人教版中职数学(基础模块)知识点汇总

人教版中职数学（基础模块）知识点汇总第一章集合构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。注：A描述法{上|匚二,£|力}；另重点类型如：{yly=x2-3x+1,xe（-1,3]}元素元素性质取值范围常用数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N*（正整数集）、Z+（正整数集）元素与集合、集合与集合之间的关系：（1）元素与集合是“e”与“任”的关系。（2）集合与集合是“之”"”“=”“生”的关系。注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑。是否满足题意）一个集合含有n个元素，则它的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）AAB={xlxeA且xeB}：A与B的公共元素（相同元素）组成的集合AUB={xlxeA或xeB}：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。CA：U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。U注：C（AAB）=CAUCBC（AUB）=CAACBUUUUUU逻辑联结词：且（a）、或（v）非（「）如果……那么……（n）量词：存在（3）任意（V）真值表：paq：其中一个为假则为假，全部为真才为真；pvq：其中一个为真则为真，全部为假才为假；「p:与p的真假相反。（同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”假为假，假“推”真假均为真。）充分必要条件Ap是q的……条件p是条件，q是结论

充分一二二n不必要充分一二二n不必要不充分二W^^

p《=q必要充分PMq

必要不充分二wn

pw=w=q不必要Tp是q的充分不必要条件（充分条件）fp是q的必要不充分条件（必要条件）Tp是q的充分必要条件（充要条件）Tp是q的既不充分也不必要条件第二章不等式.不等式的基本性质：注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。.重要的不等式：（A均值定理）（1）a2+b2>2ab，当且仅当a=b时，等号成立。（2）a+b>2ab（a,beR+），当且仅当a=b时，等号成立。（3）a+b+c>3abc（a,b,ceR+），当且仅当a二b二c时，等号成立。注：”b（算术平均数）>ab（几何平均数）2一元一次不等式的解法一元二次不等式的解法保证二次项系数为正分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；小于两根之间注：若A=0或A<0，用配方的方法确定不等式的解集。绝对值不等式的解法Ixl<ao—a<x<aIxI>aox>a或x<—a分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.第三章函数1.函数:（1）定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数。（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。函数的三要素：定义域、值域、对应法则A定义域的求法：使函数(的解析式)有意义的％的取值范围主要依据：分母不能为0偶次根式的被开方式>0特殊函数定义域y=x0,x牛0y=ax,(a>0且a丰1),xgRy=logx,(a>0且a丰1),x>0a兀y=tanx,x丰k兀+—,(kgZ)(2)A值域的求法：y的取值范围正比例函数：y=kx和一次函数：y=kx+b的值域为R二次函数：y=ax2+bx+c的值域求法：配方法。如果x的取值范围不是R则还需画图像③反比例函数：y=-的值域为{yIy丰0}x④y=ax+b的值域为{yIy丰a}cx+dc⑤y=mx+n的值域求法：判别式法ax2+bx+c⑥另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。(3)解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。函数的奇偶性:定义域关于原点对称(2)若f(-x)=-f(x)f奇若f(-x)=f(x)f偶注：①若奇函数在x=0处有意义，则f(0)=0②常值函数f(x)=a(a*0)为偶函数③f(x)=0既是奇函数又是偶函数A函数的单调性：对于Vx、xg［a,b］且x<x，若1212［f(x)<f(x),称f(x)在［a,b］上为增函数<12If(x)>f(x),称f(x)在［a,b］上为减函数12增函数：X值越大，函数值越大；X值越小，函数值越小。减函数：X值越大，函数值反而越小；X值越小，函数值反而越大。复合函数的单调性：h(x)=f(g(x))f(X)与g(X)同增或同减时复合函数h(X)为增函数；f(X)与g(X)相异时(一增一减)复合函数h(X)为减函数。注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。二次函数:(1)二次函数的三种解析式:①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a丰0)②A顶点式：f(x)=a(x—k)2+h(a牛0)，其中(k,h)为顶点③两根式：f(x)=a(x一x)(x一x)(a丰0)，其中x、X是f(x)=0的两根212(2)图像与性质:A二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：①开口a>0f开口向上a<0f开口向下b②A对称轴：x=———2a③A顶点坐标：(——,4ac-b2)a4aA>0f有两交点④A与x轴的交点：vA=0f有1交点A<0f无交点⑤一元二次方程根与系数的关系：(韦达定理)fbX+x=-—aV12aX•X=c[12a⑥f(x)=ax2+bx+c为偶函数的充要条件为b=0⑦二次函数(二次函数恒大(小)于0)f(X)>0ofa>0O图像位于X轴上方[A<0f(X)<0ofa<0O图像位于X轴下方[A<0⑧若二次函数对任意X都有f(t-X)=f(t+X)，则其对称轴是X=t。⑨若二次函数f(X)=0的两根X、X12

