的数据按如下方式分为9组：，，，，，，．绘制得到如图的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在，的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数；范围用左开右闭区间表示）；（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为，和，的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率．【解析】解：（1）由频率分布直方图得：样本落在，，，，，，，的频率为0.02，0.15，0.27，0.23，落在，，，，，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01，样本落在，的频率为：，样本中用电量在，的用户数为．（2）为了使的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的分位数，，．的分位数必位于，内，．，分位数为280．第二档的范围可确定为，．（3）由题可知，样本中用电量在，的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4，在，的用户有2户，设编号为，，则从6户中任取2户的样本空间为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个样本，设事件“走访对象来自不同分组”，则，，，，，，，，（A），走访对象来自不同分组的概率．【变式5－1】4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中，的值；（2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从，和，两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率．【解析】解：（1）从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长，样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，，，．（2）由频率分布直方图得该市中学生阅读时长不小于10小时的频率为：．估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率为0.15．（3）用比例分配的分层抽样的方法从，和，两组中共抽取了6名学生参加座谈会，从，中抽取：人，从，中抽取：人，从这6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，基本事件总数，这2名学生来自不同组包含的基本事件个数．这2名学生来自不同组的概率．【变式5－2】受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学，某学校“停课不停学“，利用云课平台提供免费线上课程，该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图．（1）求图中的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率，若采用分层抽样的方法，从样本评分在，和，内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在，内的概率．【解析】解：（1）由频率分布直方图的性质得：，．（2）由频率分布直方图得：，的频率为，，的频率为，中位数为：．（3）由题知评分在，，，内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在，内的为2人，评分在，的有3人，记评分在，内的3位学生为，，，评分在，内的2位学生为，，则从5人中任选2人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共10