无套利定价原理六

第三讲无套利定价原理什么是套利什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论第一部分什么是套利什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论商业贸易中的套利行为

15,000元/吨翰阳公司卖方甲买方乙17,000元/吨铜铜在商品贸易中套利时需考虑的成本：（1）信息成本：

（2）空间成本

（3）时间成本

金融市场中的套利行为

专业化交易市场的存在

信息成本只剩下交易费用产品标准化金融产品的无形化－－没有空间成本金融市场存在的卖空机制大大增加了套利机会

金融产品在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷

套利的定义套利指一个能产生无风险盈利的交易策略。这种套利是指纯粹的无风险套利。但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生无风险盈利的策略，可能会承担一定的低风险。

第二部分什么是套利什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论无套利定价”原理无套利定价”原理

金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在套利机会那什么是套利机会呢？套利机会的等价条件（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；损益：现金流不确定状态下：每一种状态对应的现金流（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的支付。（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。无套利定定价原理理（1）同同损益同同价格如果两种种证券具具有相同同的损益益，则这这两种证证券具有有相同的的价格。。（2）静态组组合复制制定价：：如果一个个资产组组合的损损益等同同于一个个证券，，那么这这个资产产组合的的价格等等于证券券的价格格。这个个资产组组合称为为证券的的“复制制组合””（replicatingportfolio）。（3）动态组组合复制制定价：：如果一个个自融资资（self-financing）交易易策略略最后后具有有和一一个证证券相相同的的损益益，那那么这这个证证券的的价格格等于于自融融资交交易策策略的的成本本。这这称为为动态态套期期保值值策略略（dynamichedgingstrategy）。确定状状态下下无套套利定定价原原理的的应用用案例1：假设两两个零零息票票债券券A和和B，，两者者都是是在1年后后的同同一天天支付付100元元的面面值。。如果果A的的当前前价格格为98元元。另另外，，假设设不考考虑交交易成成本。。问题：：（1））B的的价格格应该该为多多少呢呢？（2）如果果B的市场场价格格只有有97.5元，问问如何何套利利呢？？应用同同损益益同价价格原原理：：B的价价格也也为98元元如果B的市市场价价格只只有97.5元元，卖卖空A，买买进B案例2：假设当当前市市场的的零息息票债债券的的价格格为：：①1年后后到期期的零零息票票债券券的价价格为为98元；；②2年后后到期期的零零息票票债券券的价价格为为96元；；③3年后后到期期的零零息票票债券券的价价格为为93元；；另外，，假设设不考考虑交交易成成本。。问题：：（1））息票票率为为10％，，1年年支付付1次次利息息的三三年后后到期期的债债券的的价格格为多多少呢呢？（2）如果果息票票率为为10％，1年支付付1次利息息的三三年后后到期期的债债券价价格为为120元，如如何套套利呢呢？看未来来损益益图：：1年末末2年末末3年末末1010110静态组组合复复制策策略（1））购买买0.1张张的1年后后到期期的零零息票票债券券，其其损益益刚好好为100×0.1＝10元元；（2））购买买0.1张张的2年后后到期期的零零息票票债券券，其其损益益刚好好为100×0.1＝10元元；（3））购买买1.1张张的3年后后到期期的零零息票票债券券，其其损益益刚好好为100×1.1＝110元；；根据无无套利利定价价原理理的推推论0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝＝121.7问题2的答答案：市场价格为为120元元，低估B，则买进进B，卖出出静态组合合（1）买进进1张息票票率为10％，1年年支付1次次利息的三三年后到期期的债券；；（2）卖空空0.1张张的1年后后到期的零零息票债券券；（3）卖空空0.1张张的2年后后到期的零零息票债券券；（4）卖空1.1张的3年后到期的的零息票债债券；案例3：假设从现在在开始1年年后到期的的零息票债债券的价格格为98元元，从1年年后开始，，在2年后后到期的零零息票债券券的价格也也为98元元（1年后后的价格））。另外，，假设不考考虑交易成成本。问题：（1）从现现在开始2年后到期期的零息票票债券的价价格为多少少呢？（2）如果现在在开始2年后到期的的零息票债债券价格为为99元，如何套套利呢？(1)从从现在开始始1年后到到期的债券券Z0×1第1年末支付:100价格:98(2)1年后开始始2年后到到期的债券券Z1×2第2年末支付:100价格:98(3)从从现在开始始2年后到到期的债券券Z0×2第2年末支付:100价格:？动态组合复复制策略：：（1）先在在当前购买买0.98份的债券券Z0×1；（2）在第第1年末0.98份份债券Z0×1到期，获得得0.98×100＝98元元；（3）在第1年末再用获获得的98元去购买1份债券Z1×2；自融资策略略的现金流流表交易策略现金流当前第1年末第2年末(1)购买0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98

