第35讲线性相关与无关性质

线性代数59主讲 大 教 March March高等数学138讲（优酷网线性代数59讲（优酷网概率论与数理统计70讲 传课 考研题评讲 传课：:@:

March我在及线我在及线性代数59讲受。课程高等数学138 各地大学生的课程的望对你的学习有所帮助希望此课件仅用望对你的学习有所帮助希望此课件仅用于你的学习。请尊大(联 的著作权，切勿在大(联 March4.2向量组的线性相关第35观我的《高等数观我的《高等数+ 请在优酷网搜索我 + March讲向量现在来讲线性 March March回忆：向量组的线性相关与线性无设有向量A={a1a2am}。如果存在不为零的数k1,k2,…,km，使 大k1a1k2a2...kmam则称向量组A是线性相关的，否则称该向量线性无关 大向量A线性无的充分必要条件是：若有数k1,k2k1a1k2a2...kmam则必有

...km

March复习：线性相关的等价描定理向量组A={a1,a2,…,am}(m≥2)线性相关由其余m-1个向量线性表示。推论向量组线性无关的充分必要条件是组内 March定理5

大若向量A={a1am则向量B={a1amb也线性相反之，若向量组B线性无关， 则向量组A也线性无关。证明若向A线性相关，则其中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。这个向量在向量B中仍然能由m-1个向量线性表示。所以向量组B也线性相关。 March定理定理5大若向量A={a1am线性相关则向量B={a1amb也线性相关无关组缩小后仍无：相关组无关组缩小后仍无

：部分组相关，则全组也相关全组无关，则部分组也无关

arch定理5

1,…,

m}B={a1ambb必能A线性表示，且表示式 因为向量组B={a1,…,am,b}线性相关，故存在不全为零的数k1,…,km,km+1，使得k1a1k2a2...kmamkm1b March 因为向量组B={a1,…,am,b}线性相关，故存在不全为零的数k1,…,km,km+1，使得k1a1k2a2...kmamkm1b零的数k1,…,km, 大k1a1k2a2 这与向量组{a1,…,am}线性无关 March 因为向量组B={a1,…,am,b}线性相关，存在不全为零的数k1,…,km,km+1，使得k1a1k2a2...kmamkm1b其中km+1≠0 大于是向b能由向量A线性表示b

(k1a1k2a2kmamMarch现在证明表示式是唯

设bp1a1pmaml1a1得(p1l1)a1...(pmlm p1l10,...,pmlmp1l1,...,pm所以表示式是唯一的

March定理5

第大若向量A={a1am线性无关大大而向量B={a1amb线性相大则向b必能由向量A线性表示，

March推论如果向推论如果向b能由向量A={a1am线性表示，但表示式不唯一，则A必定是线性定理5(2)若向量组A={a1,…,am}线性无关，而向量组B={a1amb线性相关，则向量b必能由A线性表示，且表示式是唯一的 March练习设向b可由a1a2am线性证明：表示方式唯一的充分必要条是向量a1,a2,…,am线性无关 大相关组表示向量的形式不唯一 March定定理5mnmn维向量一定线性相关证 设有m个n维向 大a11 a1ma ,...,

(m 大 大 n1 nm

March证 设有m个n维向a11 a1ma ,..., (m n1 大a11...a1m

A

有非零 大 ... nm

(第30讲 77页定理4故向量组线性相关。March设m>n,则m个n维向量一定线性相关 定定线性相关：向量个数大于向量维数，则向量组推论n+1n维向量一定线性例如以下推论n+1n维向量一定线性1 7 6a2,a3,a4,a5

4

3

9 一定线性相

March定理5

a11

设n维向量组a

大：无关组加长后仍无

n1a11

nma1m n+l维向

b

,...,

anmb b11

b1mb也线性无关

arch证因为{a1am线性无关，齐次线a11 a1m 0x ...

只有零解 大1

m 0 0 n1 nm

川大

a11

a1m

0

xan1

...

0 所

1

m

0

{b,…,b11 1m 相当于增加l个方

0

也线性无

March另证因为向量组{a1am线性R(b1bmR(a1amR(b1bm 大R(b1bm March无关组加长后仍无

线性无关，加长无 注意：相关组加长后可能变成无关1 2

2,

4

线性相关 大 1 22 但 2

线性无关

March证 因为a2,a3,a4线性无关大所以a2a3也线性无大a1a2

线性例1设向量a1a2a3线性相关，例1设向量a1a2a3线性相关，向量a2a3a4线性无关，证明(1)a1能由a2a3线性表(2)a4不能a1a2a3

March设向量a设向量a1a2a3线性相关，向量a2a3,a4线性无关，证明：(1)a1能由a2,a3线性表示；(2a4不能a1a2a3线性表示证 假设

1,

2,

线性表示 大由(1)a1能由a2,a3线性表示 a1l2a2 a4k1(l2a2l3a3)k2a2所以a4不能a1,a2,a所以a4不能a1,a2,a3线性表示。。这与a2a3a4线性无。

例2例2设向b可由向量a1am线性表出，记向量组(II):a1,…,a-, 则向量不能由(I)线性表出，也不能由(II)不能由(I)线性表出，但可由(II)线性表出可由(I)线性表出，也可由(II)线性可由(I)线性表出，但不能由(II)线性表出大 大

March例例2设向量b可由向量组a1,…,am线性表出，但不能由向量组(I):a1,…,am-1线性表出，记向量组(II):a1,…,am-1,b, 则向量am 设b可由a,…, 线性表示为 大 bk1a1...km1am1km 因为b不能(I)线性表出km≠0因此am可由(II)线性表示为 1(bka... mk mkm

March例例2设向量b可由向量组a1,…,am线性表出，但不能由向量组(I):a1,…,am-1线性表出，记向量组(II):a1,…,am-1,b, 则向量am因此am可由(II)线性表示为 1(bka 大mk mkmam可由(I)线性b又能a1am线性表出，则b能由 性表出所以

不能由(I)线性 大

March例例2设向量b可由向量组a1,…,am线性表出，但不能由向量组(I):a1,…,am-1线性表出，记向量组(II):a1…,am-1b,则向量am不能由(I)线性表出，也不能由(II)不能由(I)线性表出，但可由(II)线性表可由(I)线性表出，也可由(II)线性可由(I)线性表出，但不能由(II)线性表选 大

March 充分性是明显

有一个向量被其他向量线表示的向量组是线性相关必要 设a1,…,am(其中a1≠0)线性相关因为a≠0，所以a线性无关 大 a1唯一地线性表

。例3证明：a1am(其中a1≠0线性相关例3证明：a1am(其中a1≠0线性相关条件是存在ai(1<i面的i-1个向量线性表示使ai

March例3证明：a1,…,am(其中a1≠0)线性相关的充要条件是存在一个向量ai(1<i≤m),使ai可由前面的i-1个向 若a1,a2线性无关，则考虑a1,a2,a3。若a1a2a3线性相关，由定理5(2)a3可由a1若