多元正态分布

多元正态分布第一页，共二十八页，2022年，8月28日

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在农业科学研究中，经常通过多元统计寻求多维随机变量的统计规律，即多指标问题。如，自然因子对作物产量和品质的作用、育种中选择性状对目标性状的影响、疾病的多指标诊断、土壤成分分析、气象预报、样品的归属等，都属于多指标的统计问题。这些指标间千丝万缕、交叉影响，存在着极其复杂的统计规律。在这种情况下，用我们所熟知的一元统计知识去孤立地分析各个指标，就难免顾此失彼，使整体结论失真。因而多指标、多因素问题只有选择相应的多元统计方法来处理，才能使其规律得以正确的表达。多元统计分析的理论主要建立在多元正态分布总体基础上的。在实际问题中，所遇到的多元总体多是多元正态分布总体或近似多元正态分布，有时不是多元正态分布总体，但当样本容量足够大时，其平均值将近似服从多元正态分布。1.2.1多元正态分布的定义设某品种小麦的产量(x1)、每亩穗数(x2)

、每穗粒数(x3)

、千粒重(x4)均服从正态分布：

第二页，共二十八页，2022年，8月28日第三页，共二十八页，2022年，8月28日

那么4个性状所组成的4维列向量X=[X1,X2,X3,X4]T就服从四元正态分布。一般地,对于每一个分量都服从正态分布的p维随机向量

X=[X1,X2,…,Xp]T(1.2.3)具有和一元正态分布相似的概率密度函数第四页，共二十八页，2022年，8月28日

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在式（1.2.4）中，µ为均值向量。E为期望算子，有E(X)=µ,µ的分量µi(i=1,2,…,p)为X的分量Xi的数学期望，即E(Xi)=µi，∑称为X的协方差阵。V为方差算子，即V(X)=∑,∑中的元素δii为X的分量Xi的方差，即V(Xi)=δi2=δii,而δij为Xi与Xj间的协方差，δij=δji。在（1.2.4)中，要求ᅵ∑ᅵ〉0，即∑不但对称而且正定，这时∑的逆∑-1一定存在，且∑的特征根大于0。正态分布参数的这些性质农林科研中具有特定的实际意义。第五页，共二十八页，2022年，8月28日1.2.2多元正态分布的性质多元正态分布的性质在实际应用中起着重要的作用：1、若X∽N(μ,Σ),则~∽∽第六页，共二十八页，2022年，8月28日

∽~~第七页，共二十八页，2022年，8月28日∽~~第八页，共二十八页，2022年，8月28日第九页，共二十八页，2022年，8月28日

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§1.3多元正态分布参数的估计1.3.1样本第十页，共二十八页，2022年，8月28日

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1.3.2样本的数字特征由样本观察矩阵（1.3.1)，通过计算可得样本的数字特征。1.样本均值向量是表示样本中心位置的，其定义为第十一页，共二十八页，2022年，8月28日2样本离差阵样本离差阵L亦称样本信息阵，因为它反映了样本中指标及指标间的变异及相关信息，令下一张

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第十二页，共二十八页，2022年，8月28日

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第十三页，共二十八页，2022年，8月28日

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第十四页，共二十八页，2022年，8月28日

由于样本方差带有原观测单位的平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这时应将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差S2的平方根叫做样本标准差，记为S，即：

（3-11）下一张

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第十五页，共二十八页，2022年，8月28日由于所以（3-11）式可改写为：（3-12）下一张

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第十六页，共二十八页，2022年，8月28日

相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。对于有限总体而言，σ的计算公式为：

在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差σ。

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第十七页，共二十八页，2022年，8月28日二、标准差的计算方法

（一）直接法

对于未分组或小样本资料，可直接利用（3—11）或（3-12）式来计算标准差。第十八页，共二十八页，2022年，8月28日

【例3.9】计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差。此例n=10，经计算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3—12）式得：

(g)

即10只辽宁绒山羊产绒量的标准差为65.828g。下一张

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第十九页，共二十八页，2022年，8月28日（二）加权法

对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计算公式为：

（3—14）式中，f为各组次数；x为各组的组中值；Σf=n为总次数。

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第二十页，共二十八页，2022年，8月28日

【例3.10】利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表（见表3-4）计算标准差。将表3-4中的Σf、Σfx、代入（3—14）式得：

(g)

即某纯系蛋鸡200枚蛋重的标准差为3.5524g。下一张

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第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日表3—4某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布及标准差计算表下一张

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第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日

三、标准差的特性

（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。

（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。

（三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。下一张

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第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日

（四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差（±S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（±2S）范围内；约有99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差（±3S）范围内。也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用（全距/6）来粗略估计标准差。下一张

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第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日第三节变异系数

变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。标准差与平均数的比值称为变异系数，记为C·V。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。

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第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日变异系数的计算公式为：（3—15）

【例3.11】已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为190kg，标准差为10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为196kg，标准差为8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。下一张

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第二十六页，共二十八页，2022年，8月28日

由于，长白成年母猪体重的变异系数：