两条直线平行与垂直的判定教（学）案

...wd......wd......wd...3.●三维目标1．知识与技能(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．2．过程与方法(1)利用“两直线平行，倾斜角相等〞这一性质，推出两直线平行的判定方法．(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系〞的观点看问题，提高学习数学的兴趣．(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．●重点难点重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，教师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．●教学建议本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的根基上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系．核心内容是两条直线平行与垂直的判定．结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经历出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原那么，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想．●教学流程创设问题情境，引出问题：直线的平行与垂直同其斜率间分别存在什么关系⇒eq\x(引导学生回忆初中几何知识，先建设倾斜角同平行与垂直间的关系.)⇒eq\x(通过引导学生答复所提问题理解斜率同直线的平行与垂直的关系.)⇒eq\x(通过例1及其变式训练，使学生理解直线的平行同其斜率间的关系.)⇒eq\x(通过例2及其变式训练，使学生理解直线的垂直同其斜率间的关系.)⇒eq\x(借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化.)⇒eq\x(归纳整理，进展课堂小结，整体认识本节课所学知识.)⇒eq\x(完成当堂双基达标，稳固所学知识并进展反响矫正.)课标解读1.理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点)2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点)3．利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．(易错点)两条直线平行与斜率之间的关系【问题导思】1．假设两条直线平行，其倾斜角什么关系反之呢【提示】两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立．2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对吗【提示】不对，假设两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，假设两直线都垂直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在．两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.那么对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示两条直线垂直与斜率之间的关系【问题导思】1．如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，假设l1⊥l2，那么α1与α2之间存在什么关系【提示】α2＝α1＋90°.2．当直线l1的倾斜角为0°时，假设直线l1⊥l2，那么l2的斜率应满足什么条件【提示】直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，假设l1⊥l2，那么l2的倾斜角为90°，其斜率不存在．两条直线垂直与斜率的关系对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，那么l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，那么l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示两条直线平行关系的判定判断以下各组中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．【思路探究】依据两条直线平行的条件逐一判断便可．【自主解答】(1)k1＝eq\f(1－－2,2－－1)＝1，k2＝eq\f(－1－4,－1－3)＝eq\f(5,4)，k1≠k2，l1与l2不平行．(2)k1＝1，k2＝eq\f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合．(3)k1＝eq\f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq\f(0－3,2－－1)＝－1，k1＝k2，而kMA＝eq\f(3－1,－1－0)＝－2≠－1，∴l1∥l2.(4)l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.判断两直线平行，要“三看〞：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；假设两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，假设不重合那么两直线平行．直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，那么x＝________.【解析】∵直线l1的斜率不存在，且l1∥l2，∴l2的斜率也不存在．∴点(2,1)及(x,6)的横坐标一样，∴x＝2.【答案】2两条直线垂直关系的判定判断以下各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．【思路探究】求出斜率，利用l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】(1)直线l1的斜率k1＝eq\f(2－－2,1－－1)＝2，直线l2的斜率k2＝eq\f(1－－1,2－－2)＝eq\f(1,2)，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，故l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，那么l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝eq\f(40－40,10－－10)＝0，那么l2∥x轴．