i.若两根弋、X2一正一负，A>i.若两根弋、X2一正一负，A>0XX<012ii.若两根x、x同正(同负)12A>0若同正，则［x+X>0

12XX>012A>0若同负，则X+X<0

12XX>012iii.若两根x、x位于(a,b)内，则利用画图像的办法。12A>0若a>0,则<f(a)>0同样利用画f(b)>0同样利用画注：若二次函数f(X)=0的两根x、x；X位于(a,b)内，X位于(c,d)内，1212图像的办法。反函数:(1)函数y=f(x)有反函数的条件X与y是一一对应的关系(2)求y=f(x)的反函数的一般步骤：①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域②由原函数的解析式，求也二…③将x,y对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。A原函数与反函数之间的关系原函数的定义域是反函数的值域原函数的值域是反函数的定义域二者的图像关于直线y=x对称③原函数过点(a,b),则反函数必过点(b,a)原函数与反函数的单调性一致第四章指数函数与对数函数指数幂的性质与运算:(1)根式的性质：①n为任意正整数，(na)n=a②当n为奇数时，nan=a;当n为偶数时，"a”=1aI③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。零次幂：a0=1(a中0)

(1)负数指数嘉：”=((。wO,neN*)anm(2)分数指数幂：an=nam(a>0,m,neN+且n>1)(3)实数指数幂的运算法则：(a>0,m,neR)①am①am•an=am+n②(am)n=amn2.幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n次方。3.A幂函数y3.A幂函数y=当a>0时，当a<0时，(0,+8)上单调递增(0,+8)上单调递减4.指数与对数的互化ab=NologN=b(a>0且a丰1)、(N>0)a①对数基本性质：①10ga=①对数基本性质：①10ga=1a②log1=0a③alogan=N④logaN=NaA⑤logA⑤logb与loga互为倒数ologb-loga=1ologb1loga

blogbn=nlogbamma5.对数的基本运算:Alog(M5.对数的基本运算:Alog(M-N)=logM+logNloga=logM-logN6.A换底公式：6.A换底公式：10g10gNN='b(b>0且b中1)logab7.A指数函数、对数函数的图像和性质指数函数7.A指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数y=y=ax(a>0,a丰1的常数)y=logx(a>0,a丰1的常数)a⑵A⑵A图像经过(0,1)点(2)A图像经过(1,0)点(3)(3)aa>1,y=ax为增函数；0<a<1,y=ax为减函数a>1,y=logx在(0,+s)上为增函数；Aa,,।…0<a<1,y=logx在(0,+8)上为减函数a