(2)在第1年末购买1份Z1×2

-98100合计：-96.040100这个自融资资交易策略略的损益：：就是在第2年末获得得本金100元，这这等同于一一个现在开开始2年后后到期的零零息票债券券的损益。。这个自融资资交易策略略的成本为为：98×0.98＝96.04如果市价为为99元，，如何套利利构造的套利利策略如下下：（1）卖空空1份Z0×2债券，获得得99元，，所承担的的义务是在在2年后支支付100元；（2）在获获得的99元中取出出96.04元，购购买0.98份Z0×1；（3）购买买的1年期期零息票债债券到期，，在第一年年末获得98元；（4）再在在第1年末末用获得的的98元购购买1份第第2年末到到期的1年年期零息票票债券；（5）在第2年末，零息息票债券到到期获得100元，用于支支付步骤（（1）卖空的100元；交易策略现金流当前第1年末第2年末(1)卖空1份Z0×299

-100(2)购买0.98份Z0×1-0.98×98=-96.040.98×100=98

(3)在第1年末购买1份Z1×2

-98100合计：99-96.04=2.9600不确定状态态下的无套套利定价原原理的应用用不确定状态态：资产的未来来损益不确确定假设市场在在未来某一一时刻存在在有限种状状态在每一种状状态下资产产的未来损损益已知但未来时刻刻到底发生生哪一种状状态不知道道案例4：假设有一风风险证券A，当前的的市场价格格为100元1年后的市市场出现两两种可能的的状态：状状态1和状状态2。状态1时，，A的未来来损益为105元，，状态2时时，95元元。有一证券B，它在1年后的未未来损益也也是：状态态1时105元，状状态2时95元。另外，假设设不考虑交交易成本。。问题：（1）B的的合理价格格为多少呢呢？（2）如果B的价格为99元，如何套套利？答案：（1）B的的合理价格格也为100元；（2）如果果B为99元，价值值被低估，，则买进B，卖空A案例5：假设有一风风险证券A，当前的的市场价格格为100元1年后的市市场出现两两种可能的的状态：状状态1和状状态2。状态1时，，A的未来来损益为105元，，状态2时时，95元元。有一证券B，它在1年后的未未来损益也也是：状态态1时120元，状态2时110元。另外，假设设不考虑交交易成本，，资金借贷贷也不需要要成本。问题：（1）B的的合理价格格为多少呢呢？（2）如果B的价格为110元，如何套套利？证券未来损损益图10010595风险证券APB120110风险证券B111资金借贷静态组合策策略：要求x份份的证券券A和y份的资资金借贷构构成B解得：X=1,y=15所以：B的价格为为：1*100+15*1=115第二个问题题：当B为110元时，，如何构造造套利组合合呢？套利组合：：买进B，卖空A，借入资金金15元。