故l1⊥l2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，假设相等，那么直线的斜率不存在，假设不相等，那么进展第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进展判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进展讨论．直线l1⊥l2，假设直线l1的倾斜角为30°，那么直线l2的斜率为________．【解析】由题意可知直线l1的斜率k1＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，设直线l2的斜率为k2，那么k1·k2＝－1，∴k2＝－eq\r(3).【答案】－eq\r(3)直线平行与垂直关系的综合应用A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，假设顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．【思路探究】先由图形判断四边形各边的关系，猜想四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】A、B、C、D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－－4)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－－4)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2).∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜想其形状，为下面证明确定目标．2．证明两直线平行时，仅k1＝k2是不够的，注意排除重合的情况．3．判断四边形形状问题要进展到底，也就是要得到最具体的四边形．四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．【解】四边形ABCD是平行四边形．证明如下：如以下列图，AB边所在直线的斜率kAB＝eq\f(－1－0,2－0)＝－eq\f(1,2)，CD边所在直线的斜率kCD＝eq\f(3－2,2－4)＝－eq\f(1,2)，BC边所在直线的斜率kBC＝eq\f(2－－1,4－2)＝eq\f(3,2)，DA边所在直线的斜率kDA＝eq\f(3－0,2－0)＝eq\f(3,2).所以kAB＝kCD，kBC＝kDA，由题意知AB∥CD，BC∥DA.故四边形ABCD是平行四边形．分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用(12分)直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．(1)假设l1∥l2，求a的值；(2)假设l1⊥l2，求a的值．【思路点拨】(1)eq\x(xC≠xD)斜率存在,eq\x(l1∥l2)→eq\x(k1＝k2)→eq\x(a的值)(2)eq\x(l1⊥l2)→eq\x(分情况讨论)→eq\x(求a的值)【标准解答】设直线l2的斜率为k2，那么k2＝eq\f(2－a＋2,1－－2)＝－eq\f(a,3).2分(1)假设l1∥l2，设直线l的斜率为k1，那么k1＝－eq\f(a,3).又k1＝eq\f(2－a,a－4)，那么eq\f(2－a,a－4)＝－eq\f(a,3)，∴a＝1或a＝6.4分经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.(2)假设l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－eq\f(1,2)，不符合题意.8分②当k2≠0时，l2的斜率存在，此时k1＝eq\f(2－a,a－4).∴由k2k1＝－1，可得a＝3或a＝－4.所以，当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.12分1．由l1∥l2比较k1，k2时，应首先考虑斜率是否存在，当k1＝k2时，还应排除两直线重合的情况．2．由l1⊥l2比较k1，k2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况．3．在l1∥l2及l1⊥l2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识．1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l1∥l2⇔k1＝k2；假设两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，那么两直线也平行．2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；假设一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，那么两条直线也垂直．3．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．1．直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，那么直线l2的斜率k2＝()A．不存在B.eq\f(1,2)C．2D．－eq\f(1,2)【解析】∵l1∥l2且k1＝2，∴k2＝2.【答案】C2．直线l1的斜率k1＝－eq\f(8,5)，直线l2的斜率k2＝eq\f(5,8)，那么l1与l2的位置关系为()A．平行B．重合C．垂直D．无法确定【解析】∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.【答案】C3．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，假设l1⊥l2，那么x＝________，y＝________.【解析】∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，那么l2的斜率为－eq\f(1,2)，∴eq\f(7－5,x－3)＝eq\f(y－5,－1－3)＝－eq\f(1,2)，∴x＝－1，y＝7.【答案】－174．(1)直线l1经过点M(－3,0)，N(－15，－6)，l2经过点R(－2，eq\f(3,2))，S(0，eq\f(5,2))，试判断l1与l2是否平行．