.A利用嘉函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同事（次）或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。.指数方程和对数方程（1）指数式和对数式互化（2）同底法（3）换元法（4）取对数法注：△解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章三角函数180.弧度和角度的互换：180。=兀弧度，弧度。0.01745弧度，1弧度=（）。忆57。18'兀.扇形弧长公式和面积公式AL=1a|.r,AS=1Lr=1IaI-r2（记忆法：与S=1ah类似）扇扇22aabc2注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算。.C对边QinCZ.C对边QinCZ—/倒数1\r*qcd一记忆法：S、C互为倒数sina—4倒数斜边7csc^^—sina邻边res。-r倒数1记忆法：C、S互为倒数cosa—•，一\倒数斜边^esec^^—cosa对边1tana=<倒数>cota=邻边tana.特殊三角函数值：a0—00兀—3006兀—4504兀，八—6003兀八八—9002一象限sina01234个22222cosa43210J22222tana0313不存在个3.三角函数的符号判定：口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）（2）图像记忆法.A三角函数基本公式：tana=sina=1（可用于化简、证明等）cosacotasin2a+cos2a=1（1.可用于已知sinasin2a+cos2a=11+tan2a=sec2a（可用于已知cosa（或since）求tana或者反过来运用）1+tan2a=sec2a.诱导公式:(1)口诀：奇变偶不变，符号看象限。解释:(2)…71…、.•、指h+a（k£Z）,若k为奇数，则函数名要改变2分类记忆若k(1)口诀：奇变偶不变，符号看象限。解释:(2)…71…、.•、指h+a（k£Z）,若k为奇数，则函数名要改变2分类记忆若k为偶数函数名不变。①去掉偶数倍兀（即2k兀）②将剩下的写成a（一象限）、兀-a（二象限）、兀+a（三象限）、-a（四象限）再看象打，限定正负号（函数名称不变）；或写成2-a（一象限）冗、2+a「象限）,再看象限定正负号（要变函数名称）③A要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余或互补的关系。8.已知三角函数值求角a确定角a所在的象限求出函数值的绝对值对应的锐角a1写出满足条件的0〜2兀的角加上周期（同终边的角的集合）9.A和角、倍角公式:sin(a±P)=sinacosP±cosasinP注意正负号相同cosa±P)=coaco用干sinasinP注意正负号相反tanatana±tanPtan(a±P)=1'tanatanP0tana±tanP=tan(a±P)(1干tanatanP)sin2asin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a02tanatan2a02tanatan2a=1-tan2aatan21-cosa

sinasina=±1+cosa1-cosa1+cosa.三角函数的图像与性质性质函数值域同期单调性图像定义域y=[-1,1]函数值域同期单调性图像定义域y=[-1,1][2k兀一兀，2k兀+兀]个

22兀3兀[2kR+,2k兀+]J22y=cosxeX[-1,1][2k兀一兀y=cosxeX[-1,1][2k兀,2k兀+兀]JT=兀奇(krt-兀,k兀+兀)T22.正弦型函数y=Asin(3x+①)(A>0,3>0)2兀(1)定义域R，值域[-A,A](2)周期：T=2兀3(3)注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x的系数提出来，再看是怎样平移的。（4）y=asinx+bcosx类型，y=asinx+bcosx=a2+b2sin（x+p）12.正弦定理：a=b=°=2R（R为AABC的外接圆半径）sinAsinBsinC其他形式：a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC（注意理解记忆，可只记一个）a:b:c=sinA:sinB:sinC13.余弦定理：a2=b2+c2-213.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA14.三角形面积公式SAABC14.三角形面积公式SAABC1absinC=2bcsinA=acsinB2215.三角函数的应用中，注意同次、同角、同边的原则，以及三角形本身边、角的关系。如两边之各大于第三边、三内角和为1800，第一个内角都在(0,兀)之间等。第六章数列等差数列每一项与前一项之差为同一个常数等比数列每一项与前一项之比为同一个常数a-a=a-a=...=a-a=d2132nn-1义注：当公差d=0时，数列为常数列aaa2=3=...=n=q(q丰0)aaa12n-1注：等比数列各项及公比均不能为0；当公比为1时，数列为常数列通项