期初时刻的现金流期末时刻的现金流第一种状态第二种状态(1)买进B-110120110(2)卖空A100-105-95(3)借入资金15元15-15-15合计500案例6：假设有一风风险证券A，当前的的市场价格格为100元1年后的市市场出现三种可能的状状态：状态态1、2和和3。状态1、2和3时，，A的未来来损益分别别为110.25，，99.75，90.25元元。有一证券B，它在1年后的未未来损益也也是：状态态1、2和和3时，分分别为125，112.5和109元。另外，假设设不考虑交交易成本，，资金借贷贷的年利率率为5.06％，半半年利率为为2.5％％。问题：（1）B的的合理价格格为多少呢呢？（2）如果B的价格为110元，如何套套利？证券未来损损益图100110.2599.75风险证券A风险证券B资金借贷90.25PB125112.510911.05061.05061.0506构造静态组组合：x份A和和y份份资金借贷贷构成B方程无解！！动态组合复复制动态：我们把1年的持有期期拆成两个个半年，这这样在半年年后就可调调整组合假设证券A在半年后的的损益为两两种状态，，分别为105元和95元证券B的半半年后的损损益不知道道110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025构造如下的的组合：（1）1份的证券A；（2）持有现金金13.56。在半年后进进行组合调调整(1)证券A的损益为105时：再买进0.19份的证券A，需要现金19.95元（0.19×105＝19.95）持有的现金13.56，加上利息变变为：13.56×1.025＝13.90。半年后的组合合变为：1.19份证券A现金－6.05（（13.90–19.95）在1年后此组合损损益状态为：：(2)证券A的损益为95时：卖出0.632份的证券A，得到0.632×95＝60.04元持有的现金13.56，加上利息变变为：13.56×1.025＝13.90半年后的组合合变为：0.368份证券A现金73.94（（13.90＋60.04＝73.94））在1年后此组合损损益状态为：：110.2599.7590.2510010595原始组合：(1)持有1份A(2)持有现现金13.56操作：卖出0.632份份A组合为：(1)持有0.368份份A(2)持有现现金73.94操作：买进0.19份A组合为：(1)持有1.19份A(2)持有现现金-6.05组合的支付为为：125112.5109半年后的组合合调整是如何何得到呢？动态策略调整整方法：多期的静态复复制策略从后往前应用用静态复制策策略110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1）证券在中期期价格为105时：解得：x=1.19，y＝－5.90此时B的价格格为：B1＝1.19×105－5.90×1.025＝118.90110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PB118.90B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（2）证券在中期期价格为95时：解得：x=0.368，y＝72.14此时B的价格格为：B2＝0.368×95＋72.14×1.025＝108.90110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PB118.90108.90125112.51091.05061.05061.050611.0251.025解得：x＝1，y＝13.56B的当前价格格为：B＝1×100＋13.56×1＝113.56无套利定价原原理的简单总总结无套利定价原原理就是金融融学，金融工工程的核心思思想“同损益同价价格”实际上上就是“一价价定理”静态和动态组组合复制策略略则是用于给给衍生产品定定价的基本思思想如果市场存在在摩擦（交易易成本）时，，只能给出一一个定价区间间。在这个定定价区间内，，市场无法实实现套利。第三部分什么是套利什么是无套利利定价原理无套利定价原原理的基本理理论Arrow-Debreu模型1、市场环境境2、套利组合合的定义3、无套利组组合等价定理理4、完全市场场与不完全市市场1、市场环境假假设市场中有N个证券，s1,s2,s3,…,sN两个投资时刻刻，0和1时时刻第i种证券在初始始0时刻的价格为为pi，则N种证券的价格格向量为：P=(p1,p2,…,pN)T市场在未来1时刻有M种可能状态，，第i种证券在第j种状态下的损损益为Dij，则这些证券券的损益矩阵阵为：D＝（dij），i=1～N，j=1～M假设损益矩阵阵D的值对于投资资者是已知的的，但是投资资者无法提前前知道在1时刻这些证券券处于M种状态中的哪哪一种状态证券组合用向向量θ表示：θ=(θ1,θ2,…,θN)θi表示持有的第第i种证券的数量量，多头时，，θi>0；空头时，θi<0时。假设市场是无无摩擦的，即即不考虑交易易费用，税收收等证券组合θ在初始0时刻的价格则则为：这个组合在第第j种状态下下的损益则为为：2、套利组合的的定义一个证券组合合θ定义为套利组组合，如果它它满足：或者：3、无套利组组合等价定理理定理1：市场不存在套套利组合的等等价条件是：：存在一个正向向量，，使得，即状态价格无套利组合等等价定理的含含义：如果市场不存存在套利组合合，则资产的的当前价格与与未来损益之之间要满足一一定的条件。。这个条件是是要存在一个个对应于M个状态的向量量，一般称之之为状态价格格（state-prices）。基础础资资产产假设设市市场场另另外外存存在在M种资资产产，，sN+1,sN+2,…,sN+M。这M种资资产产的的未未来来损损益益为为，，只只在在一一种种状状态态下下为为1，其其余余状状态态下下都都是是零零。。即即对对于于资资产产sN+j，它它的的未未来来损损益益只只是是在在第第j种状状态态为为1，其其余余状状态态为为0。这M种资资产产就就构构成成了了““基基础础资资产产””，，由由它它们们生生成成的的组组合合的的未未来来损损益益可可以以表表示示任任意意一一种种资资产产的的未未来来损损益益。。