高等数学上-ch3-4公式_第1页
高等数学上-ch3-4公式_第2页
高等数学上-ch3-4公式_第3页
高等数学上-ch3-4公式_第4页
高等数学上-ch3-4公式_第5页
已阅读5页，还剩33页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

§3.4泰勒公式泰勒公式几个常用函数的泰勒公式泰勒公式的应用一、泰勒公式（如下图）以直代曲不足:1、精确度不高；2、误差不能估计.本节研究以下两个问题:(1)是否可选取一简单曲线

n次代数多项式即以简单曲线逼近复杂曲线?(2)逼近的误差是否可给出一个明确的表达式?设y=f(x)在x0

处有直至n

阶的导数,下面考虑寻找一n

次代数多项式Pn(x),使它在x0

处较好地逼近f(x)

分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交则由即称多项式为函数在点处关于的泰勒多项式.（唯一确定）例求函数y=ln(1+x)的关于x

幂的n

次泰勒多项式解取x0=0,下面计算称为函数在点处的n阶泰勒公式.也是用n次多项式来近似函数的截断误差.余项为佩亚诺型余项,拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项证明:注意:3.拉格朗日型余项主要用于证明命题，皮亚诺型余项主要用于求极限.麦克劳林(Maclaurin)公式二、几个常用的n

阶泰勒公式(在x0=0处)(1)f(x)=sinx取n=2m,则有其中ξ介于0与x

之间(2)f(x)=cosx取n=2m+1,则有其中ξ介于0与x

之间

(3)f(x)=ex其中ξ介于0与x

之间(4)f(x)=ln(1+x)其中ξ介于0与x

之间(5)f(x)=(1+x)α,

αR所以有其中ξ介于0与x

之间

（1）（2）（3）（4）（5）带佩亚诺型余项的泰勒公式解：在注：（1）若求处的泰勒公式；（2）特别注意是求哪一点处的泰勒公式；（3）对于拉格朗日型余项，没有特别的技巧，只能硬做；如例3中则解：三、泰勒公式的应用1.利用带皮亚诺型余项的泰勒公式求极限例1求下列函数的极限（1）解：（1）原式（2）解（2）原式（3）解（3）原式例计算解因为(2)在无穷小阶的估计中的应用例当a,b

为何值时,量x(a+bcosx)sinx

是x

的5阶无穷小?解为使之为5阶无穷小,充要条件是:解得:所以当时,原式为5阶的无穷小例试确定常数a

和b,使当x

0时为x

尽可能高的无穷小,并求此阶数解

又

解得所以,当时,函数f(x)为7阶的无穷小(3)在近似计算中的应用其中ξ介于x0

与x

之间.例计算e的值,准确到10-6解先确定n

为多大时才能保证精度.

令x=1得(ξ介于0与1之间)n

阶泰勒公式,有

利用ex

的取n=10,则有(4)在一些证明题中的应用例如果在(a,b)内

证明:对(a,b)内的任意n

个点有不等式证明令则对每一xi,利用泰勒公式有由推得所以,得到常用不等式例设f(x)在[0,1]上二阶可导,且满足其中a,b为非负常数,证明:对任意c(0,1)有解任取c(

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论