2023届二轮专练-专题九 瓶颈题突破-第3讲 应用问题中的“瓶颈题”（含解析）

第页）2023届二轮专练_专题九瓶颈题突破_第3讲应用问题中的“瓶颈题”一、解答题（共21小题）1.某工厂有容量为300 t的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水．已知该厂生活用水为每小时10 t，工业用水量W（单位：t）与时间t（单位：h，定义早上6时t=0）的函数关系式为W=100t（1）设进水量选用第n级，写出在t时刻时水的存有量；（2）问：进水量选择第几级，既能保证该厂用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?2.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m （1）求S关于x的函数关系式；（2）求S的最大值．3.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为b（2）问：至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?4.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图（1）所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图（2）所示的抛物线段表示． （1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P=ft，写出图（2（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元/1025.某公司为帮助尚有26.8万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（不计息）．已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q（单位：百件）与销售价p（单位：元/件）的关系用图中的一条折线表示．职工每人每月工资600元，该店应交付的其他费用为每月 （1）若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元?6.如图（1）所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，半径为2 m，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC的长为1 m 7.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离都是1020 8.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5 km和40 km，点N到l1，l2的距离分别为20 km和2.5 k （1）求a，b的值．（2）设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t． ①请写出公路l长度的函数解析式ft ②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度．9.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高4. （1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小．（隧道口截面面积公式为10.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界是以圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端点O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点 （1）求新桥BC（2）当OM11.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱形，高为l，左、右两端均为半球形，半径为r，按照设计要求容器的体积为80π3 m3，且l≥2 （1）求y关于r的函数解析式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时半径r的值．12.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥P−A1B1C1 （1）若AB=6（2）若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当13.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC （1）用a，θ表示S1和S（2）当a固定，θ变化时，求S114.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A处沿直线步行到C处，另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min．在甲出发2 min后，乙从A处乘缆车到B处，在B处停留1 min （1）求索道AB（2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?（3）为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3 15.如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC=90∘，AB=5  （1）若甲、乙两管理员到达D地的时间相差不超过15 mi（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5 km，若乙先到达D地，且乙从A到D16.某工厂有工人214名，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同，现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始加工．设加工A型零件的工人有x人，在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件，加工完A型零件所需时间为gx，加工完B型零件所需时间为（1）比较gx与hx的大小，并写出完成总任务的时间（2）应怎样分组，才能使完成任务用时最少?17.商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2012年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5%，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．（参考数据：lg1.7343≈（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．18.某地今年年初有居民住房面积为a m2，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除 注：下列数据供计算时参考：1（1）如果10年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少?（2）依照（1）的拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房?19.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2016年11月11日的网购金额，所得数据如图（1）：已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3: 网购金额单位 图（1） （1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（2）；（2）营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在1,2和4,5的两个群体中抽取5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取20.某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1 m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形AB （1）若窗口ABCD（2）若四根木条总长为6 m，求窗口21.如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心、半径为1 km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA （1）按下列要求建立函数关系： ①设∠OPQ=α（单位：rad ②设OQ=t（单位：km），将△O（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ答案1.（1）略．

（2）略．2.（1）S=−2

（2）676 3.（1）第1年投入800万元，第2年投入800×⋯，第n年投入800×所以n年内的总投入an第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×⋯，第n年旅游业收入为400×所以n年内的总收入b

（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，所以bn−a化简，得5×45n+所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．4.（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为ft由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为gt=t

（2）设t时刻的纯收益为ht，则由题意得h即ht当0≤t≤所以当t=50时，ht取得区间0当200<t≤所以当t=300时，ht取得区间200综上，由100>87.5可知，ht在区间0,3005.（1）50人．

（2）该店最早可在5年后还清所有债务，此时消费品价格定为每件55元．6.分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系xO则DC的方程为x设Px,y0<x≤3，圆柱底面半径为r，体积为所以V=πr设t=x2∈0令uʹ=0当83<t≤3时，uʹ<0，所以当t=83所以当x=263 m时，故裁一个矩形，两边长分别为263 m和7.巨响发生在接报中心西偏北45∘距中心6808.（1）由题意知，点M，N的坐标分别为5,40，将其分别代入y=ax解得a

（2）①由（1）知，y=则点P的坐标为t,设在点P处的切线l交x，y轴分别于点A，B，yʹ则直线l的方程为y−1000t2=故ft=3②设gt则gʹ令gʹt=当t∈5,102当t∈102,20所以，当t=102时，函数gt有极小值，也是最小值，答：当t=102时，公路l9.（1）设抛物线的方程为：y=−a则抛物线过点10,代入抛物线方程解得：a=令y=解得x=则隧道设计的拱宽l是40 

（2）抛物线最大拱高为h m，抛物线过点10,代入抛物线方程得：a=令y=则−h解得：x2则l22=因为h≥所以92即20<所以S=23所以 当20<l<203时，S当203<l≤40时，S所以S在l=此时l=203答：当拱高为274 m10.（1）如图所示，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系由条件知A0,60，C170,又因为AB⊥BC，所以直线设点B的坐标a,b，则kB解得a=80,因此新桥BC的长是150

（2）设保护区的边界圆M的半径为rm，O由条件知，直线BC的方程为y=−由于圆M与直线BC相切，故点M0,d到直线即r=因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 所以r−d≥80,故当d=10时，所以当10 11.（1）y=160π

（2）当3<c≤92最小时r=12.（1）312 

（2）当PO1=13.（1）S1=1

（2）S114.（1）1040 

（2）3537

（3）12504315.（1）由题意，可得AD由题可知126解得649

（2）方法一：经过t h，甲、乙之间的距离的平方为由于乙先到达D地，故16v<2①当0<vtft因为v2所以当t=5v所以v2解得v≥②当5<vtft因为v>所以1v−6所以当t=13v所以v−解得398③当13≤vt≤16因为12−6t所以ft在13所以当t=13v12−解得398因为v>所以8<方法二：设经过t h，甲、乙之间的距离的平方为由于乙先到达D地，故16v<2以A为原点坐标，AD为x①当0<vt由于45所以45v−所以45解得v≥②当5<vt由于vt所以−4≤v即v−6≤所以v−解得398③当13≤vt≤16由①及②知8<于是0<又