公式=a+(n-1)d1a=aqn-1

n1(1)(1)qn-manam(2)(2)a=aqn-m

nmA(3)若m+n=p+q，则A(3)若m+n=p+q，则aa=aamnpq中项

公式三个数a、b、c成等差数列，则有三个数a、b、c成等比数列，则有b2=ac前n项和公式其它2n-1n(n-1),=na+d12二(2n-1)a如：S=7aa(1-qn)11-qA等差数列的连续n项之和仍成等差数列A等比数列的连续n项之和仍成等比数列1.已知前n项和S的解析式，求通项ann(n=1)n-1(n>2)第七章平面向量.向量的概念（1）定义：既有大小又有方向的量。（2）向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A，终点为B的向量表示为AB。（3）向量的模（长度）：IABI或aI（4）零向量：长度为0，方向任意。单位向量：长度为1的向量。向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。.向量的运算（1）图形法则三角形法则平形四边形法则三角形法则平形四边形法则（2）计算法则力口法：AB力口法：AB+BC=AC减法：AB—AC=CA（3）运算律：力法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律.数乘向量：九a（1）模为：I九IIaI（2）方向：入为正与a相同；九为负与a相反。.AB的坐标：终点B的坐标减去起点A的坐标。AB=（x-x,y-y）BABA.a向量共线（平行）：a惟一实数入，使得a=九b。（可证平行、三点共线问题等）.平面向量分解定理：如果e,e是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任12一向量a，都存在惟一的一对实数a,a，使得a=ae+ae。向量a在基e,e下的坐12112212标为qa2）。.中点坐标公式：M为AB的中点，则OM=2（OA+OB）.A注意AABC中，（1）重心（三条中线交点）、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）的含义（2）若D为BC边的中点，则AD=-（AB+AC）坐标：两点坐标相加除以22（3）若O为AABC的重心，则AO+BO+CO=0;（重心坐标：三点坐标相加除以3）.向量的内积（数量积）:（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围［0,兀］。(2)内积公式：a•b=IaIIbIcos<a,b>10.向量内积的性质：cos<a,b>=ab(夹角公式)IaIIbIa•a=IaI2或IaI=-v：a•a(长度公式)11.向量的直角坐标运算：(1)AB=(x-x,y-y)BABA(2)设a=(a,a),b=(b,b),则a±b=(a±b,a±b)12121122九a=(九a,九a)a•b=ab+ab(向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积)12112212.向量平行、垂直的充要条件ab设a=(a,a),b=(b,b),则a//b0—二t(相对应坐标比值相等)1212ab22a±a±b今a•b=00ab+ab=01122（两个向量垂直则它们的内积为0）.长度公式:(1)向量长度公式：设a=(a,a)，则Ia1=a2+a2TOC\o"1-5"\h\z1212(2)两点间距离公式：设点A(x,y),B(x,y)则IABI=(x-x)2+(y—y)211222121.中点坐标公式：设线段AB中点为M,且A(x,y),B(x,y),M(x,y)，则1122x+xx=212(中点坐标等于两端点坐标相加除以2)y+yy=—L2[2第八章直线和圆的方程1.直线(1)倾斜角a:一条直线/向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是[0,兀)(2)斜率：①倾斜角为900的直线没有斜率；②k=tana(倾斜角的正切)注：当倾斜角a增大时，斜率k也随着增大；当倾斜角a减小时，斜率k也随着减小！③已知直线l的方向向量为v(v,v)，则k=v212lv1④经过两点P(x,y),P(x,y)的直线的斜率K=上&(x丰x)111222x—x1221A⑤直线Ax+By+C=0的斜率K=--直线的方程①两点式：上工=上、y-yx-x2121②A斜截式：y=kx+b③△点斜式：y-y=k(x-x)00④截距式：x+y=1a为/在x轴上的截距，b为/在y轴上的截距ab⑤A一般式：Ax+By+C=0其中直线l的一个方向向量为(-B,A)注：(I)若直线l方程为3x+4y+5=0,则与l平行的直线可设为3x+4y+C=0；与l垂直的直线可设为4x-3y+C=0。两条直线的位置关系①斜截式：l:y=kx+b与l:y=kx+bl//lok=k且b中b111222121212

l与l重合。k=k且b=b12l与l重合。k=k且b=b121212l±lok•k=-1,1212l与l相交ok丰k1212②一般式：l:Ax+Bx+C=0与l

11112:Ax+Bx+C=0

222l〃lo12ABC—1=—1丰—2ABC222l与l重合o12AB—1BC―2C2l±loAA+BB=0121212ABl与l相交o1中t12AB22（5）两直线的夹角公式①定义：两直线相交有四个角，其中不大于2的那个角。②范围：[吟③斜截式：l:y=kx+b与l:y=kx+b111222kktan0=1k~^I（可只记这个公式，如果是一般式方程可化成斜截式来解）+kk12一般式：l:Ax+Bx+C=0与l:Ax+Bx+C=011112222cos0=IAA+BBIcos0=A2+B2A2+B21122（6）点到直线的距离①△点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离：d=|Ax0+By0+C|00A2+B2IC-CI③两平行线Ax+By+C=0和Ax+By+C=0的距离：d=1212A2+B22.圆的方程(1)标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)其中圆心(a,b)，半径r。(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圆心（-r-2）半径「二Ix=rcos0+a⑶参数方程：（x-a）2+（y-b）2=r2的参数方程为jy=rcos0+b（0e[0,