基础础资资产产的的价价格格假设设M个基基础础资资产产的的价价格格分分别别为为：：u1，u2，……,uM根据据无无套套利利定定价价原原理理，，任任何何一一种种未未来来损损益益为为(d1,d2,……,dM)的的资资产产价价格格应应该该为为：：按照照定定理理1的的表表述述，，u1，u2，……,uM就是是满满足足定定理理1条条件件的的正正向向量量所以以，，我我们们称称为为状状态态价价格格，，即即每种种状状态态下下单单位位未未来来损损益益的的资资产产价价格格。。风险险中中性性概概率率把状状态态价价格格归归一一化化，，即即让让M个分分量量的的和和变变为为1：问题题：：状状态态价价格格的的分分量量和和表表示示什什么么呢呢？？就是是未未来来损损益益都都是是1的的资资产产的的价价格格未来来损损益益都都是是1，，即即是是无无风风险险债债券券的的价价格格定理理1的的式式子子可可重重新新写写成成：：通常常把把归归一一化化后后的的状状态态价价格格称称为为风风险险中中性性概概率率或或风风险险调调整整调调整整概概率率，，它它指指的的是是经经过过投投资资者者风风险险调调整整的的每每一一种种状状态态可可能能发发生生的的概概率率推论论如果果市市场场不不存存在在套套利利组组合合，，而而且且假假设设无无风风险险借借贷贷的的利利率率为为r，则则存存在在一一个个概概率率测测度度使使得得任任意意一一个个资资产产的的价价格格等等于于其其未未来来可可能能损损益益（（现现金金流流））的的期期望望值值以以无无风风险险借借贷贷利利率率贴贴现现的的贴贴现现值值。。问题题：：风险险中中性性概概率率与与实实际际中中各各个个状状态态发发生生的的概概率率之之间间有有什什么么关关系系呢呢？？记为为未未来来第第j种种状状态态发发生生的的概概率率，，即即统统计计意意义义上上的的概概率率。。就反反映映了了投投资资者者对对不不同同状状态态的的风风险险偏偏好好程程度度。。如果果对对于于所所有有的的j＝1～M，，，即即：：则称称市市场场是是风风险险中中性性的的。。3、、完完全全市市场场与与不不完完全全市市场场完全全市市场场的的定定义义：：一个个具具有有N种资资产产，，M种损损益益状状态态的的市市场场，，如如果果对对于于任任意意一一个个未未来来损损益益向向量量d=（d1,d2,……,dM），，都都存存在在一一个个N种资资产产的的组组合合(θ1,θ2,…,θN)，其未未来损损益等等于（（d1,d2,…,dM），则则我们们称市市场是是完全全的。。定理2：在市场场不存存在套套利组组合的的假设设下，，市场场是完完全的的充要要条件件是只只有唯唯一的的一组组状态态价格格满足足定理理1中中的式式子，，即状状态价价格唯唯一或或者风风险中中性概概率唯唯一。。Arrow-Debreu模模型的的应用用1、两两状态态模型型2、三三状态态模型型两状态态模型型市场的的未来来损益益只有有两种种状态态，M＝2只存在在两种种资产产，一一种是是无风风险借借贷，，其借借贷利利率为为r另一种种是资资产s，当前前的价价格为为p。假设设资产产s在未来来的损损益为为：状状态1时为pu＝p×u，状态态2时为pd＝p×d，其中中u和d表示价价格变变化的的倍数数，假假设u>d。问题：：市场场不存存在套套利组组合的的条件件？比如：：资产s，当当前价价格为为100，，未来来两种种损益益分别别为：：110，，95。投投资周周期为为1年年，当当前年年利率率为5％。。问题：：存在在套利利组合合吗？？如何套套利？？根据定定理1：即：求解可得：方程求求解可可得：：即任意意一个个资产产，其其未来来损益益为：：在1状态时时d1，在2状态时时d2，都可可由资资产s和无风风险借借贷的的组合合复制制，而而且其其价格格v为：比如，，有一一基于资资产s的金融融产品品，其其未来来损益益为：：d1＝pu－k，d2＝0可解得得其价价格为为：三状态态模型型假设市市场有有三种种状态态，但但仅有有两种种资产产，无无风险险借贷贷，其其利率率为r；另外外一种种资产产s，价格格为p，其在在未来来损益益为：：状态态1时，损损益为为pu（即为为原价价格的的u倍）；；状态态2时为pm，状态态3时为pd，假设设d<m<u。市场不不存在在套利利组合合的条条件求解可得：根据定定理2，这这个方方程的的解不不唯一一实际上上是一一条直直线第一个个端点点第二个个端点点：如果，，则则为：：如果，，则则为：：9、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。01:21:4701:21:4701:211/6/20231:21:47AM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。1月-2301:21:4801:21Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。01:21:4801:21:4801:21Friday,January6,202313、乍乍见见翻翻疑疑梦梦，，相相悲悲各各问问年年。。。。1月月-231月月-2301:21:4801:21:48January6,202314、他他乡乡生生白白发发，，旧旧国国见见青青山山。。。。06一一月月20231:21:48上上午午01:21:481月月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月231:21上上午1月-2301:21January6,202316、行行动动出出成成果果，，工工作作出出财财富富。。。。2023/1/61:21:4801:21:4806January202317、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。1:21:48上上午1:21上上午01:21:481月-239、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。01:21:4801:21:4801:211/6/20231:21:48AM