8平面与平面垂直的性质【新教材】2022年人教A版高中数学必修同步练习（Word含解析）

平面与平面垂直的性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含解析）学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________一．选择题如图所示，已知平面CBD⊥平面ABD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状为(    )A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定给出下列四种说法：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中正确说法的序号是

(

)A.①② B.②③ C.③④ D.②④如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC，过C1作CA.直线AC上B.直线AB上

C.直线BC上D.△ABC的内部如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4已知平面α⊥平面β，且α∩β=l，a⊂α，b⊂β，则“a⊥b”是“a⊥l或b⊥l”的(    )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件如图所示，在长方体ABCD − A1B1C1D1中，AA.BD1//B1CB.A1D1//如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、B'，则AB：A'B'=(    )A.2：1B.3：1

C.3：2D.4：3在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCDA.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是(

)①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α．A.4 B.3 C.2 D.1已知三棱锥A−BCD中，AB=AC=BD=CD，AB⊥AC，BD⊥CD，且三棱锥A−BCD的外接球的表面积为32π，则当平面ABC⊥平面BCD时，三棱锥A−BCD的表面积等于(    )A.16+83 B.32+163 C.8+83(多选题)如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD //BC，且AB=DE=2BC=2AF(如图①).将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE(如图②).在折起的过程中，下列说法中正确的是(    )AC//平面BEF

B.B，C，E，F四点不可能共面

C.若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD

D.平面BCE与平面BEF可能垂直二.填空题直线a和b在正方体ABCD−A1B1C1D1的两个不同平面内，使 ①a和b垂直于正方体的一个面; ②a和b在正方体两个相对的面内，且共面; ③a和b平行于同一条棱; ④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF=DE，AD=6，则EF=________．

已知三棱锥P−ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=PA=3，AC=1，则三棱锥P−ABC的侧面积______．如图所示，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C'的位置，且点C'在平面ABD上的射影O恰在AB上．若EF⊥平面AC'D，且DC'=2DE，BF=λFD，则λ的值为________．二.解答题如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F．

(1)求证：EF//平面PBC；(2)求证：BD⊥PC．

如图所示，在斜三棱柱A1B1C1−ABC中，AB=AC，D是BC的中点，侧面B(1)求证：AD⊥CC(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点(3)若平面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA如图，四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=BC=1，AC=2．

(1)证明BC⊥平面PAB；

(2)在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由．

答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】

本题主要考查了平面与平面垂直的性质，以及直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

作AE⊥BD，交BD于E，根据平面与平面垂直的性质定理可知AE⊥面BCD，再根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面ABD，从而得到△ABC为直角三角形．

【解答】

解：过A作AE⊥DB于E，则AE⊥平面DBC，

∴AE⊥BC，又DA⊥平面ABC，

∴DA⊥BC，又DA∩AE=A，

∴BC⊥平面DAB，

∴BC⊥AB，

∴△ABC为直角三角形．

故选B．

2.【答案】D【解析】【分析】

从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．

【解答】

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确。

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确。

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线。不正确。

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。正确。

故选D．

3.【答案】B【解析】解：∵在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，

∴AB⊥AC

又∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B

∴AC⊥平面ABC1，

则C1作C1H⊥底面ABC，

故C 1H⊂平面ABC1，

故点H一定在直线AB上

故选B

由已知中斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC【解析】【分析】本题考查面面垂直的判定，属于一般题．【解答】解：由题意直线AB⊥平面BCD，直线CD⊥平面ABD，

所以面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，

共有3对．

故选C．

5.【答案】C【解析】解：由α⊥βα∩β=la⊂αb⊂βa⊥b⇒a⊥l或b⊥l，

由α⊥βα∩β=la⊂αb⊂βa⊥l或b⊥l⇒a⊥b，

故“a⊥b”是“a⊥l或b⊥l”的充要条件，【解析】【分析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．

连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可证AC⊥平面BDD1，利用线面垂直的性质即可证明AC⊥BD1．

【解答】解：连接BD.在长方体ABCD − A1B1C1D1中，AB=BC，∴AC⊥BD．

又AC⊥DD1，BD∩DD1=D，【解析】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为∠BAB'=π4，

在Rt△BAB'中有AB'=22a，同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA'=π6，

所以A'A=12a，因此在Rt△AA'B'中A'B'=(22a)2−(12a)2=12a，【解析】【分析】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质，首先根据已知条件画出图形，在四边形ABCD中，根据AB=BC，AD=CD即可得到BD⊥AC，进而得到BD⊥平面AA1C1C【解答】解：如图，在四边形ABCD中，∵AB=BC，AD=CD，∴BD⊥AC，

∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥平面AA1C1C

9.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，着重考查线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，考查推理能力，属于中档题．

利用线面垂直面面垂直的判定定理与性质定理逐一判断选项，即可得到答案．【解答】解：①设α∩β=l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，

