(完整word版)常微分方程学习活动3第一章初等积分法的综合练习(word文档良心出品)

xyyxtan—y(1)解显然x 0是方程的解当x0时,原方程可化为dy

dxy22xy2

xy, 则原方程可化为xduux——dx2u,duu2dx易于看出,(1)解显然x 0是方程的解当x0时,原方程可化为dy

dxy22xy2

xy, 则原方程可化为xduux——dx2u,duu2dx易于看出,1是上面方程的解，从而yxy 0是原方程的解.当uu20时,分离变量得，du-2uudx两端积分得lnuIlnCx(C0)将u换成y,便得到原方程的解xCyx(xy)，(C0).故原方程的通解为Cyx(xy)(C为任意常数)及y0.(2)解显然y0是方程的解.TOC\o"1-5"\h\z当y0时，原方程可化为5"tan——.令u—,则原方程可化为dxx x xdu du tanuux——tanuu,即—— -\o"CurrentDocument"dx dxx易于看出， u0是上式的解，从而y0是原方程的解.当u0时，分离变量得，-du-dx.两端积分得lnsinu lnC1x(Ci0).tanuxCx.将u换成丫， 便得到原方程的解 sin-yCx(C0).故原方程的通解为 Cx.x x x.解下列一阶线性微分方程：xy2y2x4yytanxsecx(1)解先解齐次方程x立2y.其通解为yCx2.dx用常数变易法， 令非齐次方程通解为 yC(x)x2.代入原方程，化简后可得C(x)2x..积分得到C(x)x2C.代回后即得原方程通解为yCx2x4.

(2)解先解齐次方程包ytanx.其通解为yCcosx.dx用常数变易法， 令非齐次方程通解为 yC(x)cosx.代入原方程，代入原方程，化简后可得C(x)12-cosx积分得到积分得到C(x)tanxC.代回后即得原方程通解为ysinx代回后即得原方程通解为ysinxCcosx.5.解下列伯努利方程5.解下列伯努利方程(1)y2xyxy4 0⑵dyyy2(cosxsinx)⑵dyyy2(cosxsinx)(1)解显然y 0是方程解.当y0时，两端同除1dy2x 1dy2x Y43xydxy0.令z4,

y代入有dz3dx2xz0,它的解为z1 Ce3x22于是原方程的解为Ce3x2y0.(2)解显然y令z4,

y代入有dz3dx2xz0,它的解为z1 Ce3x22于是原方程的解为Ce3x2y0.(2)解显然y0是方程解0时,两端同除代入有它的解为Cexdxy(cosxsinx)0.dzdxsinx(cosxsinx)、一，八1于是原方程的解、一，八1于是原方程的解1yCexsinx及y0.:6.解下列全微分方程:(1)e6.解下列全微分方程:(1)eydx(2yxey)dy0⑵(1y2sin2x)dxycos2xdy0(1)解因为卫ey⑵(1y2sin2x)dxycos2xdy0(1)解因为卫ey —N,所以这方程是全微分方程y xM(x,y)及N(x,y)在整个xOy平面都连续可微不妨选取％ 0,y0 0.故方程的通积分为xy.eydx00y2ydyC,M(x,y)及N(x,y)在即xeyy2CM(x,y)及N(x,y)在(2)解因为—2ysin2x―,所以这方程是全微分方程y x整个xOy平面都连续可微， 不妨选取x00,y00. 故方程的通积分为X 2 y0(1y)dx0ydyC即2xy2cos2xC.7.求下列方程的积分因子和积分：(x2 y2x)dxxydy0(x4 y4)dxxy3dy0M Nv x 1(1)解因为一-,与y无关，故原方程存在只含x的积分因子.1dx由公式(1.58)得积分因子 (x)ex,即(x)x,于是方程(x2y2x)dxxydy0为全微分方程.取x00,y00.于是方程的通积分x2 2 4 3 22为0x(xyx)dx0.即3x4x6xyC.(2)解因为」——-N(2)解因为」——-N-,与y无关， 故原方程存在只含 x的积分因子.解方程x由公式(1.由公式(1.58)得积分因子5-dx 1(x)ex即(x)二,， xTOC\o"1-5"\h\z1 y于是方程 —(xy)dx—4dy0为全效分方程.取x01,y00.于是通积分为\o"CurrentDocument"x xx1 4 4 y3_n4 4 _4—(xy)dxydyC1.即y4xIn|x|Cx.'x8.求解下列一阶隐式微分方程一 2 2 22(1)y(2yy)ysinx(2)y22yy y2(ex1)(1)解将方程改写为 y22yyy2(1cos2x)即y22yyy2y2cos2x^(y'y)2y2cos2x解y'yycosx得通积分为：InCyxsinx,又y0是常数解.(2)解y0显然是方程的解.当y0时，方程可变为(―)22(—)ex1,令—u,yy y则上面的式子可变为u22uex1.解出u得，u1Jex.即—1行.y对上式两端积分得到方程的通解为 lnyx2V67C9.求解下列方程(xyy)2(y)212yy(y) 10(1)解令yp,则yp.代入原式得(xpp)2p21.解出p得pxpVp21.这是克莱洛方程，通解为 pxC1\1C12.即y xG,1C12.解之得 yC1X3±Ji C12 C2X C3 (G,C2,C3为任意常数)6 2, 1(2)解 化简彳导(yy)1 0, 即 yy XC12求积分得 1 1(xC1)2名.2 2 2或 y2(xCi)2C2.三、证明题1.设函数p(x),f(x)在［0,)上连续，且！imp(x)a0,f(x)b(a,b为常数).求证：方程yp(x)yf(x)的一切解在［0,)上有界.证明设y=y(x)是方程任一解，且满足 y(xO)=y0,则x x sP(s)ds P(s)dsy P(t)dty(x) y°ex。 ex0 x0f(s)e”ds由于limp(x)ax0,所以对任意e>0,存在x1>x0,使得x>x1时有0ap(x)aa2a，则y(x)xaidsy°exisx a2dtf(s)exds于是得到y(x)y0旨(1ea2(xxi))bV。-

aMi又在［xo,xi］上y(x)有界设为M2,现取Mmax[Mi,M2)则y(x)M,xx0,2.设f(x)在[0,)上连续，且limf(x)

x0,求证：方程dydxyf(x)的一切解y(x),均有limy(x)0.x证明设yy(x)是方程任一解，满足y(x0)y0,该解的表达式为y(x)y0x0y(x)y0x0xf(s)e(sx0)dsx0x0取极限limxy(x)limxy。limxy(x)limxy。exx0limxf(s)e(s")dsx00,r/\0,r/\(sx0)右f(s)edsx0limxf(x)e(xlimxf(x)e(xx0)e3nx0e0,(s5)右f(s)edsx四、应用题.按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比 ，已知空气温度为30c,而物体在15分钟内由1000c冷却到70oc,求物体冷却到400c所需的时间.解设物体在时刻t的温度为TT(t),由题意T(t)满足初值问题dTk(T30)dtT(0)100其中k为常数.解得 T(t)30ekt设物体冷却到40c所需时间为t1,于是由T(15)70得15kr-3070e 703070ekt40解得 t152分钟..重为100kg的物体，在与水平面成30的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：