(2)l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，问l1与l2是否垂直【解】(1)∵kMN＝eq\f(0－－6,－3－－15)＝eq\f(1,2)，kRS＝eq\f(\f(5,2)－\f(3,2),0－－2)＝eq\f(1,2)，∴l1∥l2.(2)∵k1＝tan45°＝1，k2＝eq\f(－6－－1,3－－2)＝－1，∴k1·k2＝－1.∴l1⊥l2.一、选择题1．以下说法正确的有()①假设两直线斜率相等，那么两直线平行；②假设l1∥l2，那么k1＝k2；③假设两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，那么两直线相交；④假设两直线斜率都不存在，那么两直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，应选A.【答案】A2．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，那么实数x的值为()A．0B．－6C．6D．3【解析】直线l1的斜率k1＝eq\f(x－3,－1－2)＝eq\f(3－x,3)，由题意可知eq\f(3－x,3)＝－1，∴x＝6.【答案】C3．假设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，那么()A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°C．|α1－α2|＝90°D．α1＋α2＝180°【解析】如以下列图．由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，∴|α1－α2|＝90°.【答案】C4．过点(eq\r(3)，eq\r(6))，(0,3)的直线与过点(eq\r(6)，eq\r(2))，(2,0)的直线的位置关系为()A．垂直B．平行C．重合D．以上都不正确【解析】过点(eq\r(3)，eq\r(6))，(0,3)的直线的斜率k1＝eq\f(3－\r(6),0－\r(3))＝eq\r(2)－eq\r(3)；过点(eq\r(6)，eq\r(2))，(2,0)的直线的斜率k2＝eq\f(\r(2)－0,\r(6)－2)＝eq\r(3)＋eq\r(2).因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．应选A.【答案】A5．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形【解析】kAB＝eq\f(－1－1,2＋1)＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(4－1,1＋1)＝eq\f(3,2)，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．【答案】C二、填空题6．假设A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，那么下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的序号是________．【解析】∵kAB＝－eq\f(3,5)，kCD＝－eq\f(3,5)，kAC＝eq\f(1,4)，kBD＝－4，∴kAB＝kCD，kAC·kBD＝－1，∴AB∥CD，AC⊥BD.【答案】①④7．经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，那么m的值是________．【解析】由题意知，直线MN的斜率存在，∵MN⊥l，∴kMN＝eq\f(m－3,2－m)＝eq\f(1,4)，解得m＝eq\f(14,5).【答案】eq\f(14,5)8．(2013·洛阳高一检测)平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(－2,3)，C(0，－4)，那么点D的坐标为________．【解析】设D(x，y)，由题意可知，AB∥CD且AD∥BC.∴kAB＝kCD且kAD＝kBC，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3－1,－2－1)＝\f(y＋4,x)，\f(－4－3,0＋2)＝\f(y－1,x－1)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，y＝－6，))∴D点的坐标为(3，－6)．【答案】(3，－6)三、解答题图3－1－59．如图3－1－5，在▱OABC中，O为坐标原点，点C(1，3)．(1)求OC所在直线的斜率．(2)过C作CD⊥AB于D，求直线CD的斜率．【解】(1)∵点O(0,0)，C(1,3)，∴OC所在直线的斜率kOC＝eq\f(3－0,1－0)＝3.(2)在▱OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC，∴kOC·kCD＝－1，kCD＝eq\f(－1,kOC)＝－eq\f(1,3).故直线CD的斜率为－eq\f(1,3).10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．【解】OP边所在直线的斜率kOP＝t，QR边所在直线的斜率kQR＝eq\f(t＋2－2,1－2t－－2t)＝t，OR边所在直线的斜率kOR＝－eq\f(1,t).PQ边所在直线的斜率kPQ＝eq\f(2＋t－t,1－2t－1)＝－eq\f(1,t)，∵kOP＝kQR，kOR＝kPQ，∴OP∥QR，OR∥PQ，∴四边形OPQR是平行四边形．又kQR·kOR＝t×(－eq\f(1,t))＝－1，∴QR⊥OR.∴四边形OPQR是矩形．11．A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)．【解】设所求点D的坐标为(x，y)，如图．由于直线AB的斜率kAB＝3，直线BC的斜率kBC＝0，那么kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直．故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边．(1)假设CD是直角梯形的直角边，那么BC⊥CD，AD⊥CD.∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在．从而有x＝3.又∵直线AD的斜率kAD＝kBC，∴eq\f(y－3,x)＝0，即y＝3.此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)，(2)假设AD是直角梯形的直角边，那么AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝eq\f(y－3,x)，直线CD的斜率kCD＝eq\f(y,x－3)，又由于AD⊥AB，∴eq\f(y－3,x)·3＝－1.①又