故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；

②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，

则它垂直于α内的任意直线，为真命题；

③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；

④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题．答案C．

10.【答案】A【解析】解：如图，

取BC中点O，连接OA，OD，

由AB=AC=BD=CD，AB⊥AC，BD⊥CD，

可得OA=OB=OC=OD，即O为三棱锥A−BCD的外接球的球心，

半径为OA．

由三棱锥A−BCD的外接球的表面积为4π⋅OA2=32π，得OA=22．

则当平面ABC⊥平面BCD时，S△ABC=S△BCD=12×4×4=8；

S△ABD=S△ACD=12×4×23=43【解析】【分析】

本题考查线面平行、面面垂直的判定定理，属于中档题．

由线面平行、面面垂直的判定定理，进行判断即可．

【解答】

解：取AC的中点为O，取BE的中点为M，连结MO，

则MO//DE,MO=12DE，则MO//AF，MO=AF，得四边形AOMF为平行四边形，

即AC//FM，FM⊂平面BEF，AC不在面BEF内，

∴AC//平面BEF，故A正确；

∵直线BF与CE为异面直线，

∴B、C、E、F四点不可能共面，故B正确；

在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD、CF⊂平面CDF且交于点F，

∴EF⊥平面CDF，又∵CD⊂平面CDF，

∴CD⊥EF，又因为AD//BC，∠BCE=90°，

∴CD⊥AD，

∵EF和AD必交于一点且在平面ADEF内，

∴CD⊥平面ADEF，∵CD⊂平面ABCD，

∴平面ADEF⊥平面ABCD，故C正确；

延长AF至G使得AF=FG，连结BG、EG，

易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，

若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故D错误．

故选ABＣ.

12.【答案】【解析】【分析】

本题考查线面垂直的性质定理、面面平行的性质定理、平行公理以及空间两条直线的位置关系，属于基础题．

对于 ①，利用线面垂直的性质即可判断为正确；

对于 ②，利用面面平行的性质即可判断为正确；

对于 ③，应用平行公理即可判断为正确；

对于 ④，a，b可能平行、异面和垂直三种情况， ④错误．

【解答】

解：对于 ①，利用线面垂直的性质可知 ①正确；对于 ②，由于a，b共面，利用面面平行的性质即可判断a//b，故 ②正确；对于 ③，应用平行公理可知 ③正确；对于 ④，当a和b在正方体的两个平行面内，且与正方体的同一条棱垂直时，a，b可能平行、异面和垂直三种情况，故 ④错误．故答案为： ① ② ③

13.【答案】6【解析】【分析】

本题考查的是直线与平面垂直关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线与平面垂直的性质;经审题，根据直线和平面垂直的性质定理知AF//DE，结合已知条件可判断出四边形AFED的形状;四边形AFED为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到本题答案．

【解答】

解：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF//DE，又∵AF=DE，∴四边形AFED是平行四边形，

∴EF=AD=6，

故答案为6．

14.【答案】5【解析】解：如图所示，

三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；

又AC⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC；

∴三棱锥P−ABC的各个面都是直角三角形；

又BC=PA=3，AC=1，

∴三棱锥P−ABC的侧面积为

S侧面积=S△PAB+S△PAC+S△PBC

=12×3×【解析】【分析】

本题主要考查了线面垂直的判定，注意空间思维能力的培养．

证明BC'⊥平面AC'D，结合EF⊥平面AC'D，由线面垂直的性质得到EF

//

BC'，即可求得λ的值．

【解答】

解：∵点C'在平面ABD上的射影O在AB上，∴C'O⊥平面ABD．

∵DA⊂平面ABD，∴C'O⊥DA.又∵AD⊥AB，AB∩C'O=O，

∴DA⊥平面ABC'.

又BC'⊂平面ABC'，∴DA⊥BC'.

又∵BC'⊥C'D，DA∩C'D=D，∴BC'⊥平面AC'D．

又∵EF⊥平面AC'D，∴EF

//

BC'.∵DC'=2DE，即E为C'D的中点，∴F为BD的中点，

∴BF=FD，即λ=1．

16.【答案】证明：(1)∵菱形对角线AC与BD相交于点E，

∴AC与BD互相平分，即AE=CE，BE=DE

又∵线段PD的中点为F，

∴EF为△PBD的中位线，

∴EF//PB

又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，

∴EF//平面PBC

(2)∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

菱形ABCD中，AC⊥BD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥平面PAC，且PC⊂平面PAC，

∴BD⊥PC．【解析】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定与性质．(1)根据E，F为PD，DB的中点判断出EF为△PBD的中位线可知EF//PB，进而根据EF⊄平面PBC，推断出EF平行于PB所在的平面PBC;

(2)先判断出BD⊥平面PAC，进而根据线面垂直的性质判断出BD⊥PC．

17.【答案】证明(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C=BC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥(2)证明：如图，延长B1A1，与BM的延长线交于点N，连接C1N，则C1N⊂平面MBC1,∵AM=MA1，∴NA1=A1B1,∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥B1C1,∵侧面